Twierdzenie Maschkego - Maschke's theorem

W matematyce twierdzenie Maschkego , nazwane na cześć Heinricha Maschkego , jest twierdzeniem w teorii reprezentacji grup, które dotyczy rozkładu reprezentacji skończonej grupy na części nieredukowalne . Twierdzenie Maschkego pozwala na wyciągnięcie ogólnych wniosków na temat reprezentacji skończonej grupy G bez faktycznego ich obliczania. Sprowadza to zadanie klasyfikowania wszystkich reprezentacji do łatwiejszego w zarządzaniu zadania klasyfikowania reprezentacji nieredukowalnych , ponieważ kiedy twierdzenie ma zastosowanie, każda reprezentacja jest bezpośrednią sumą elementów nieredukowalnych (składników). Co więcej, z twierdzenia Jordana-Höldera wynika, że chociaż dekompozycja na sumę bezpośrednią nieredukowalnych subreprezentacji może nie być unikatowa, to nieredukowalne kawałki mają dobrze zdefiniowane krotności . W szczególności reprezentacja skończonej grupy nad ciałem o charakterystyce zera jest zdeterminowana aż do izomorfizmu jego charakterem .

Preparaty

Twierdzenie Maschkego odnosi się do pytania: kiedy ogólna (skończenie wymiarowa) reprezentacja jest zbudowana z nieredukowalnych podreprezentacji przy użyciu operacji sumy bezpośredniej ? To pytanie (i odpowiedź na nie) są różnie formułowane dla różnych perspektyw teorii reprezentacji grup.

Teoria grup

Twierdzenie Maschkego jest powszechnie formułowane jako następstwo następującego wyniku:

Twierdzenie. Jeżeli V jest złożone reprezentacja skończonej grupy G ze subrepresentation W , a nie ma innego subrepresentation U o V w taki sposób, V = W ⊕ U .

Wtedy następstwem jest

Wniosek (twierdzenie Maschkego). Każda reprezentacja skończonej grupy G nad ciałem F o charakterystyce niedzielącej rzędu G jest bezpośrednią sumą reprezentacji nieredukowalnych.

Miejsca wektora o wartościach zespolonych funkcji klasy z grupy G ma naturalną G -invariant wewnętrzną strukturę produktu, opisanego w artykule stosunków ortogonalności Schura . Twierdzenie MASCHKE została pierwotnie okazało się dla przypadku reprezentacji przez konstruując U jako prostopadłym uzupełnienie o W ramach tego wewnętrznego produktu. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Moduł teoretyczny

Jednym z podejść do reprezentacji grup skończonych jest teoria modułów . Reprezentacje z grupy G, są zastąpione przez moduły na jego grupy Algebra  K [ G ] (a dokładniej, jest Izomorfizm kategorii między K [ G ] -mod i Rep _G , The kategorii reprezentacji z G ). Reprezentacje nieredukowalne odpowiadają prostym modułom . W języku teorii modułów twierdzenie Maschkego pyta: czy dowolny moduł jest półprosty ? W tym kontekście twierdzenie można przeformułować w następujący sposób:

Twierdzenie Maschkego. Niech G będzie grupą skończoną, a K ciałem, którego charakterystyka nie dzieli rzędu G . Wtedy K [ G ] , algebra grupowa G , jest półprosta .

Znaczenie tego wyniku wynika z dobrze rozwiniętej teorii pierścieni półprostych, w szczególności twierdzenia Artina–Wedderburna (czasami określanego jako twierdzenie o strukturze Wedderburna). Gdy K jest ciałem liczb zespolonych, pokazuje to, że algebra K [ G ] jest iloczynem kilku kopii algebr zespolonych , po jednej dla każdej nieredukowalnej reprezentacji. Jeżeli ciało K ma charakterystyczne zero, ale nie jest algebraicznie domknięte , np. K jest ciałem liczb rzeczywistych lub wymiernych , to zachodzi nieco bardziej skomplikowane stwierdzenie: algebra grup K [ G ] jest iloczynem algebr macierzowych przez dzielenie pierścienie nad K . Sumy odpowiadają nieredukowalnym reprezentacjom G przez K .

Kategoria teoretyczna

Przeformułowane w języku kategorii półprostych , twierdzenie Maschkego stwierdza

Twierdzenie Maschkego. Jeśli G oznacza grupę i M to pole cecha nie podzielenie kolejność G , a następnie kategoria reprezentacji z G ponad F jest pół proste.

Dowody

Teoria grup

Niech U będzie podprzestrzenią V dopełnienia W . Niech będzie funkcją projekcji, czyli dla dowolnego . ${\displaystyle p_{0}:V\doW}$${\displaystyle p_{0}(w+u)=w}$${\ Displaystyle u\ w U, w \ w W}$

Zdefiniuj , gdzie jest skrót , gdzie jest reprezentacją G na W i V . Następnie jest zachowany przez G pod reprezentacją : dla każdego , ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$${\ Displaystyle g \ cdot p_ {0} \ cdot g ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ rho _ {W} {g} \ cdot p_ {0} \ cdot \ rho _ {V} {g ^ {-1}}}$${\ Displaystyle \ rho _ {W} {g}, \ rho _ {V} {g ^ {-1}}}$ ${\ Displaystyle \ Ker p}$${\ Displaystyle \ rho _ {V}}$${\displaystyle w'\w \ker p,h\w g}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} p (hw ') i = h \ cdot h ^ {-1} {\ Frac {1} {\ # G}} \ suma _ {g \ w G} g \ cdot p_ {0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1} \cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G }g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}}$

więc sugeruje, że . Więc ograniczenie on jest również reprezentacją. ${\displaystyle w'\w \ker p}$${\displaystyle hw'\w \ker p}$${\ Displaystyle \ rho _ {V}}$${\ Displaystyle \ Ker p}$

Definicją , za każdy , tak i dla każdego , . Tak więc , i . Dlatego . ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle w \ w W}$${\displaystyle p(w)=w}$${\ Displaystyle W \ czapka ker \ p = \ {0 \}}$${\ Displaystyle v \ w V}$${\displaystyle p(p(v))=p(v)}$${\displaystyle p(vp(v))=0}$${\ Displaystyle vp (v) \ w \ ker p}$${\ Displaystyle V = W \ oplus \ ker p}$

Moduł teoretyczny

Niech V będzie podmodułem K [ G ]. Udowodnimy, że V jest sumą bezpośrednią. Niech π będzie dowolnym K- liniowym rzutem K [ G ] na V . Rozważ mapę

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} \ phi : K [G] \ do V \ \ \ phi : x \ mapsto {\ Frac {1} {\ # G}} \ suma _ {s \ w G} s \ cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}}$

Wtedy φ jest znowu projekcją: jest wyraźnie K- liniowa, odwzorowuje K [ G ] na V i indukuje identyczność na V (dlatego odwzorowuje K [ G ] na V ). Ponadto mamy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ phi (t \ cdot x) i = {\ Frac {1} {\ # G}} \ suma _ {s \ w g} s \ cdot \ pi (s ^ {- 1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\ cdot x)\\&=t\cdot \phi (x),\end{wyrównany}}}$

więc φ jest w rzeczywistości K [ G ]-liniowe. Przez lematu rozłupywania , . To dowodzi, że każdy submoduł jest sumą bezpośrednią, czyli K [ G ] jest półproste. ${\ Displaystyle K [G] = V \ oplus \ ker \ phi}$

Oświadczenie Converse

Powyższy dowód polega na tym, że #G jest odwracalne w K . Może to prowadzić do pytania, czy zachodzi również odwrotność twierdzenia Maschkego: jeśli cecha K dzieli rząd G , to czy wynika z tego, że K [ G ] nie jest półproste? Odpowiedź brzmi: tak .

Dowód. Dla zdefiniuj . Niech . Wtedy I jest podmodułem K [ G ]. Udowodnimy, że dla każdego nietrywialnego podmodułu V z K [ G ], . Niech V będzie dane i niech będzie dowolnym niezerowym elementem V . Jeśli , roszczenie jest natychmiastowe. W przeciwnym razie niech . Więc tak i ${\textstyle x=\suma \lambda _{g}g\in K[G]}$${\textstyle \epsilon (x)=\suma \lambda _{g}}$${\ Displaystyle I = \ ker \ epsilon }$${\ Displaystyle I \ czapka V \ neq 0}$${\textstyle v=\suma \mu _{g}g}$${\ Displaystyle \ epsilon (v) = 0}$${\textstyle s=\suma 1g}$${\ Displaystyle \ epsilon (s) = \ # G \ cdot 1 = 0}$${\displaystyle s\w ja}$

${\ Displaystyle sv = \ lewo (\ suma 1 g \ po prawej) \ lewo (\ suma \ mu _ {g} g \ po prawej) = \ suma \ epsilon (v) g = \ epsilon (v) s}$

więc jest to niezerowy element zarówno I jak i V . To dowodzi, że V nie jest bezpośrednim uzupełnieniem I dla wszystkich V , więc K [ G ] nie jest półproste. ${\displaystyle sv}$

Nieprzykłady

Twierdzenie to nie może mieć zastosowania w przypadku, gdy G jest nieskończone lub gdy pole K ma cechy dzielące |G|. Na przykład,

• Rozważmy nieskończoną grupę i reprezentację określoną przez . Niech , jednowymiarowa podprzestrzeń rozpięta przez . Wtedy ograniczenie na W jest trywialną subreprezentacją . Jednak nie ma U takiego, że oba W, U są podreprezentacjami i : każde takie U musi być jednowymiarowe, ale każda jednowymiarowa podprzestrzeń zachowana przez musi być objęta wektorem własnym dla , a jedynym wektorem własnym dla tego jest .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ rho : \ mathbb {Z} \ do GL_ {2} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ rho (n) = {\ zacznij {bmatrix} 1 i 1 \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} ^ {n} = {\ zacznij {bmatrix} 1 i n \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$${\ Displaystyle W = \ mathbb {C} \ cdot {\ zacząć {bmatrix} 1 \ \ 0 \ koniec {bmatrix}}}$${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ zacząć {bmacierz} 1 \ \ 0 \ koniec {b macierzy}}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} = W \ oplus U}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 \ \ 0 i 1 \ koniec {b macierzy}}}$${\ Displaystyle {\ zacząć {bmacierz} 1 \ \ 0 \ koniec {b macierzy}}}$
• Rozważmy liczbę pierwszą p oraz grupę , pole i reprezentację określoną przez . Proste obliczenia pokazują, że istnieje tylko jeden wektor własny , więc według tego samego argumentu, 1-słaba podreprezentacja jest unikalna i nie może być rozłożona na prostą sumę dwóch 1-wymiarowych podreprezentacji.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle K = \ mathbb {F} _ {p}}$${\ Displaystyle \ rho: \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ do GL_ {2} (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ Displaystyle \ rho (n) = {\ zacząć {bmatrix} 1 i n \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 \ \ 0 i 1 \ koniec {b macierzy}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$

Uwagi

Bibliografia

• Lang, Serge (2002-01-08). Algebra . Teksty podyplomowe z matematyki , 211 (poprawione 3rd ed.). Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-95385-4. MR  1878556 . Zbl  0984.00001 .
• Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Reprezentacje liniowe grup skończonych . Teksty magisterskie z matematyki , 42 . Nowy Jork–Heidelberg: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-90190-9. MR  0450380 . Zbl  0355.20006 .
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwsze danie . Teksty magisterskie z matematyki , lektury z matematyki. 129 . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . Numer ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249 . OCLC  246650103 .