Moduł nierozkładalny - Indecomposable module

W algebry abstrakcyjnej , wykorzystując moduł jest nierozkładalny jeśli jest różna od zera i nie można zapisać jako sumę prostą dwóch niezerowych submodułów .

Nierozkładalny jest pojęciem słabszym niż moduł prosty (zwany też czasem modułem nieredukowalnym ): prosty oznacza „brak właściwego podmodułu” , natomiast nierozkładalny „nie można wyrazić jako ”.

Bezpośrednia suma nierozkładalnych nazywa się całkowicie rozkładającymi się ; jest to słabsze niż bycie półprostym , które jest bezpośrednią sumą prostych modułów .

Bezpośrednia dekompozycja modułu na moduły nierozkładalne nazywana jest dekompozycją nierozkładalną .

Motywacja

W wielu sytuacjach wszystkie interesujące moduły są całkowicie rozkładalne; nierozkładalne moduły można wtedy traktować jako „podstawowe cegiełki”, jedyne obiekty, które należy zbadać. Jest to przypadek dla modułów nad pola lub PID , a podstawą Postać Jordana z operatorami .

Przykłady

Pole

Moduły nad polami są przestrzeniami wektorowymi . Przestrzeń wektorowa jest nierozkładalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wymiar wynosi 1. Zatem każda przestrzeń wektorowa jest całkowicie rozkładalna (w rzeczywistości, półprosta), z nieskończenie wieloma sumami, jeśli wymiar jest nieskończony.

Główna idealna domena

Skończenie generowane moduły nad głównymi domenami idealnymi (PID) są klasyfikowane według twierdzenia o strukturze dla skończenie generowanych modułów nad główną domeną idealną : pierwotna dekompozycja jest dekompozycja na moduły nierozkładalne, więc każdy skończenie generowany moduł nad PID jest całkowicie rozłożony.

Wprost, moduły postaci dla ideałów pierwszych p (w tym p = 0 , które daje R ) są nierozkładalne. Każdy skończenie generowany moduł R jest ich bezpośrednią sumą. Zauważ, że jest to proste wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1 (lub p = 0 ); np. cykliczna grupa rzędu 4, Z /4, jest nierozkładalna, ale nie prosta – ma podgrupę 2 Z /4 rzędu 2, ale nie ma dopełnienia.

Moduły nad liczbami całkowitymi Z są grupami abelowymi . Skończenie generowana grupa abelowa jest nierozkładalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z Z lub z grupą czynnikową postaci dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej dodatniej liczby całkowitej n . Każda skończenie generowana grupa abelowa jest bezpośrednią sumą (skończenie wielu) nierozkładalnych grup abelowych.

Istnieją jednak inne nierozkładalne grupy abelowe, które nie są skończone; Przykładami są liczb wymiernych P i w Prüfer P -grupy Z ( P ∞ ) dla każdej liczby pierwszej p .

Dla ustalonej liczby całkowitej N , za pierścienia R, z n -by- n matryc z pozycji z liczb rzeczywistych (lub z jakiegokolwiek innego pola K ). Wtedy K n jest lewym modułem R (mnożenie skalarne to mnożenie macierzy ). To zależy od izomorfizmu, jedynego nierozkładalnego modułu nad R . Każdy lewy moduł R jest bezpośrednią sumą (skończenie lub nieskończenie wielu) kopii tego modułu K n .

Fakty

Każdy prosty moduł jest nierozkładalny. Odwrotność generalnie nie jest prawdziwa, jak pokazuje drugi przykład powyżej.

Patrząc na pierścieniu endomorfizm modułu, można stwierdzić, czy moduł jest nierozkładalny: wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizm nie zawiera elementu idempotent różni się od 0 i 1 (jeśli f jest tak endomorfizm idempotent z M , a następnie M jest sumą bezpośrednią ker( f ) i im( f ).)

Moduł o skończonej długości jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierścień endomorfizmu jest lokalny . Jeszcze więcej informacji na temat endomorfizmów nierozkładalnych elementów o skończonej długości dostarcza lemat Fitting .

W sytuacji skończonej długości dekompozycja na nierozkładalne jest szczególnie przydatna ze względu na twierdzenie Krulla-Schmidta : każdy moduł o skończonej długości można zapisać jako bezpośrednią sumę skończenie wielu nierozkładalnych modułów, a ten rozkład jest zasadniczo unikalny (co oznacza, że ​​jeśli masz inny rozkład na nierozkładalny, wtedy sumy pierwszej dekompozycji można sparować z sumami drugiej dekompozycji, tak aby członkowie każdej pary byli izomorficzni).

Uwagi

  1. ^ B Jacobson, (2009), s. 111.
  2. ^ Jacobson (2009), s. 111, w komentarzach po Prop. 3.1.
  3. ^ Jacobson (2009), s. 115.

Bibliografia

  • Jacobson, Nathan (2009), Podstawowa algebra , 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7