Grupa obejmująca - Covering group

W matematyce , A obejmujące grupę o topologii grupy H to nakrycie G z H , tak że G jest grupą topologiczną oraz pokrycie mapę P  : G → H jest ciągły homomorfizm grupy . Mapa p nazywana jest homomorfizmem pokrywającym . Często występującym przypadkiem jest grupa podwójnego pokrycia , topologiczna grupa podwójnego pokrycia, w której H ma indeks 2 w G ; Przykłady obejmują grupy spinowe , grupy styków i grupy metaplectic .

Zgrubnie objaśnić, stwierdzając, że na przykład metaplectic grupa topnienia _{2 n} jest podwójna osłona z symplektyczna grupy Sp _{2 N} oznacza, że nie zawsze dwa elementy w metaplectic grupie oznaczającej jednego elementu symplektyczna grupy.

Nieruchomości

Niech G będzie grupą pokrywającą H . Jądra K z homomorfizmu pokrywającej tylko włókno na tożsamości w H i jest dyskretna normalny podgrupa o G . Jądro K jest zamknięte w G wtedy i tylko wtedy, gdy G jest Hausdorffem (i wtedy i tylko wtedy, gdy H jest Hausdorffem). Idąc w drugą stronę, jeśli G jest dowolną grupą topologiczną, a K jest dyskretną podgrupą normalną G, to odwzorowanie ilorazowe p  : G → G / K jest homomorfizmem pokrywającym.

Jeśli G jest połączony następnie K , jako dyskretne podgrupa normalna koniecznie leży w centrum z G i dlatego abelowa . W tym przypadku środek H = G / K jest podany przez

${\ Displaystyle Z (H) \ cong Z (G) / K.}$

Podobnie jak w przypadku wszystkich nakrycie, w podstawowej grupy o G osadzany podstawowej grupy H . Ponieważ podstawowa grupa grupy topologicznej jest zawsze abelowa, każda grupa zakrywająca jest normalną przestrzenią zakrywającą. W szczególności, jeśli G jest połączone ścieżką, wtedy grupa ilorazowa jest izomorficzna z K . Grupa K działa po prostu przechodnie na włókna (które są po prostu lewymi cosetami ) przez prawe mnożenie. Grupa G jest wtedy głównym K- wiązką nad H . ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (H) / \ pi _ {1} (G)}$

Jeśli G jest grupą pokrywającą H to grupy G i H są lokalnie izomorficzne . Ponadto, biorąc pod uwagę dowolne dwie połączone lokalnie izomorficzne grupy H ₁ i H ₂ , istnieje topologiczna grupa G z dyskretnymi normalnymi podgrupami K ₁ i K ₂ taka, że H ₁ jest izomorficzna z G / K ₁ i H ₂ jest izomorficzna z G / K ₂ .

Struktura grupy na zadaszeniu

Niech H będzie grupą topologiczną i niech G będzie przestrzenią pokrywającą H . Jeśli G i H są zarówno połączone ścieżką, jak i lokalnie połączone ścieżką , to dla dowolnego wyboru elementu e * we włóknie nad e ∈ H , istnieje unikalna topologiczna struktura grupy na G , z e * jako tożsamością, dla której mapa pokrywająca p  : G → H jest homomorfizmem.

Konstrukcja jest następująca. Niech i b są elementy G i pozwolić f i g jest drogi w G zaczynając e * i kończące w i b , odpowiednio. Zdefiniuj ścieżkę h  : I → H przez h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )). Dzięki właściwości unoszenia ścieżki obejmującej przestrzenie istnieje unikalne podniesienie h do G z początkowym punktem e *. Produkt ab jest zdefiniowany jako punkt końcowy tej ścieżki. Z konstrukcji mamy p ( ab ) = p ( a ) p ( b ). Należy wykazać, że definicja ta jest niezależna od wyboru ścieżek f i g , a także, że operacje grupowe są ciągłe.

Alternatywnie, prawo grupowe na G może być skonstruowane przez podniesienie prawa grupowego H × H → H do G , przy użyciu właściwości podnoszenia mapy pokrywającej G × G → H × H .

Przypadek niezwiązany jest interesujący i jest badany w pracach Taylora i Browna-Mucuka, cytowanych poniżej. Zasadniczo istnieje przeszkoda w istnieniu uniwersalnego pokrycia, które jest również grupą topologiczną, tak że mapa pokrycia jest morfizmem: ta przeszkoda leży w trzeciej grupie kohomologicznej grupy składników G ze współczynnikami w podstawowej grupie G na tożsamość.

Uniwersalna grupa kryjąca

Jeśli H jest grupą połączoną ścieżką, lokalnie połączoną ścieżką i częściowo połączoną po prostu lokalnie, to ma uniwersalną osłonę . Dzięki poprzedniej konstrukcji uniwersalne pokrycie może być przekształcone w grupę topologiczną z mapą pokrycia ciągłym homomorfizmem. Grupa ta nazywana jest uniwersalna grupa przykrycie z H . Istnieje również bardziej bezpośrednia konstrukcja, którą podajemy poniżej.

Niech PH być grupa ścieżka z H . Oznacza to, że PH jest przestrzenią ścieżek w H opartą na tożsamości wraz z topologią zwarto-otwartą . Iloczyn ścieżek jest określony przez mnożenie punktowe, tj. ( fg )( t ) = f ( t ) g ( t ). Daje to PH strukturę grupy topologicznej. Istnieje naturalny homomorfizm grupowy PH → H, który wysyła każdą ścieżkę do jej punktu końcowego. Uniwersalne pokrycie H jest podane jako iloraz PH przez normalną podgrupę pętli zerowych homotopowych . Rzut PH → H schodzi do ilorazu dającego mapę pokrycia. Można pokazać, że uniwersalna osłona jest po prostu połączone i jądro jest właśnie zasadnicza grupa z H . Oznacza to, że mamy krótką dokładną sekwencję

${\ Displaystyle 1 \ do \ pi _ {1} (H) \ do {\ tyldy {H}} \ do H \ do 1}$

gdzie jest uniwersalna okładka H . Konkretnie uniwersalną grupą pokrywającą H jest przestrzeń klas homotopii ścieżek w H z punktowym mnożeniem ścieżek. Mapa pokrywająca wysyła każdą klasę ścieżki do jej punktu końcowego. ${\ Displaystyle {\ tylda {H}}}$

Krata grup zakrywających

Jak sugeruje powyższe, jeśli grupa ma uniwersalną grupę pokrywającą (jeśli jest połączona ścieżką, lokalnie połączona ścieżką i częściowo połączona po prostu), z dyskretnym środkiem, to zbiór wszystkich grup topologicznych, które są objęte uniwersalnym pokryciem grupa tworzą kratę, odpowiadającą kratce podgrup środka uniwersalnej grupy pokrywającej: włączenie podgrup odpowiada pokryciu grup ilorazowych. Elementem maksymalnym jest uniwersalna grupa kryjąca, natomiast minimalnym elementem jest uniwersalna grupa kryjąca, a jej środek, . ${\ Displaystyle {\ tylda {H}},}$${\ Displaystyle {\ tylda {H}} / Z ({\ tylda {H}})}$

Odpowiada to algebraicznie uniwersalnemu doskonałemu rozszerzeniu centralnemu (zwanemu przez analogię „grupą pokrywającą”) jako elementowi maksymalnemu, a grupa zmienia swoje centrum jako element minimalny.

Jest to szczególnie ważne w przypadku grup Liego, ponieważ są to wszystkie (połączone) realizacje określonej algebry Liego. Dla wielu grup Liego centrum jest grupą macierzy skalarnych, a zatem modem grupy, którego centrum jest projekcja grupy Liego. Te osłony są ważne w badaniu reprezentacji projekcyjnych grup Liego, a reprezentacje spinowe prowadzą do odkrycia grup spinowych : reprezentacja projekcyjna grupy Liego nie musi pochodzić z liniowej reprezentacji grupy, ale pochodzi z liniowej reprezentacji niektórych grupa zakrywająca, w szczególności uniwersalna grupa zakrywająca. Skończony analog prowadził do grupy okładkowej lub okładki Schur, jak omówiono powyżej.

Kluczowy przykład wynika z SL ₂ ( R ) , który ma centrum {±1} i grupę podstawową Z . Jest to podwójna osłona bezśrodkowej specjalnej projekcyjnej grupy liniowej PSL ₂ ( R ), którą uzyskuje się biorąc iloraz przez środek. Według rozkładu Iwasawy obie grupy są wiązkami kołowymi nad złożoną górną półpłaszczyzną, a ich uniwersalną osłoną jest rzeczywista wiązka liniowa nad półpłaszczyzną, która tworzy jedną z ośmiu geometrii Thurstona . Ponieważ półpłaszczyzna jest kurczliwa, wszystkie struktury wiązek są trywialne. Wstępny obraz SL ₂ ( Z ) w powłoce uniwersalnej jest izomorficzny z grupą plecionek na trzech pasmach. ${\ Displaystyle {\ operatorname {S} {\ widetilde {\ operatorname {L} _ {2} (}} \ mathbf {R} )}}$

Grupy kłamstw

Wszystkie powyższe definicje i konstrukcje odnoszą się do szczególnego przypadku grup Liego . W szczególności każde pokrycie rozmaitości jest rozmaitością, a homomorfizm pokrycia staje się gładką mapą . Podobnie, biorąc pod uwagę dowolną dyskretną normalną podgrupę grupy Liego, grupa ilorazowa jest grupą Liego, a mapa ilorazowa jest homomorfizmem pokrywającym.

Dwie grupy Liego są lokalnie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ich algebry Liego są izomorficzne. Oznacza to, że homomorfizm φ : G → H grup Liego jest homomorfizmem pokrywającym wtedy i tylko wtedy, gdy indukowane odwzorowanie na algebrach Liego

${\ Displaystyle \ phi _ {*}: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {h}}}$

jest izomorfizmem.

Ponieważ dla każdej algebry Liego istnieje unikalna połączona grupa Liego G z algebrą Liego , z tego wynika, że ​​uniwersalna grupa pokrywająca połączonej grupy Liego H jest (unikalną) po prostu połączoną grupą Liego G mającą tę samą algebrę Liego co H . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Przykłady

• Uniwersalna grupa pokrywająca grupy kołowej T jest addytywną grupą liczb rzeczywistych R z homomorfizmem pokrywającym określonym przez funkcję wykładniczą exp: R → T . Jądro odwzorowania wykładniczego jest izomorficzne z Z .
• Dla dowolnej liczby całkowitej n mamy grupę pokrywającą sam okrąg T → T, która przesyła z do z ⁿ . Jądrem tego homomorfizmu jest cykliczna grupa składająca się z n- tego pierwiastka jedności .
• Grupa rotacyjna SO(3) ma jako uniwersalne pokrycie grupę SU(2), która jest izomorficzna z grupą wersorów w kwaternionach. Jest to podwójna okładka, ponieważ jądro ma porządek 2. (por. tangloidy .)
• Grupę unitarną U( n ) pokrywa zwarta grupa T × SU( n ) z homomorfizmem pokrywającym danym wzorem p ( z , A ) = zA . Uniwersalna osłona to R × SU( n ).
• Specjalną grupę prostopadłe SO ( N ) ma podwójne pokrycie zwany grupy wirowania wirówki ( n ). Dla n ≥ 3, grupa spinowa jest uniwersalną osłoną SO( n ).
• Dla n ≥ 2 uniwersalne pokrycie specjalnej grupy liniowej SL( n , R ) nie jest grupą macierzową (tj. nie ma wiernych reprezentacji skończenie wymiarowych ).

Bibliografia

• Pontryagin, Lew S. (1986). Grupy topologiczne . przeł. z rosyjskiego Arlen Brown i PSV Naidu (wyd. 3). Nauka Gordona i Wyłomu. Numer ISBN 2-88124-133-6.
• Taylor, RL (1954). „Pokrywanie grup niepołączonych grup topologicznych” . Proc. Amer. Matematyka. Soc . 5 : 753-768. doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0 . JSTOR  2031861 . MR  0087028 .
• Brązowy, R.; Mucuk, O. (1994). „Pokrywanie grup niepowiązanych grup topologicznych ponownie”. Matematyka. Proc. Filos z Cambridge. Soc . 115 (1): 97-110. arXiv : matematyka/0009021 . Kod Bib : 2000math......9021B . CiteSeerX  10.1.1.236.9436 . doi : 10.1017/S0305004100071942 .