Funkcja własna - Eigenfunction

To rozwiązanie problemu wibrującego bębna jest w dowolnym momencie funkcją własną operatora Laplace'a na dysku.

W matematyce An funkcją własną z liniowym operatora D zdefiniowany w niektórych funkcji miejsca jakikolwiek niezerowe funkcja f w tym miejscu, że pod wpływem działania D , mnoży się jedynie za pośrednictwem współczynnika skalowania zwaną wartością własną . Jako równanie warunek ten można zapisać jako

{\ Displaystyle Df = \ lambda f}

dla pewnej skalarnej wartości własnej λ. Rozwiązania tego równania mogą również podlegać warunkom brzegowym, które ograniczają dopuszczalne wartości własne i funkcje własne.

Funkcja własna jest rodzajem wektora własnego .

Funkcje własne

Ogólnie rzecz biorąc, wektor własny operatora liniowego D zdefiniowany na pewnej przestrzeni wektorowej jest niezerowym wektorem w dziedzinie D, który, gdy działa na niego D , jest po prostu skalowany przez pewną wartość skalarną zwaną wartością własną. W szczególnym przypadku, gdy D jest zdefiniowane w przestrzeni funkcji, wektory własne są nazywane funkcjami własnymi . Oznacza to, że funkcja f jest funkcją własną D, jeśli spełnia równanie

{\ Displaystyle Df = \ lambda f}

( 1 )

gdzie λ jest skalarem. Rozwiązania równania ( 1 ) mogą również podlegać warunkom brzegowym. Ze względu na warunki brzegowe, możliwe wartości λ są ogólnie ograniczone, na przykład do zbioru dyskretnego λ ₁ , λ ₂ , … lub do zbioru ciągłego w pewnym zakresie. Zbiór wszystkich możliwych wartości własnych D jest czasami nazywany jego widmem , które może być dyskretne, ciągłe lub być kombinacją obu.

Każda wartość λ odpowiada jednej lub większej liczbie funkcji własnych. Jeśli wiele liniowo niezależnych funkcji własnych ma tę samą wartość własną, mówi się, że wartość własna jest zdegenerowana, a maksymalna liczba liniowo niezależnych funkcji własnych związanych z tą samą wartością własną to stopień degeneracji wartości własnej lub krotność geometryczna .

Pochodny przykład

Powszechnie stosowaną klasą operatorów liniowych działających na przestrzeniach nieskończenie wymiarowych są operatory różniczkowe na przestrzeni C ^∞ nieskończenie różniczkowalnych funkcji rzeczywistych lub zespolonych rzeczywistego lub złożonego argumentu t . Rozważmy na przykład operator pochodnej z równaniem wartości własnej ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} f (t) = \ lambda f (t).}

To równanie różniczkowe można rozwiązać, mnożąc obie strony przez i całkując. Jego rozwiązanie, funkcja wykładnicza ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$

{\ Displaystyle f (t) = f_ {0}e ^ {\ lambda t}}

jest funkcją własną operatora pochodnej, gdzie f ₀ jest parametrem zależnym od warunków brzegowych. Zauważ, że w tym przypadku funkcja własna jest sama funkcją związanej z nią wartości własnej λ, która może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą lub złożoną. W szczególności zauważ, że dla λ = 0 funkcja własna f ( t ) jest stałą.

Załóżmy w tym przykładzie, że f ( t ) podlega warunkom brzegowym f (0) = 1 i . Wtedy znajdujemy, że ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$

{\ Displaystyle f (t) = e ^ {2 t}}

gdzie λ = 2 jest jedyną wartością własną równania różniczkowego, która również spełnia warunek brzegowy.

Link do wartości własnych i wektorów własnych macierzy

Funkcje własne mogą być wyrażane jako wektory kolumnowe, a operatory liniowe mogą być wyrażane jako macierze, chociaż mogą mieć nieskończone wymiary. W rezultacie wiele koncepcji związanych z wektorami własnymi macierzy przenosi się do badania funkcji własnych.

Zdefiniuj iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji, w której D jest zdefiniowane jako

{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ f ^ {*} (t) g (t) dt}

zintegrowany w pewnym zakresie zainteresowania dla t zwanego Ω. * Oznacza sprzężoną liczbę zespoloną .

Załóżmy, że przestrzeń funkcji ma ortonormalną bazę podaną przez zbiór funkcji { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}, gdzie n może być nieskończone. Dla bazy ortonormalnej

{\ Displaystyle \ langle u_ {i}, u_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t) dt = \ delta _ {ij }={\begin{przypadki}1&i=j\\0&i\neq j\end{przypadki}},}

gdzie δ _ij jest deltą Kroneckera i można je traktować jako elementy macierzy tożsamości .

Funkcje można zapisać jako liniową kombinację funkcji bazowych,

{\ Displaystyle f (t) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} u_ {j} (t)}

na przykład poprzez rozszerzenie Fouriera o f ( t ). Współczynniki b _j mogą być ułożone w wektor kolumnowy n na 1 b = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^T . W niektórych szczególnych przypadkach, takich jak współczynniki szeregu Fouriera funkcji sinusoidalnej, ten wektor kolumnowy ma wymiar skończony.

Dodatkowo zdefiniuj macierzową reprezentację operatora liniowego D z elementami

{\ Displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt. }

Możemy zapisać funkcję Df ( t ) albo jako liniową kombinację funkcji bazowych, albo jako D działającą po rozwinięciu f ( t ),

{\ Displaystyle Df (t) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} u_ {j} (t) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} Du_ { j}(t).}

Biorąc iloczyn skalarny każdej strony tego równania z dowolną funkcją bazową u _i ( t ),

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ suma _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t )dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_ {i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{wyrównany}}}

Jest to mnożenie macierzy Ab = c zapisane w notacji sumującej i jest macierzowym odpowiednikiem operatora D działającego na funkcji f ( t ) wyrażonej w bazie ortonormalnej. Jeśli f ( t ) jest funkcją własną D o wartości własnej λ , to Ab = λb .

Wartości własne i funkcje własne operatorów hermitowskich

Wiele operatorów spotykanych w fizyce to hermitowie . Załóżmy, że operator liniowy D działa na przestrzeni funkcji, która jest przestrzenią Hilberta o podstawie ortonormalnej określonej przez zbiór funkcji { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}, gdzie n może być nieskończonym. Na tej podstawie operator D ma reprezentację macierzową A z elementami

{\ Displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} dt \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t). }

zintegrowany w pewnym zakresie zainteresowania dla t oznaczonego jako Ω.

Przez analogię z macierzami hermitowskimi , D jest operatorem hermitowskim, jeśli A _ij = A _ji * lub:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle & = \ langle Du_ {i}, u_ {j} \ rangle, \ \ [-1pt] \ int _ {\ Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{ *}.\end{wyrównany}}}

Rozważmy operator hermitowski D z wartościami własnymi λ ₁ , λ ₂ , … i odpowiadającymi funkcjami własnymi f ₁ ( t ), f ₂ ( t ), …. Ten operator hermitowski ma następujące właściwości:

Jego wartości własne są rzeczywiste, λ _i = λ _i *
Jego funkcje własne spełniają warunek ortogonalności, jeśli i ≠ j ${\ Displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle = 0}$

Drugi warunek zawsze obowiązuje dla λ _i ≠ λ _j . W przypadku zdegenerowanych funkcji własnych o tej samej wartości własnej λ _i , można zawsze wybrać ortogonalne funkcje własne, które obejmują przestrzeń własną związaną z λ _i , na przykład za pomocą procesu Grama-Schmidta . W zależności od tego, czy widmo jest dyskretne czy ciągłe, funkcje własne można znormalizować, ustawiając iloczyn wewnętrzny funkcji własnych równy odpowiednio delcie Kroneckera lub delcie Diraca .

Dla wielu operatorów hermitowskich, w szczególności operatorów Sturma-Liouville'a , trzecią własnością jest

Jego funkcje własne tworzą podstawę przestrzeni funkcji, na której zdefiniowany jest operator

W konsekwencji, w wielu ważnych przypadkach, funkcje własne operatora hermitowskiego tworzą bazę ortonormalną. W takich przypadkach dowolna funkcja może być wyrażona jako liniowa kombinacja funkcji własnych operatora hermitowskiego.

Aplikacje

Wibrujące struny

Kształt fali stojącej w strunie umocowanej na jej granicach jest przykładem funkcji własnej operatora różniczkowego. Dopuszczalne wartości własne zależą od długości struny i określają częstotliwość drgań.

Niech $h (x, t)$ oznacza przesunięcie poprzeczne stresowym elastyczną strunę, takich jak na drgające struny o przyrządu łańcucha , w funkcji położenia $x$ wzdłuż łańcucha i w czasie $t$ . Stosując prawa mechaniki do nieskończenie małych części struny, funkcja $h$ spełnia równanie różniczkowe cząstkowe

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} h} {\ częściowy t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} h} {\ częściowy x ^ {2} }}},}

które nazywa się (jednowymiarowym) równaniem falowym . Tutaj

c

jest stałą prędkością, która zależy od napięcia i masy struny.

Problem ten jest podatny na metodę rozdzielania zmiennych . Jeśli założymy, że $h (x, t)$ można zapisać jako iloczyn postaci $X (x) T (t)$ , możemy utworzyć parę równań różniczkowych zwyczajnych:

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} X = - {\ Frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} X \ qquad {\ Frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}

Każda z nich jest równaniem wartości własnej z odpowiednio wartościami własnymi i $-$ $ω$ $2$ . Dla dowolnych wartości $ω$ i $c$ równania są spełnione przez funkcje ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

{\ Displaystyle X (x) = \ sin \ lewo ({\ Frac {\ omega x} {c}} + \ varphi \ prawej), \ qquad T (t) = \ sin (\ omega t + \ psi),}

gdzie kąty fazowe

φ

i

ψ

są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.

Jeśli nałożymy warunki brzegowe, na przykład, że końce struny są ustalone w $x = 0$ i $x = L$ , czyli $X (0) = X (L) = 0$ , oraz że $T (0) = 0$ , ograniczamy wartości własne. Dla tych warunków brzegowych $sin(φ) = 0$ i $sin(ψ) = 0$ , więc kąty fazowe $φ = ψ = 0$ , a

{\ Displaystyle \ sin \ lewo ({\ Frac {\ omega L} {c}} \ po prawej) = 0.}

Ten ostatni warunek brzegowy ogranicza $ω$ do przyjęcia wartości $ω n =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ncπ/L$ , gdzie $n$ jest dowolną liczbą całkowitą. W ten sposób zaciśnięta struna obsługuje rodzinę fal stojących formy

{\ Displaystyle h (x, t) = \ grzech \ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L}} \ prawo) \ grzech (\ omega _ {n} t).}

W przykładzie instrumentu smyczkowego częstotliwość $ω n$ jest częstotliwością $n-$ tej harmonicznej , która nazywana jest $(n - 1)$ -tym nadtonem .

Równanie Schrödingera

W mechanice kwantowej The równanie Schrödingera

{\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ psi (\ mathbf {r} , t) = H \ psi (\ mathbf {r} , t)}

z operatorem Hamiltona

{\ Displaystyle H = - {\ Frac {\ Hbar ^ {2}} {2 m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {R}, t)}

można rozwiązać przez separację zmiennych, jeśli hamiltonian nie zależy wyraźnie od czasu. W takim przypadku funkcja falowa

Ψ(r, t) = φ (r) T (t)

prowadzi do dwóch równań różniczkowych,

{\ Displaystyle H \ varphi (\ mathbf {r} ) = E \ varphi (\ mathbf {r})}

( 2 )

{\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy T (t)} {\ częściowy t}} = ET (t).}

( 3 )

Oba te równania różniczkowe są równaniami wartości własnej z wartością własną $E$ . Jak pokazano we wcześniejszym przykładzie, rozwiązaniem równania ( 3 ) jest wykładniczy

{\ Displaystyle T (t) = e ^ {{-iET} / {\ hbar}}.}

Równanie ( 2 ) jest niezależnym od czasu równaniem Schrödingera. Funkcje własne $φ k$ operatora hamiltonowskiego są stanami stacjonarnymi układu mechaniki kwantowej, z których każdy ma odpowiednią energię $E k$ . Reprezentują one dopuszczalne stany energetyczne systemu i mogą być ograniczone warunkami brzegowymi.

Operator hamiltonowski $H$ jest przykładem operatora hermitowskiego, którego funkcje własne tworzą bazę ortonormalną. Gdy Hamiltona nie zależy wyraźnie od czasu, ogólne rozwiązania równania Schrödingera są liniowe kombinacje stanach stacjonarnych pomnożonej przez drgający $T (t)$ , lub, w przypadku systemu o ciągłym widmie ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/ {\hbar }}}$

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {R} , t) = \ int de \ c_ {e} \ varphi _ {e} (\ mathbf {r}) e ^ {{-iET} / {\ hbar}} .}

Sukces równania Schrödingera w wyjaśnianiu spektralnych właściwości wodoru uważany jest za jeden z największych triumfów fizyki XX wieku.

Sygnały i systemy

W badaniu sygnałów i systemów funkcja własna systemu jest sygnałem $f (t),$ który po wprowadzeniu do systemu wytwarza odpowiedź $y (t) = λf (t)$ , gdzie $λ$ jest złożoną skalarną wartością własną.

Zobacz też

Uwagi

Cytaty

Prace cytowane

Courant, Ryszard; Hilberta, Dawida. Metody fizyki matematycznej . Tom 1. Wiley. Numer ISBN 047150447-5. |volume=ma dodatkowy tekst ( pomoc )(Tom 2: ISBN 047150439-4 )
Dawidow, AS (1976). Mechanika kwantowa . Przetłumaczone, zredagowane i uzupełnione przez D. ter Haara (wyd. 2). Oxford: Pergamon Press. Numer ISBN 008020438-4.
Girod, Bernd ; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Aleksander (2001). Sygnały i systemy (wyd. 2). Wileya. Numer ISBN 047198800-6.
Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Fizyka Matematyczna . Nowy Jork: Wiley Interscience. Numer ISBN 047115431-8.
Wasserman, Eric W. (2016). „Funkcja własna” . MatematykaŚwiat . Badania Wolframa . Źródło 12 kwietnia 2016 .

Zewnętrzne linki

Więcej obrazów (bez GPL) w Atom in a Box

Languages

In other projects