Forma zabijania - Killing form

W matematyce , forma Zabijanie , nazwany Wilhelm Killing , jest symetryczna forma dwuliniowa który odgrywa podstawową rolę w teorii grup Liego i algebr Liego . Kryteria Cartana (kryterium rozwiązalności i kryterium półprostoty) pokazują, że forma zabijania ma ścisły związek z półprostością algebr kłamstwa.

Historia i nazwa

Forma zabijania została zasadniczo wprowadzona do teorii algebry Liego przez Élie Cartana ( 1894 ) w swojej pracy magisterskiej. Nazwa „Killing form” po raz pierwszy pojawiła się w gazecie Armanda Borela w 1951 roku, ale stwierdził w 2001, że nie pamięta, dlaczego ją wybrał. Borel przyznaje, że nazwa wydaje się być myląca i że bardziej słusznie byłoby nazywać ją „formą Cartana” . Wilhelm Killing zauważył, że współczynniki równania charakterystycznego regularnego półprostego elementu algebry Liego są niezmienne w ramach grupy sprzężonej, z czego wynika, że forma Killinga (tj. współczynnik stopnia 2) jest niezmienna, ale nie uczynił bardzo korzystam z tego faktu. Podstawowym wynikiem, z którego skorzystał Cartan, było kryterium Cartana , które stwierdza, że forma Killinga jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy algebra Liego jest sumą prostą prostych algebr Liego .

Definicja

Rozważmy algebrę Liego nad ciałem $K$ . Każdy element $x$ of definiuje sprzężony endomorfizm $ad($ $x$ $)$ (zapisany również jako $ad$ $x$ ) of za pomocą nawiasu Lie, jako ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

{\ Displaystyle \ Operatorname {reklama} (x) (y) = [x, y].}

Przypuśćmy teraz, że ma skończony wymiar, ślad składu dwóch takich endomorfizmów określa symetryczną formę dwuliniową ${\mathfrak {g}}$

{\ Displaystyle B (x, y) = \ operatorname {ślad} (\ operatorname {reklama} (x) \ circ \ operatorname {reklama} (y)),}

z wartościami w $K$ , forma zabijania na . ${\mathfrak {g}}$

Nieruchomości

Następujące właściwości wynikają z twierdzeń z powyższej definicji.

Forma zabijania $B$ jest dwuliniowa i symetryczna.
Forma zabijania jest formą niezmienną, podobnie jak wszystkie inne formy uzyskane od operatorów Casimira . Wyprowadzenie Kazimierza operatorów znika; dla formy zabijania to znikanie można zapisać jako

B([x,y],z)=B(x,[y,z])

gdzie [ , ] to nawias Lie .

Jeśli jest prostą algebrą Liego, to każda niezmiennicza symetryczna forma dwuliniowa jest wielokrotnością skalarną formy Killinga. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$
Postać Zabijanie jest niezmienny podczas automorfizmy $s$ algebry , to znaczy ${\mathfrak {g}}$

B(s(x),s(y))=B(x,y)

dla

s

w .

{\mathfrak {g}}

W Cartan kryterium stwierdza, że algebra kłamstwo półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy forma Zabijanie to nie zdegenerowany .
Zabijająca forma nilpotentnej algebry Liego jest identycznie zerowa.
Jeśli $I, J$ są dwoma ideałami w algebrze Liego z przecięciem zerowym, to $I$ i $J$ są podprzestrzeniami ortogonalnymi względem formy Killinga. ${\mathfrak {g}}$
Dopełnienie ortogonalne względem $B$ ideału jest znowu ideałem.
Jeśli dana algebra Liego jest bezpośrednią sumą jej ideałów $I$ $1$ $,...,$ $I$ $n$ , to forma Zabijania jest sumą bezpośrednią form Zabijania poszczególnych sum. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Elementy matrycy

Mając bazę $e i$ algebry Liego , elementy macierzowe formy Killinga dane są wzorem ${\mathfrak {g}}$

{\ Displaystyle B_ {ij} = \ operatorname {ślad} (\ operatorname {reklama} (e_ {i}) \ circ \ operatorname {reklama} (e_ {j})).}

Tutaj

{\ Displaystyle \ lewo ({\ textrm {reklama}} (e_ {i}) \ circ {\ textrm {reklama}} (e_ {j}) \ prawej) (e_ {k}) = [e_ {i}, [e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk} }^{m}e_{n}}

w Einsteina notacji sumującego , gdzie $C ij K$ stanowią współczynniki struktury algebry Lie. Indeksu $k$ funkcję indeksu kolumny oraz indeksu $n$ , jako indeks wiersza w macierzy $AD (e ı) reklamy (e j)$ . Wzięcie śladu sprowadza się do postawienia $k = n$ i zsumowania, a więc możemy napisać

{\ Displaystyle B_ {ij} = {c_ {im}} ^ {n} {c_ {jn}} ^ {m}}

Forma Killinga jest najprostszym 2- tensorem, który można utworzyć ze stałych strukturalnych. Sama forma jest wtedy ${\ Displaystyle B = B_ {ij} e ^ {i} \ czasami e ^ {j}.}$

W powyższej zindeksowanej definicji staramy się rozróżniać indeksy górne i dolne (indeksy ko- i kontrawariantne ). Dzieje się tak, ponieważ w wielu przypadkach forma Killing może być używana jako tensor metryczny na rozmaitości, w którym to przypadku rozróżnienie staje się ważne dla właściwości transformacji tensorów. Kiedy algebra Liego jest półprosta na polu o zerowej charakterystyce, jej forma zabijania jest niezdegenerowana, a zatem może być używana jako tensor metryczny do podnoszenia i obniżania indeksów. W takim przypadku zawsze można dobrać taką bazę , aby stałe struktury ze wszystkimi górnymi indeksami były całkowicie antysymetryczne . ${\mathfrak {g}}$

Zabijanie postać kilku algebrach Lie są (dla $X$ $,$ $Y,$ w widoku na jego reprezentację podstawowej matrycy) ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

${\mathfrak {g}}$	$B (X, Y)$
$gl (n, R)$	$2 n tr(XY) - 2 tr(X) tr(Y)$
$sl (n, R)$ , $n\geq 2$	$2 n TR (XY)$
$su (n)$ , $n\geq 2$	$2 n TR (XY)$
$więc (n)$ , $n\geq 3$	$(n -2) tr(XY)$
$więc (n, C)$ , $n\geq 3$	$(n -2) tr(XY)$
$sp (2n, R)$ , $n\geq 1$	$(2 n +2) tr(XY)$
$sp (2n, C)$ , $n\geq 1$	$(2 n +2) tr(XY)$
$sp (n)$ , $n\geq 1$	$(2 n +2) tr(XY)$

Połączenie z rzeczywistymi formami

Załóżmy, że jest to półprosta algebra Liego nad ciałem liczb rzeczywistych . Według kryterium Cartana forma Killing jest niezdegenerowana i może być przekątna w odpowiedniej podstawie za pomocą wpisów diagonalnych $\pm1$ . Zgodnie z prawem bezwładności Sylwestra liczba wpisów dodatnich jest niezmiennikiem postaci dwuliniowej, tzn. nie zależy od wyboru bazy diagonalizującej i jest nazywana indeksem algebry Liego . Jest to liczba od $0$ do wymiaru, który jest ważnym niezmiennikiem prawdziwej algebry Liego. W szczególności rzeczywista algebra Liego nazywana jest zwartą, jeśli forma Killinga jest ujemnie określona (lub ujemna półokreślona, jeśli algebra Liego nie jest półprosta). Zauważ, że jest to jedna z dwóch nierównoważnych definicji powszechnie używanych dla zwartości algebry Liego; druga stwierdza, że algebra Liego jest zwarta, jeśli odpowiada zwartej grupie Liego. Definicja zwartości pod względem ujemnej określoności formy zabijanie jest bardziej restrykcyjne, ponieważ stosując tę definicję można wykazać, że w ramach korespondencji Lie , kompaktowe algebry Liego odpowiadają zwartych grup Liego . ${\mathfrak {g}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Jeśli jest półprostą algebrą Liego nad liczbami zespolonymi, to istnieje kilka nieizomorficznych rzeczywistych algebr Liego, których złożoność wynosi , które nazywane są jego formami rzeczywistymi . Okazuje się, że każda złożona półprosta algebra Liego dopuszcza unikalną (aż do izomorfizmu) zwartą formę rzeczywistą . Rzeczywiste formy danej złożonej półprostej algebry Liego są często oznaczane przez dodatni wskaźnik bezwładności ich formy zabijania. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ mathbb {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ mathbb {C}}}$ ${\mathfrak {g}}$

Na przykład, złożona specjalna algebra liniowa ma dwie formy rzeczywiste, rzeczywistą specjalną algebra liniową, oznaczoną , oraz specjalną algebra unitarną , oznaczoną . Pierwsza z nich jest niekompaktowa, tak zwana podzielona forma rzeczywista , a jej zabójcza forma ma sygnaturę $(2, 1)$ . Druga to zwarta forma rzeczywista, a jej forma Killing jest określona ujemnie, tzn. posiada sygnaturę $(0, 3)$ . Odpowiednie grupy Lie są niezagęszczonych grupy od $2 x 2$ rzeczywistych matryc wyznacznika jednostkowej i specjalne grupy jednostkowej , która jest zwarta. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R})$ ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$