Lokalnie zwarta grupa - Locally compact group

W matematyce , o lokalnie zwarta grupa jest topologiczna grupa G , dla których podstawowa topologia jest lokalnie zwarta i Hausdorffa . Lokalnie zwartych grupach są ważne, ponieważ wiele przykładów grup, które powstają w całej matematyce są lokalnie zwarte i takie grupy mają naturalny środek o nazwie miarą Haar . Pozwala to na określenie całki z borelowskich mierzalnych funkcjami G , tak aby standardowe pojęcia analizy, takich jak transformaty Fouriera i przestrzenie mogą być uogólnione.

Wiele z wynikami grupy skończonej teorii reprezentacji zostały udowodnione przez uśrednianie grupy. Dla zwartych grupach modyfikacje tych dowodów daje podobne wyniki, średnio w odniesieniu do znormalizowanej Haar całki . W ogólnym ustawieniem lokalnie zwartej, takie techniki nie muszą trzymać. Teoria otrzymany jest centralną częścią analizy harmonicznej . Teoria reprezentacja lokalnie zwartych grupa przemienna jest opisany przez Pontryagin dwoistości .

Przykłady i kontrprzykłady

  • Wszelkie zwarta grupa jest lokalnie zwarta.
    • W szczególności grupę okręgu T liczb zespolonych o module poniżej jednostki rozmnażania jest zwarta i jako takie lokalnie zwarte. Grupa koło historycznie służył jako pierwszy topologicznie nietrywialnej grupy również mają właściwości miejscowej zwartości i jako takie motywację do poszukiwania bardziej ogólnej teorii, przedstawione tutaj.
  • Wszelkie dyskretne grupa jest lokalnie zwarta. W związku z teorią grup lokalnie zwartych obejmuje teorię zwykłych grup, ponieważ każda grupa może mieć dyskretnego topologii .
  • Grupy Liego , które są lokalnie euklidesowa, są lokalnie zwartych grupach.
  • Hausdorffa Przestrzeń topologiczna wektor jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa .
  • Addytywna grupa liczb wymiernych Q nie jest lokalnie zwarta, gdy ze względu na względną topologii jako podzbiór liczb rzeczywistych . To jest lokalnie zwarta wtedy podane topologię dyskretną.
  • Addytywna grupa p -adic liczby Q p jest lokalnie zwarta dla każdej liczby pierwszej p .

Nieruchomości

Przez jednorodności, lokalna zwartość bazowego miejsca dla grupy topologicznej muszą być sprawdzane tylko na tożsamości. Oznacza to, że grupa G jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy element neutralny ma zwartą sąsiedztwo . Wynika z tego, że istnieje lokalna baza zwartych dzielnicach w każdym punkcie.

Grupa topologiczna jest Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy trywialne jednoelementowych podgrupa jest zamknięty.

Każdy zamknięty podgrupa lokalnie zwartej grupie jest lokalnie zwarta. (Stan zamknięcia jest konieczne, ponieważ grupa wymiernych pokazuje). Z drugiej strony, co lokalnie zwarta podgrupę grupy Hausdorffa jest zamknięty. Każdy iloraz lokalnie zwartej grupie jest lokalnie zwarta. Produkt z rodziny lokalnie zwartych grupach jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy wszyscy ale skończonej liczby czynników są rzeczywiście zwarte.

Grupa topologiczna zawsze są całkowicie regularne jako przestrzeni topologicznych. Lokalnie zwartych grupach mają silniejszą własność bycia normalnym .

Każda lokalnie zwarta grupa, która jest drugim przeliczalny jest metryzowalny jako grupa topologiczna (czyli można nadać lewej niezmienna metryczny zgodny z topologią) i kompletne .

W polskiej grupie G The σ-algebra Haar zerową określa spełnia przeliczalna stan łańcucha wtedy i tylko wtedy, gdy G jest lokalnie zwarta.

Lokalnie zwarta grupa przemienna

Dla każdego lokalnie zwarta abelowa (LCA) grupy A , grupy ciągłych homomorfizmów

Hom ( , S 1 )

z do grupy okręgu jest ponownie lokalnie zwarta. Pontryagin dualizm twierdzi, że to funktor indukuje równoważność kategorii

LCA op → LCA.

Ten funktor wymienia kilka właściwości grup topologicznych. Na przykład, grupy skończonych odpowiadają grupom skończonych zwartych grupach odpowiadają odrębne grupy, a metrisable grupy odpowiadają związkom o policzalnych zwartych grupach (a odwrotnie dla wszystkich instrukcji).

Grupy LCA stanowią dokładnie kategorię , przy dopuszczalnych monomorfizm zamykane podgrupy i dopuszczalne epimorfizm będące topologiczne mapy iloraz. Możliwe jest zatem rozważenie K-teoria spektrum tej kategorii. Clausen, (2017) wykazały, że mierzy się różnicę pomiędzy algebraicznej K-teorii z Z i R , liczb całkowitych i liczb rzeczywistych, odpowiednio, w tym sensie, że jest to sekwencja włókien homotopią

K ( Z ) → k ( R ) → K (LCA).

Zobacz też

Referencje

  • Folland Gerald B. (1995), Kurs w abstrakcyjnej analizy harmonicznej , CRC Press, ISBN  978-0-8493-8490-5,
  • Clausen Dustin (2017), podejście teoretyczne K do mapy Artin , arXiv : 1703,07842 , bibcode : 2017arXiv170307842C