Miara haara - Haar measure

W analizie matematycznej The miarą Haar przypisuje się „głośności” niezmienny do podzbiorów lokalnie zwartych grupach topologicznych konsekwencji definiując całkę dla funkcji w tych grupach.

Środek ten został wprowadzony przez Alfréda Haara w 1933 roku, chociaż jego szczególny przypadek dla grup Liego został wprowadzony przez Adolfa Hurwitza w 1897 roku pod nazwą „całka niezmiennicza”. Środki Haar są wykorzystywane w wielu częściach analizy , teorii liczb , teorii grup , teorii reprezentacji , statystyki , rachunku prawdopodobieństwa i teorii ergodycznej .

Czynności wstępne

Niech będzie lokalnie zwartą grupą topologiczną Hausdorffa . -Algebra generowane przez wszystkich otwartych podzbiorów jest nazywana algebrą Borel . Element algebry Borela nazywamy zbiorem Borela . Jeśli jest elementem i jest podzbiorem , to określenia prawy i lewy przekłada o o g w sposób następujący: ${\displaystyle (G,\cdot)}$ ${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle S}$

• Tłumaczenie lewe:

${\ Displaystyle gS = \ {g \ cdot s \,: \ s \ w S \}.}$

• Przetłumacz w prawo:

${\ Displaystyle Sg = \ {s \ cdot g \,: \ s \ w S \}.}$

Lewa i prawa strona tłumaczą zbiory Borelowskie na zbiory Borelowskie.

Miara na podzbiorach borelowskich o nazywa lewej tłumaczenie niezmienny , jeśli dla wszystkich podzbiorów borelowskich i wszystkie z nich ma ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle S\subseteq G}$${\ Displaystyle g \ w G}$

${\ Displaystyle \ mu (gS) = \ mu (S). \ quad}$

Miara na podzbiorach borelowskich jest nazywana prawostronnym niezmiennikiem, jeśli dla wszystkich podzbiorów borelowskich i każdy ma ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle S\subseteq G}$${\ Displaystyle g \ w G}$

${\ Displaystyle \ mu (Sg) = \ mu (S). \ quad}$

twierdzenie Haara

Istnieje, aż do dodatniej stałej multiplikatywnej, unikalna, przeliczalnie addytywna , nietrywialna miara podzbiorów borelowskich spełniająca następujące właściwości: ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle G}$

• Miara jest niezmienna w tłumaczeniu lewostronnym: dla wszystkich zbiorów borelowskich .${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu (gS) = \ mu (S)}$${\ Displaystyle g \ w G}$${\displaystyle S\subseteq G}$
• Miara jest skończona na każdym zestawie kompaktowym: dla wszystkich kompaktowych .${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu (K) <\ infty}$${\displaystyle K\subseteq G}$
• Miara jest zewnętrzna regularna na zestawach Borel :${\ Displaystyle \ mu}$${\displaystyle S\subseteq G}$

${\ Displaystyle \ mu (S) = \ inf \ {\ mu (U): S \ subseteq U, U {\ tekst {otwarty}} \}.}$

• Miara jest wewnętrzna regularna na otwartych zestawach :${\ Displaystyle \ mu}$${\displaystyle U\subseteq G}$

${\ Displaystyle \ mu (U) = \ sup \ {\ mu (K): K \ subseteq U, K {\ tekst {kompaktowy}} \}.}$

Taka miara na nazywana jest lewą miarą Haara. W konsekwencji powyższych właściwości można wykazać, że dla każdego niepustego podzbioru otwartego . W szczególności, jeśli jest zwarta, to jest skończona i dodatnia, więc możemy jednoznacznie określić lewą miarę Haara on , dodając warunek normalizacji . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mu (U)> 0}$${\displaystyle U\subseteq G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mu (G)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mu (G) = 1}$

W pełnej analogii można również udowodnić istnienie i wyjątkowość właściwej miary Haara na . Te dwa środki nie muszą się pokrywać. ${\ Displaystyle G}$

Niektórzy autorzy definiują miarę Haara na zbiorach Baire'a, a nie na zbiorach Borela. To sprawia, że ​​warunki regularności są niepotrzebne, ponieważ miary Baire'a są automatycznie regularne. Halmos dość myląco używa terminu "zbiór borelowski" dla elementów pierścienia -ring generowanych przez zbiory kompaktowe i definiuje miary Haara na tych zbiorach. ${\displaystyle \sigma}$

Lewa miara Haara spełnia warunek wewnętrznej regularności dla wszystkich -skończonych zbiorów borelowskich, ale może nie być wewnętrzną regularnością dla wszystkich zbiorów borelowskich. Na przykład iloczyn okręgu jednostkowego (z jego zwykłą topologią) i rzeczywista linia z dyskretną topologią jest lokalnie zwartą grupą z topologią iloczynu, a miara Haara w tej grupie nie jest regularna wewnętrznie dla zamkniętego podzbioru . (Zwarte podzbiory tego pionowego segmentu są zbiorami skończonymi, a punkty mają miarę , więc miarą dowolnego zwartego podzbioru tego pionowego segmentu jest . Ale używając zewnętrznej regularności, można pokazać, że segment ma nieskończoną miarę.) ${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle \ {1 \} \ razy [0,1]}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle 0}$

Istnienie i wyjątkowość (aż do skalowania) lewej miary Haara po raz pierwszy udowodnił w pełnej ogólności André Weil . Dowód Weila wykorzystywał aksjomat wyboru, a Henri Cartan dostarczył dowodu, który unikał jego użycia. Dowód Cartana potwierdza jednocześnie istnienie i wyjątkowość. Uproszczony i kompletny opis argumentu Cartana został przedstawiony przez Alfsena w 1963 roku. Specjalny przypadek niezmiennej miary dla grup lokalnie zwartych policzalnych jako drugi został przedstawiony przez Haara w 1933 roku.

Przykłady

• Jeśli jest grupą dyskretną , to zwarte podzbiory pokrywają się ze skończonymi podzbiorami, a (lewy i prawy niezmiennik) miara Haar on jest miarą zliczania . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$
• Miara Haara w grupie topologicznej, która przyjmuje wartość z przedziału, jest równa ograniczeniu miary Lebesgue'a do podzbiorów borelowskich . Można to uogólnić na:${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ,+)}$${\ Displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n} +).}$
• W celu zdefiniowania miary Haara w grupie okręgu , rozważ funkcję od do zdefiniowaną przez . Wtedy można zdefiniować przez ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,2\pi]}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle f (t) = (\ cos (t), \ sin (t))}$${\ Displaystyle \ mu}$

  ${\ Displaystyle \ mu (S) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} m \ lewo (f ^ {-1} (S) \ prawej)}$

  gdzie jest miara Lebesgue'a na . Czynnik dobiera się tak, aby . ${\ Displaystyle m}$${\displaystyle [0,2\pi]}$${\ Displaystyle (2 \ pi) ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ mu (\ mathbb {T} ) = 1}$
• Jeśli jest grupą dodatnich liczb rzeczywistych poddawanych mnożeniu, to miara Haara jest dana wzorem ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mu}$

  ${\ Displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {\ Frac {1} {t}} \ dt}$

  dla dowolnego podzbioru borelowskich dodatnich liczb rzeczywistych. Na przykład, jeśli przyjmujemy , że jest to przedział , to znajdujemy . Teraz pozwalamy, aby grupa multiplikatywna działała na tym przedziale przez pomnożenie wszystkich jej elementów przez liczbę , w wyniku czego jest przedziałem Mierząc ten nowy przedział, znajdujemy${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [a,b]}$${\ Displaystyle \ mu (S) = \ log (b/a)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gS}$${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$${\ Displaystyle \ mu (gS) = \ log ((g \ cdot b) / (g \ cdot a)) = \ log (b / a) = \ mu (S).}$
• Jeśli jest grupą niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem jako operacją, to miarą Haara jest ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mu}$

  ${\ Displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {\ Frac {1} {| t |}} \ dt}$

  dla dowolnego podzbioru borelowskich liczb rzeczywistych niezerowych. ${\displaystyle S}$
• Dla ogólnej grupy liniowej , dowolna lewa miara Haara jest prawą miarą Haara i jedną z takich miar jest ${\ Displaystyle G = GL (n \ mathbb {R} )}$${\ Displaystyle \ mu}$

  ${\ Displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {1 \ ponad | \ det (X) | ^ {n}} \ dX}$

  gdzie oznacza miarę Lebesgue'a na utożsamianą ze zbiorem wszystkich -matryc. Wynika to ze zmiany formuły zmiennych . ${\displaystyle dX}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n ^ {2}}}$${\displaystyle n\razy n}$
• Uogólniając poprzednie trzy przykłady, jeśli grupa jest reprezentowana jako otwarty podrozmaitość z płynnymi operacjami grupowymi, to lewa miara Haara na jest dana przez , gdzie jest jakobianem wyznacznika mnożenia w lewo przez i jest miarą Lebesgue'a na . Wynika to ze zmiany formuły zmiennych . Prawidłowa miara Haara jest podana w ten sam sposób, z wyjątkiem bycia jakobianem prawego mnożenia przez . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {| J (x) |}} d ^ {n} x}$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle d ^ {n} x}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle x}$
• Niech będzie zbiorem wszystkich afinicznych przekształceń liniowych postaci dla niektórych ustalonych z skojarzeniem z działaniem funkcji kompozycja , która zamienia się w grupę nieabelową. można utożsamić z prawą połówkową płaszczyzną, pod którą operacja grupowa staje się lewostronna miara Haara (odpowiednio prawo-niezmienna miara Haara ) na jest dana wzorem ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle A: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\displaystyle r\mapsto xr+y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R}}$${\displaystyle x>0.}$${\ Displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle (0, \ infty ) \ razy \ mathbb {R} = \ lewo \ {(x, y) ~: ~ x, y \ w \ mathbb {R}, x> 0 \ prawej \}}$${\ Displaystyle (s, t) \ circ (u, v) = (su, sv + t).}$${\ Displaystyle \ mu _ {L}}$${\ Displaystyle \ mu _ {R}}$${\ Displaystyle G = (0, \ infty) \ razy \ mathbb {R}}$

  ${\ Displaystyle \ mu _ {L} (S) = \ int _ {S} {\ Frac {1} {x ^ {2}}} \ dx \ dy}$     oraz     ${\ Displaystyle \ mu _ {R} (S) = \ int _ {S} {\ Frac {1} {x}} \ DX \ Dy}$

  Borel dla każdego podzbioru w Jeśli bowiem jest otwarte podzestawu następnie przez stałe, integracja przez podstawienie daje ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle G = (0, \ infty) \ razy \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle S \ subseteq (0, \ infty) \ razy \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (s, t) \ w G}$

  ${\ Displaystyle \ mu _ {L} ((s, t) \ circ S) = \ int _ {(s, t) \ circ S} {\ Frac {1} {x ^ {2}}} \ dx \,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$

  natomiast na stałe, ${\ Displaystyle (u, v) \ w G}$

  ${\ Displaystyle \ mu _ {R} (S \ circ (u, v)) = \ int _ {S \ circ (u, v)} {\ Frac {1} {x}} \ dx \ dy = \int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$

• Na dowolnej grupie wymiarów Lie lewa miara Haara może być powiązana z dowolną niezerową lewostronną formą , tak jak miara Lebesgue'a ; i podobnie dla właściwych środków Haar. Oznacza to, że funkcja modułowy może być obliczony jako wartość bezwzględna determinantę z reprezentacji sprzężonego . ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$ ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\displaystyle |\omega |}$
• Jednostka hiperboli mogą być traktowane jako grupy pod pomnożenie określonego jak w przypadku liczby podziału kompleksu Zazwyczaj obszar środek półksiężyca służy do określenia hiperboliczny kąt w obszarze jej sektora hiperbolicznej . Miara Haara jednostki hiperboli jest generowana przez hiperboliczny kąt segmentów hiperboli. Na przykład miarą jednej jednostki jest odcinek biegnący od (1,1) do (e,1/e), gdzie e jest liczbą Eulera . Kąt hiperboliczny został wykorzystany w fizyce matematycznej z szybkością zastępującą prędkość klasyczną . ${\ Displaystyle \ {(x, y): x ^ {2}-y ^ {2} = 1, x > 0 \}}$ ${\ Displaystyle z = x + yj \ \ j ^ {2} = + 1.}$${\ Displaystyle C = \ {(x, y): | y | < x \ \ x ^ {2}-y ^ {2} <1 \}}$
• Jeśli jest grupą niezerowych kwaternionów , to może być postrzegana jako otwarty podzbiór . Miarą Haara jest ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mu}$

  ${\ Displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {\ Frac {1} {(x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2}) ^ {2} }}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$

  gdzie oznacza miarę Lebesgue'a w i jest podzbiorem borelowskim . ${\ Displaystyle dx \ klin dy \ klin dz \ klin dw}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle G}$
• Jeśli jest addytywną grupą liczb -adic dla liczby pierwszej , to miara Haara jest dana przez niech miary , gdzie jest pierścieniem -adic liczb całkowitych. ${\ Displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle a + p ^ {n} O}$${\ Displaystyle p ^ {-n}}$${\ Displaystyle O}$${\displaystyle p}$

Budowa miary Haara

Konstrukcja wykorzystująca zwarte podzbiory

Następująca metoda konstruowania miary Haara jest zasadniczo metodą stosowaną przez Haara i Weila.

Dla dowolnych podzbiorów z niepustymi określ jako najmniejszą liczbę lewych przekształceń tej okładki (więc jest to nieujemna liczba całkowita lub nieskończoność). Nie jest to addytywne na zbiorach zwartych , chociaż ma tę właściwość, że dla zbiorów zwartych rozłącznych pod warunkiem, że jest to wystarczająco małe otwarte sąsiedztwo identyczności (w zależności od i ). Ideą miary Haara jest przyjęcie pewnego rodzaju granicy as staje się mniejsze, aby dodać ją do wszystkich par rozłącznych zwartych zbiorów, chociaż najpierw należy ją znormalizować, aby granica nie była po prostu nieskończonością. Więc napraw zwarty zestaw z niepustym wnętrzem (które istnieje, ponieważ grupa jest lokalnie zwarta) i dla zwartego zestawu zdefiniuj ${\displaystyle S,T\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [T:S]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K\subseteq G}$${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\kubek L:U]}$${\displaystyle K,L\subseteq G}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle [K:U]}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ mu _ {A} (K) = \ Lim _ {U} {\ Frac {[K: U]} {[A: U]}}}$

gdzie limit zostaje przejęty przez odpowiednio ukierunkowany zbiór otwartych sąsiedztw tożsamości ostatecznie zawartej w danym sąsiedztwie; istnienie skierowanego zbioru takiego, że istnieje granica, następuje przy użyciu twierdzenia Tychonowa .

Funkcja jest addytywna na rozłącznych zwartych podzbiorach , co oznacza, że ​​jest to regularna zawartość . Z treści regularnej można skonstruować miarę, najpierw rozszerzając ją na zbiory otwarte według regularności wewnętrznej, następnie na wszystkie zbiory według regularności zewnętrznej, a następnie ograniczając ją do zbiorów borelowskich. (Nawet dla zbiorów otwartych , odpowiednia miara nie musi być podana przez formułę lim sup powyżej. Problem polega na tym, że funkcja dana przez formułę lim sup nie jest ogólnie przeliczalnie subaddytywna, a w szczególności jest nieskończona na dowolnym zbiorze bez zwartego domknięcia, nie jest to miara zewnętrzna). ${\ Displaystyle \ mu _ {A}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mu _ {A}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (U)}$

Konstrukcja wykorzystująca kompaktowo obsługiwane funkcje

Cartan wprowadził inny sposób konstruowania miary Haara jako miary Radona (dodatni funkcjonał liniowy na zwartie podpartych funkcjach ciągłych), który jest podobny do powyższej konstrukcji z tym wyjątkiem, że , , i są dodatnimi ciągłymi funkcjami zwartej podpory, a nie podzbiorami . W tym przypadku definiujemy jako nieskończoność liczb takich, że jest mniejsza niż kombinacja liniowa lewych przesunięć dla niektórych . Jak wcześniej zdefiniowaliśmy ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle [K:U]}$${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$${\ Displaystyle K (g)}$${\ Displaystyle c_ {1} U (g_ {1} g) + \ cdots + c_ {n} U (g_ {n} g)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {n} \ w G}$

${\ Displaystyle \ mu _ {A} (K) = \ Lim _ {U} {\ Frac {[K: U]} {[A: U]}}}$.

Fakt, że granica istnieje, wymaga pewnego wysiłku, aby udowodnić, chociaż zaletą tego jest to, że dowód unika użycia aksjomatu wyboru, a także daje unikalność miary Haara jako produktu ubocznego. Funkcjonalność rozciąga się do dodatniego funkcjonału liniowego na zwartych podpartych funkcjach ciągłych, a więc daje miarę Haara. (Zauważ, że chociaż granica jest liniowa w , poszczególne terminy zwykle nie są liniowe w .) ${\ Displaystyle \ mu _ {A}}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle [K:U]}$${\ Displaystyle K}$

Konstrukcja wykorzystująca średnie wartości funkcji

Von Neumann podał metodę konstruowania miary Haara przy użyciu średnich wartości funkcji, chociaż działa ona tylko dla grup zwartych. Chodzi o to, że przy danej funkcji na zwartej grupie można znaleźć wypukłą kombinację (gdzie ) jej lewych przesunięć, która różni się od funkcji stałej o co najwyżej pewną małą liczbę . Następnie pokazujemy, że jak dąży do zera, wartości tych stałych funkcji dążą do granicy, która nazywa się średnią wartością (lub całką) funkcji . ${\displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ suma a_ {i} f (g_ {i} g)}$${\ Displaystyle \ suma a_ {i} = 1}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle f}$

Dla grup, które są lokalnie zwarte, ale nie zwarte, ta konstrukcja nie daje miary Haara, ponieważ średnia wartość funkcji zwartych obsługiwanych wynosi zero. Jednak coś takiego działa dla prawie okresowych funkcji w grupie, które mają średnią wartość, chociaż nie jest to podane w odniesieniu do miary Haara.

Konstrukcja na grupach Lie

Na n- wymiarowej grupie Liego miara Haara może być łatwo skonstruowana jako miara indukowana przez lewostronną formę n . Było to znane przed twierdzeniem Haara.

Właściwa miara Haara

Można również udowodnić, że istnieje jednoznaczna (aż do pomnożenia przez stałą dodatnią) miara borelowska o prawostronnym przekładzie, spełniająca powyższe warunki regularności i będąca skończona na zbiorach zwartych, ale nie musi pokrywać się z lewostronnym niezmiennikiem środek . Lewe i prawe miary Haara są takie same tylko dla tak zwanych grup unimodularnych (patrz niżej). Jednak znalezienie związku między i . ${\displaystyle \nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\displaystyle \nu}$

Rzeczywiście, dla zbioru borelowskiego oznaczmy przez zbiór odwrotności elementów . Jeśli zdefiniujemy ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {-1}}$${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ mu _ {-1} (S) = \ mu (S ^ {-1}) \ quad}$

to jest właściwa miara Haara. Aby pokazać właściwą niezmienność, zastosuj definicję:

${\ Displaystyle \ mu _ {-1} (Sg) = \ mu ((Sg) ^ {-1}) = \ mu (g ^ {-1} S ^ {-1}) = \ mu (S ^ { -1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Ponieważ właściwa miara jest unikalna, wynika z tego, że jest wielokrotnością i tak ${\ Displaystyle \ mu _ {-1}}$${\displaystyle \nu}$

${\ Displaystyle \ mu (S ^ {-1}) = k \ nu (S) \}$

dla wszystkich zbiorów borelowskich , gdzie jest pewna dodatnia stała. ${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

Funkcja modułowa

Lewej tłumaczyć z prawej miary Haara jest słuszną miarą Haar. Dokładniej, jeśli jest to właściwa miara Haara, to dla dowolnego ustalonego wyboru elementu grupowego g, ${\displaystyle \nu}$

${\ Displaystyle S \ mapsto \ nu (g ^ {-1} S) \ quad}$

jest również prawo niezmiennikiem. Tak więc, przez jednoznaczność aż do stałego współczynnika skalującego miary Haara, istnieje funkcja z grupy do liczb rzeczywistych dodatnich, zwana modułem Haara , funkcją modularną lub postacią modularną , taką, że dla każdego zbioru borelowskiego${\ Displaystyle \ Delta}$${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ nu (g ^ {-1} S) = \ Delta (g) \ nu (S). \ quad}$

Ponieważ właściwa miara Haara jest dobrze zdefiniowana aż do dodatniego współczynnika skalowania, równanie to pokazuje, że funkcja modułowa jest niezależna od wyboru właściwej miary Haara w powyższym równaniu.

Funkcja modularna to ciągły homomorfizm grupy od G do multiplikatywnej grupy dodatnich liczb rzeczywistych . Grupę nazywamy unimodularną, jeśli funkcja modularna jest identyczna lub równoważnie, jeśli miara Haara jest zarówno lewostronna, jak i prawostronna. Przykłady grup unimodular są grupa przemienna , zwartych grupach , odrębne grupy (np skończonej grupy ) półprosty grupy Lie i połączone nilpotent grupy Lie . Przykładem grupy nieunimodularnej jest grupa przekształceń afinicznych ${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle {\ duży \ {} x \ mapsto ax + b: a \ w \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} b \ w \ mathbb {R} {\ duży \}} = \ lewo \ {{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

na prawdziwej linii. Ten przykład pokazuje, że rozwiązywalna grupa Liego nie musi być jednomodułowa. W tej grupie lewa miara Haara jest podana przez , a prawa miara Haara przez . ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {a ^ {2}}} da \ klin db}$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {| a |}} da \ klin db}$

Pomiary na przestrzeniach jednorodnych

Jeśli lokalnie zwarta grupa działa przechodni w jednorodnej przestrzeni , można zapytać, czy ta przestrzeń ma miara niezmiennicza, lub bardziej ogólnie pół-miara niezmiennicza z własności, że dla jakiegoś znaku z . Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia takiego środka jest to, aby ograniczenie było równe , gdzie i są funkcjami modułowymi i odpowiednio. W szczególności niezmiennikiem mierze istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja modułowy z przekraczane jest modułowa funkcji z . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G/H}$${\ Displaystyle \ mu (gS) = \ chi (g) \ mu (S)}$${\ Displaystyle \ chi}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ chi | _ {H}}$${\ Displaystyle \ Delta | _ {H} / \ delta}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G/H}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle H}$

Przykład

Jeżeli jest grupą i jest podgrupą macierzy trójkątnych górnych, to funkcja modularna o jest nietrywialna, ale funkcja modularna o jest trywialna. Ilorazu tych nie można rozciągnąć do żadnego znaku , więc przestrzeń ilorazowa (którą można traktować jako jednowymiarową rzeczywistą przestrzeń rzutową ) nie ma nawet miary półniezmiennej. ${\ Displaystyle G}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R})}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G/H}$

Całka Haara

Korzystając z ogólnej teorii całkowania Lebesgue'a , można następnie zdefiniować całkę dla wszystkich borelowskich funkcji mierzalnych na . Ta całka nazywa się całką Haara i jest oznaczona jako: ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ int f (x) \ d \ mu (x)}$

gdzie jest miara Haara. ${\ Displaystyle \ mu}$

Jedną z właściwości lewej miary Haara jest to, że pozwalając być elementem , obowiązuje: ${\ Displaystyle \ mu}$${\displaystyle s}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ int _ {G} f (sx) \ d \ mu (x) = \ int _ {G} f (x) \ d \ mu (x)}$

dla dowolnej funkcji integrowalnej Haar na . Jest to natychmiastowe dla funkcji wskaźnika : ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ int {\ mathit {1}} _ {A} (tg) \ d \ mu = \ int {\ mathit {1}} _ {t ^ {-1} A} (g) \ d \mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu }$

co jest zasadniczo definicją lewostronnej niezmienności.

Zastosowania

W tym samym wydaniu Annals of Mathematics i zaraz po artykule Haara, twierdzenie Haara zostało użyte do rozwiązania piątego problemu Hilberta dla grup zwartych przez Johna von Neumanna .

O ile nie jest grupą dyskretną, nie jest możliwe zdefiniowanie przeliczalnie addytywnej lewostronnej miary regularnej na wszystkich podzbiorach , zakładając aksjomat wyboru , zgodnie z teorią zbiorów niewymiernych . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Abstrakcyjna analiza harmoniczna

Miary Haara są używane w analizie harmonicznej na lokalnie zwartych grupach, szczególnie w teorii dualizmu Pontryagina . Aby udowodnić istnienie miary Haara na grupie lokalnie zwartej , wystarczy wykazać lewostronną miarę Radona na . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Statystyki matematyczne

W statystyce matematycznej miary Haara są używane dla wcześniejszych miar, które są prawdopodobieństwami wstępnymi dla zwartych grup przekształceń. Te wcześniejsze środki są wykorzystywane do konstruowania dopuszczalnych procedur , poprzez odwołanie się do scharakteryzowania dopuszczalnych procedur jako procedur bayesowskich (lub granic procedur bayesowskich) przez Walda . Na przykład właściwa miara Haara dla rodziny rozkładów z parametrem lokalizacji daje w wyniku estymator Pitmana , który jest najlepszym ekwiwariantem . Gdy lewa i prawa miara Haar różnią się, miara prawa jest zwykle preferowana jako uprzednia dystrybucja. Dla grupy przekształceń afinicznych w przestrzeni parametrów rozkładu normalnego właściwą miarą Haara jest wcześniejsza miara Jeffreysa . Niestety, nawet właściwe miary Haara czasami skutkują bezużytecznymi a priori, których nie można polecić do praktycznego użycia, podobnie jak inne metody konstruowania a priori, które unikają subiektywnych informacji.

Innym zastosowaniem miary Haara w statystyce jest wnioskowanie warunkowe , w którym rozkład próbkowania statystyki jest uwarunkowany inną statystyką danych. W niezmienniczo-teoretycznym wnioskowaniu warunkowym rozkład próbkowania jest uwarunkowany niezmiennikiem grupy przekształceń (w stosunku do której zdefiniowana jest miara Haara). Wynik warunkowania zależy czasem od kolejności użycia niezmienników i od wyboru maksymalnego niezmiennika , tak że statystyczna zasada niezmienności sama w sobie nie wybiera żadnej unikatowej najlepszej statystyki warunkowej (jeśli taka istnieje); potrzebna jest przynajmniej inna zasada.

W przypadku grup niekompaktowych statystycy rozszerzyli wyniki pomiaru Haara za pomocą grup wrażliwych .

Twierdzenie odwrotne Weila

W 1936 André Weil udowodnił (swego rodzaju) odwrotność do twierdzenia Haara, pokazując, że jeśli grupa ma miarę lewostronną z pewną właściwością rozdzielającą , to można zdefiniować topologię na grupie, a uzupełnianie grupy jest lokalnie kompaktowy i podana miara jest zasadniczo taka sama jak miara Haara w tym zakończeniu.

Zobacz też

• Niezmienna miara
• Dualizm Pontryagin
• Twierdzenie o reprezentacji Riesza-Markowa-Kakutaniego

Uwagi

Dalsza lektura

• Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), Radość z miary Haara , Graduate Studies in Mathematics, 150 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-0935-7, MR  3186070
• Loomis, Lynn (1953), Wprowadzenie do abstrakcyjnej analizy harmonicznych , D. van Nostrand and Co., hdl : 2027/uc1.b4250788.
• Hewitta, Edwina; Ross, Kenneth A. (1963), Abstrakcyjna analiza harmoniczna. Tom. I: Struktura grup topologicznych. Teoria integracji, reprezentacje grupowe. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 115 , Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR  0156915
• Nachbin, Leopoldo (1965), Haar Integral , Princeton, NJ: D. Van Nostrand
• André Weil , Podstawowa teoria liczb , Academic Press, 1971.

Zewnętrzne linki

• Istnienie i wyjątkowość całki Haara na lokalnie zwartej grupie topologicznej - Gert K. Pedersen
• O istnieniu i wyjątkowości miar niezmienniczych na grupach lokalnie zwartych — Simon Rubinstein-Salzedo