Lokalnie zwarta przestrzeń - Locally compact space

W topologii i pokrewnych dziedzin matematyki , A przestrzenią topologiczną nazywamy lokalnie zwarta , jeśli z grubsza rzecz biorąc, każda mała część wygląda jak przestrzeń niewielkiej części zwartej przestrzeni . Mówiąc dokładniej, jest to przestrzeń topologiczna, w której każdy punkt ma zwarte sąsiedztwo.

W analizie matematycznej szczególnie interesujące są przestrzenie lokalnie zwarte , jakimi są Hausdorff , określane skrótem jako przestrzenie LCH.

Formalna definicja

Niech X będzie przestrzenią topologiczną . Najczęściej X jest nazywane lokalnie zwartym, jeśli każdy punkt x na X ma zwarte sąsiedztwo , tj. istnieje zbiór otwarty U i zbiór zwarty K , takie, że . ${\displaystyle x\wU\podseteq K}$

Istnieją inne wspólne definicje: Wszystkie są równoważne, jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa (lub przedregularną). Ale generalnie nie są one równoważne :

1. każdy punkt X ma zwarte sąsiedztwo .

2. każdy punkt X ma zamknięte zwarte sąsiedztwo.

2′. każdy punkt X ma stosunkowo zwarte sąsiedztwo.

2″. każdy punkt X ma lokalną bazę o stosunkowo zwartych dzielnicach.

3. każdy punkt X posiada lokalną bazę zwartych sąsiedztw.

3′. dla każdego punktu x z X , każde otoczenie x zawiera zwarte otoczenie x .

4. X to Hausdorff i spełnia dowolny (lub równoważnie wszystkie) poprzednie warunki.

Relacje logiczne między warunkami:

• Warunki (2), (2'), (2″) są równoważne.
• Warunki (3), (3′) są równoważne.
• Żaden z warunków (2), (3) nie implikuje drugiego.
• Każdy warunek implikuje (1).
• Zwartość implikuje warunki (1) i (2), ale nie (3).

Warunek (1) jest prawdopodobnie najczęściej używaną definicją, ponieważ jest najmniej restrykcyjna, a pozostałe są jej równoważne, gdy X to Hausdorff . Ta równoważność jest konsekwencją faktu, że zwarte podzbiory przestrzeni Hausdorffa są domknięte, a domknięte podzbiory przestrzeni zwartych są zwarte.

Ponieważ są one definiowane w kategoriach stosunkowo zwartych zbiorów, przestrzenie spełniające (2), (2'), (2") można bardziej szczegółowo nazwać lokalnie względnie zwartymi . Steen i Seebach wołają (2), (2'), (2 ") silnie lokalnie zwarty w przeciwieństwie do właściwości (1), którą nazywają lokalnie zwartą .

Warunek (4) jest używany na przykład w Bourbaki. Prawie we wszystkich zastosowaniach lokalnie zwarte przestrzenie to rzeczywiście także Hausdorff. Te lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa (LCH) są zatem przestrzeniami, których dotyczy ten artykuł.

Przykłady i kontrprzykłady

Kompaktowe przestrzenie Hausdorffa

Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest również lokalnie zwarta, a wiele przykładów zwartych przestrzeni można znaleźć w artykule zwarta przestrzeń . Tutaj wspominamy tylko:

• przedział jednostkowy [0,1];
• zbiór Cantora ;
• kostka Hilberta .

Lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, które nie są zwarte

• Przestrzenie euklidesowe R ⁿ (a w szczególności prosta rzeczywista R ) są lokalnie zwarte w wyniku twierdzenia Heinego-Borela .
• Rozmaitości topologiczne dzielą lokalne właściwości przestrzeni euklidesowych i dlatego są również lokalnie zwarte. Obejmuje to nawet rozmaitości nieparakompaktowe, takie jak długa linia .
• Wszystkie przestrzenie dyskretne są lokalnie zwarte i Hausdorffa (są po prostu zerowymiarowymi rozmaitościami). Są one zwarte tylko wtedy, gdy są skończone.
• Wszystkie otwarte lub zamknięte podzbiory lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte w topologii podprzestrzennej . Daje to kilka przykładów lokalnie zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych, takich jak dysk jednostkowy (w wersji otwartej lub zamkniętej).
• Przestrzeń Q _p o p liczb -adic jest lokalnie zwarta, ponieważ jest homeomorficzny do zbioru Cantora minus jeden punkt. Tak więc lokalnie zwarte przestrzenie są tak samo przydatne w analizie p- adycznej, jak w analizie klasycznej .

Przestrzenie Hausdorffa, które nie są lokalnie zwarte

Jak wspomniano w następnej sekcji, jeśli przestrzeń Hausdorffa jest lokalnie zwarta, to jest to również przestrzeń Tychonowa . Z tego powodu przykłady przestrzeni Hausdorffa, które nie są lokalnie zwarte, ponieważ nie są przestrzeniami Tychonowa, można znaleźć w artykule poświęconym przestrzeniom Tychonowa . Ale są też przykłady przestrzeni Tychonowa, które nie są lokalnie zwarte, takie jak:

• przestrzeń P z liczb wymiernych (obdarzone topologii z B ), ponieważ wszelkie sąsiedztwo zawiera sekwencję Cauchy'ego odpowiadającą liczbie irracjonalna który nie ma podciąg zbieżny Q ;
• podprzestrzeń z , ponieważ pochodzenie nie posiada kompaktową sąsiedztwo;${\ Displaystyle \ {(0,0) \} \ filiżanka ((0, \ infty) \ razy \ mathbf {R})}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$
• prosta sorgenfreya lub górna granica Topologia na zbiorze R liczb rzeczywistych (użyteczne w badaniu granicach jednostronnych );
• dowolna T ₀ , stąd Hausdorff , topologiczna przestrzeń wektorowa , która jest nieskończenie - wymiarowa , taka jak nieskończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta .

Pierwsze dwa przykłady pokazują, że podzbiór lokalnie zwartej przestrzeni nie musi być lokalnie zwarty, co kontrastuje z podzbiorami otwartymi i zamkniętymi w poprzedniej sekcji. Ostatni przykład kontrastuje z przestrzeniami euklidesowymi z poprzedniej sekcji; mówiąc dokładniej, topologiczna przestrzeń wektorowa Hausdorffa jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa (w tym przypadku jest to przestrzeń euklidesowa). Ten przykład kontrastuje również z sześcianem Hilberta jako przykładem zwartej przestrzeni; nie ma sprzeczności, ponieważ sześcian nie może być sąsiedztwem żadnego punktu w przestrzeni Hilberta.

Przykłady spoza Hausdorffa

• Punktowe zwartym z liczb wymiernych Q jest zwarta i w związku z tym lokalnie zwarta zmysłów (1) i (2), ale nie jest lokalnie zwarta sensu (3).
• Poszczególna topologia punktów na dowolnym zbiorze nieskończonym jest lokalnie zwarta w sensie (1) i (3), ale nie w sensie (2), ponieważ domknięciem dowolnego sąsiedztwa jest cała niezwarta przestrzeń. To samo dotyczy linii rzeczywistej z topologią górną.
• Unia rozłączne z dwóch powyższych przykładów jest lokalnie zwarta w sensie (1), ale nie w znaczeniach (2) lub (3).
• Przestrzeń Sierpińskiego jest lokalnie zwarta w sensie (1), (2) i (3), a także zwarta, ale nie jest Hausdorffem (ani nawet przedregularną), a więc nie jest lokalnie zwarta w sensie (4). Rozłączna suma przeliczalnie wielu kopii przestrzeni Sierpińskiego ( homeomorficzna do topologii Hjalmara Ekdala ) jest przestrzenią niezwartą, która nadal jest lokalnie zwarta w sensach (1), (2) i (3), ale nie (4).

Nieruchomości

Każda lokalnie zwarta przedregularna przestrzeń jest w rzeczywistości całkowicie regularna . Wynika z tego, że każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenią Tychonowa . Ponieważ prosta regularność jest bardziej znanym warunkiem niż wstępna regularność (która jest zwykle słabsza) lub pełna regularność (która jest zwykle silniejsza), lokalnie zwarte przestrzenie przedregularne są zwykle określane w literaturze matematycznej jako lokalnie zwarte przestrzenie regularne . Podobnie lokalnie zwarte przestrzenie Tychonoffa są zwykle nazywane lokalnie zwartymi przestrzeniami Hausdorffa .

Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenią Baire'a . Oznacza to, że zawarcie twierdzenie baire'a posiada: the wnętrze każdej unii z przeliczalnie wielu nigdzie zwartych podzbiorów jest pusty .

Podprzestrzeń X lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa Y jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy X może być zapisany jako różnicę ustawiania teoretyczna dwóch zamkniętych podgrupach z Y . Jako następstwo, o gęstej podprzestrzeni X lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa Y jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy X jest podzbiorem otwartym od Y . Ponadto, jeśli podprzestrzeń X z każdej przestrzeni Hausdorffa Y jest lokalnie zwarta, a następnie X nadal musi być różnica dwóch zamkniętych podzbiorów Y , chociaż rozmawiać nie musi posiadać w tym przypadku.

Przestrzenie ilorazowe lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa są generowane w sposób zwarty . I odwrotnie, każda zwarta generowana przestrzeń Hausdorffa jest ilorazem jakiejś lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Dla przestrzeni lokalnie zwartych lokalna zbieżność jednostajna jest tym samym co zbieżność zwarta .

Punkt w nieskończoności

Ponieważ każda lokalnie zwarta przestrzeń X Hausdorffa jest Tychonoffem, można ją osadzić w zwartej przestrzeni Hausdorffa za pomocą zagęszczenia Stone–Čech . Ale w rzeczywistości istnieje prostsza metoda dostępna w przypadku lokalnie zwartej; jednopunktową zwartym osadzi X w zwartej przestrzeni Hausdorffa z jednym dodatkowym punktem. (Jednopunktowe zagęszczenie można zastosować do innych przestrzeni, ale będzie to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy X jest lokalnie zwarte i Hausdorffa.) Lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa można zatem scharakteryzować jako otwarte podzbiory zwartych przestrzeni Hausdorffa. ${\displaystyle b(X)}$${\ Displaystyle a (X)}$${\ Displaystyle a (X)}$

Intuicyjnie, dodatkowy punkt można traktować jako punkt w nieskończoności . Punkt w nieskończoności powinien być traktowany jako leżący poza każdym zwartym podzbiorem X . Wykorzystując tę ​​ideę, w lokalnie zwartych przestrzeniach Hausdorffa można sformułować wiele intuicyjnych wyobrażeń o tendencji do nieskończoności. Na przykład, mówi się , że ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych lub zespolonych f z dziedziną X znika w nieskończoności, jeśli przy danej liczbie dodatniej e istnieje zwarty podzbiór K z X taki, że zawsze , gdy punkt x leży poza K . Ta definicja ma sens dla każdej przestrzeni topologicznej X . Jeśli X jest lokalnie zwarty i Hausdorffa, takie funkcje są dokładnie tymi, które można rozszerzyć do funkcji ciągłej g na jej jednopunktowym zwartości, gdzie${\ Displaystyle a (X)}$ ${\displaystyle |f(x)|<e}$ ${\ Displaystyle a (X) = X \ filiżanka \ {\ infty \}}$${\displaystyle g(\infty)=0.}$

Zbiór wszystkich ciągłych funkcji o wartościach zespolonych, które zanikają w nieskończoności, jest C*-algebrą . W rzeczywistości każda przemienna C*-algebra jest izomorficzna z pewną unikatową ( aż do homeomorfizmu ) lokalnie zwartą przestrzenią X Hausdorffa . Dokładniej, kategorie lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa i przemiennych C*-algebr są dualne ; jest to pokazane za pomocą reprezentacji Gelfanda . Formowanie jednopunktowe zwarte z X odpowiada pod tym dualnością z sąsiednimi się element neutralny do${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\ Displaystyle a (X)}$${\displaystyle C_{0}(X).}$

Lokalnie kompaktowe grupy

Pojęcie zwartości lokalnej jest ważne w badaniach grup topologicznych głównie dlatego, że każda lokalnie zwarta grupa G Hausdorffa niesie miary naturalne zwane miarami Haara, które pozwalają na całkowanie funkcji mierzalnych określonych na G . Miara Lebesgue'a na prostej rzeczywistej jest szczególnym przypadkiem tego. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Pontryagin podwójny z topologicznej grupa przemienna A jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Dokładniej, Pontryagin dualizm definiuje samo- dualizm w kategorii lokalnie zwartych grupa przemienna. Badanie lokalnie zwartych grup abelowych jest podstawą analizy harmonicznej , pola, które od tego czasu rozprzestrzeniło się na nieabelowe lokalnie zwarte grupy.

Zobacz też

• Twierdzenie F. Riesza
• σ-kompaktowa przestrzeń

Cytaty

Bibliografia