Rozkład Iwasawy - Iwasawa decomposition

W matematyce , rozkładu Iwasawa (aka KAN z jego wypowiedzi) o półprosty grup Lie Rozpowszechnia sposób kwadrat prawdziwy matryca może być zapisany jako produkt o ortogonalnej macierzy oraz macierzy górną trójkątną ( rozkładu QR , konsekwencja Grama-Schmidta ortogonalizacja ). Jej nazwa pochodzi od nazwiska japońskiego matematyka Kenkichi Iwasawy , który opracował tę metodę.

Definicja

G jest połączoną, półprostą, prawdziwą grupą Lie .
${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ jest Algebra Lie z G
${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest complexification od . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$
θ jest Cartan inwolucji z ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {k}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {p}} _ {0}}$ jest odpowiednim rozkładem Cartana
${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}$ jest maksymalną abelową podalgebrą ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0}}$
Σ jest zbiorem ograniczonych pierwiastków , odpowiadających wartościom własnym działania . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$
Σ ⁺ to wybór pozytywnych korzeni Σ
${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {0}}$ jest nilpotentną algebrą Liego podaną jako suma pierwiastków z Σ ⁺
K , A , N to podgrupy Lie G generowane przez i . ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} _ {0}, {\ mathfrak {a}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {0}}$

Wtedy dekompozycja Iwasawa o to ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {k}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {a}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {n}} _ { 0}}

a rozkład Iwasawy G jest

{\ displaystyle G = KAN}

co oznacza, że istnieje analityczny dyfeomorfizm (ale nie homomorfizm grupowy) z rozmaitości do grupy Lie , wysyłania . ${\ displaystyle K \ razy A \ razy N}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle (k, a, n) \ mapsto kan}$

Wymiar od A (lub równoważnie z ) jest równa rzeczywistej rangę of G . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}$

Rozkłady Iwasawy zachodzą również dla niektórych odłączonych półprostych grup G , gdzie K staje się (odłączoną) maksymalną zwartą podgrupą, pod warunkiem, że środek G jest skończony.

Ograniczony rozkład przestrzeni głównej to

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {m.}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {a}} _ {0} \ oplus _ {\ lambda \ in \ Sigma} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda}}

gdzie jest centralizatorem in i jest przestrzenią główną. Liczba nazywana jest wielokrotnością . ${\ displaystyle {\ mathfrak {m.}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} _ {0}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda} = \ {X \ in {\ mathfrak {g}} _ {0}: [H, X] = \ lambda (H) X \; \; \ forall H \ in {\ mathfrak {a}} _ {0} \}}$ ${\ displaystyle m _ {\ lambda} = {\ text {dim}} \, {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Przykłady

Jeśli G = SL _n ( R ), to możemy przyjąć K jako macierze ortogonalne, A jako macierze dodatnie diagonalne z wyznacznikiem 1, a N jako jednopotentną grupę składającą się z górnych macierzy trójkątnych z 1s na przekątnej.

Dla przypadku n = 2 rozkład Iwasawy G = SL (2, R ) jest wyrażony w postaci

{\ Displaystyle \ mathbf {K} = \ lewo \ {{\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta i \ cos \ theta \ koniec {pmatrix}} \ w SL ( 2, \ mathbb {R}) \ | \ {\ text {grupa rotacyjna, kąt}} = \ theta \ right \} \ cong SO (2),}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} r & 0 \\ 0 & r ^ {- 1} \ koniec {pmatrix}} \ w SL (2, \ mathbb {R}) \ | \ r > 0 {\ text {liczba rzeczywista, przekątna,}} \ det = 1 \ right \},}

{\ Displaystyle \ mathbf {N} = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} 1 & x \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} \ w SL (2, \ mathbb {R}) \ | \ x \ w \ mathbf { R} {\ text {górny trójkątny z przekątnymi = 1}}, \ right \}.}

Dla grupy symplektycznej G = Sp (2n , R ) możliwy jest rozkład Iwasawy w kategoriach

{\ Displaystyle \ mathbf {K} = Sp (2n, \ mathbb {R}) \ nasadka SO (2n) = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} A & B \\ - B & A \ koniec {pmatrix}} \ in Sp (2n, \ mathbb {R}) \ | \ A + iB \ in U (n) \ right \} \ cong U (n),}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ lewo \ {{\ rozpocząć {pmatrix} D & 0 \\ 0 & D ^ {- 1} \ koniec {pmatrix}} \ w Sp (2n, \ mathbb {R}) \ | \ D {\ text {pozytyw, przekątna}} \ right \},}

{\ Displaystyle \ mathbf {N} = \ lewo \ {{\ zacząć {pmatrix} N&M \\ 0 & N ^ {- T} \ koniec {pmatrix}} \ in Sp (2n, \ mathbb {R}) \ | \ N {\ text {górny trójkątny z przekątnymi = 1}}, \ NM ^ {T} = MN ^ {T} \ right \}.}

Rozkład niearchimedesa Iwasawy

Istnieje analogia do powyższej dekompozycji Iwasawy dla pola niearchimedesa : w tym przypadku grupę można zapisać jako iloczyn podgrupy macierzy górnego trójkąta i podgrupy (maksymalnego zwartego) , gdzie jest pierścień liczb całkowitych z . ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle GL_ {n} (F)}$ ${\ Displaystyle GL_ {n} (O_ {F})}$ ${\ displaystyle O_ {F}}$ ${\ displaystyle F}$