Gęstość tensora - Tensor density

W geometrii różniczkowej , A gęstość napinacz lub względem napinacz jest uogólnieniem pola tensora koncepcji. A przekształca gęstości napinacz jak pole napinającej przy przejściu z jednego do drugiego układu współrzędnych (zob tensorowy pole ), poza tym, że jest dodatkowo mnożone lub ważone przez energii W w jakobian determinanty funkcji przejścia współrzędnych i wartości bezwzględnej. Rozróżnia się (autentyczne) gęstości tensorów, gęstości pseudotensorowe, parzyste i nieparzyste. Czasami gęstości tensorów o ujemnej wadze W nazywane są pojemnością tensorów. Gęstość napinacz może być również traktowana jako części tego produktu napinającej z wiązki napinającej z wiązki gęstości .

Motywacja

W fizyce i dziedzinach pokrewnych często przydaje się praca ze składowymi obiektu algebraicznego, a nie z samym obiektem. Przykładem może być dekompozycja wektora na sumę wektorów bazowych ważonych niektórymi współczynnikami, takimi jak

${\ Displaystyle {\ vec {v}} = c_ {1} {\ vec {e}} _ {1} + c_ {2} {\ vec {e}} _ {2} + c_ {3} {\ vec {e}} _ {3}}$

gdzie jest wektorem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , są typowymi standardowymi wektorami bazowymi w przestrzeni euklidesowej. Zwykle jest to konieczne do celów obliczeniowych i często może być wnikliwe, gdy obiekty algebraiczne reprezentują złożone abstrakcje, ale ich składniki mają konkretne interpretacje. Jednak przy tej identyfikacji należy uważać, aby śledzić zmiany podstawy, w której ilość jest rozszerzana; w trakcie obliczeń może okazać się celowa zmiana bazy, podczas gdy wektor pozostaje ustalony w przestrzeni fizycznej. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli obiekt algebraiczny reprezentuje obiekt geometryczny, ale jest wyrażony w kategoriach określonej podstawy, to w przypadku zmiany podstawy konieczna jest również zmiana reprezentacji. Fizycy często nazywają tę reprezentację obiektu geometrycznego tensorem, jeśli przekształca się on pod sekwencją map liniowych przy liniowej zmianie podstawy (chociaż inni w mylący sposób nazywają leżący u jego podstaw obiekt geometryczny, który nie zmienił się pod wpływem transformacji współrzędnych, „tensorem”, konwencji, której ten artykuł ściśle omija). Ogólnie rzecz biorąc, istnieją reprezentacje, które zmieniają się w dowolny sposób w zależności od tego, jak niezmiennik geometryczny jest rekonstruowany z reprezentacji. W pewnych szczególnych przypadkach wygodnie jest używać reprezentacji, które przekształcają się prawie jak tensory, ale z dodatkowym, nieliniowym czynnikiem w transformacji. Prototypowym przykładem jest macierz przedstawiająca iloczyn poprzeczny (obszar rozpiętego równoległoboku) na . Reprezentacja jest określona przez w standardowej podstawie przez ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ tekst {i}} {\ vec {e}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {u}} \ times {\ vec {v}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 i 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ end {bmatrix}} = u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}$

Jeśli teraz spróbujemy wyrazić to samo wyrażenie na podstawie innej niż podstawa standardowa, wówczas składowe wektorów ulegną zmianie, powiedzmy zgodnie z gdzie jest macierz liczb rzeczywistych 2 na 2. Biorąc pod uwagę, że powierzchnia rozpiętego równoległoboku jest niezmiennikiem geometrycznym, nie może ulec zmianie przy zmianie podstawy, dlatego nowa reprezentacja tej macierzy musi być: ${\ textstyle {\ begin {bmatrix} u '_ {1} & u' _ {2} \ end {bmatrix}} ^ {\ textf {T}} = A {\ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2 } \ end {bmatrix}} ^ {\ textf {T}}}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ lewo (A ^ {- 1} \ prawo) ^ {\ tekstyf {T}} {\ początek {bmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {bmatrix}} A ^ {- 1}}$

który po rozwinięciu jest tylko oryginalnym wyrażeniem, ale pomnożony przez wyznacznik , który również jest . W rzeczywistości reprezentacja ta może być traktowana jako dwuindeksowa transformacja tensorowa, ale zamiast tego obliczeniowo łatwiej jest myśleć o regule transformacji tensora jako o mnożeniu przez , a nie jako o 2 mnożeniu macierzy (w rzeczywistości w wyższych wymiarach naturalne rozszerzenie jest to mnożenie macierzy, co w dużej mierze jest całkowicie niewykonalne). Obiekty, które przekształcają się w ten sposób, nazywane są gęstościami tensorowymi, ponieważ pojawiają się one naturalnie podczas rozważania problemów dotyczących obszarów i objętości, a zatem są często używane w integracji. ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ det A}}}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ det A}}}$${\ displaystyle n, n \ razy n}$${\ displaystyle n}$

Definicja

Niektórzy autorzy klasyfikują w tym artykule gęstości tensorów na dwa typy zwane (autentycznymi) gęstościami tensorowymi i gęstościami pseudotensorowymi. Inni autorzy klasyfikują je inaczej, na typy zwane parzystymi gęstościami tensorowymi i nieparzystymi gęstościami tensorowymi. Gdy waga gęstości tensora jest liczbą całkowitą, istnieje równoważność między tymi podejściami, która zależy od tego, czy liczba ta jest parzysta, czy nieparzysta.

Należy zauważyć, że te klasyfikacje wyjaśniają różne sposoby, w jakie gęstości tensorów mogą ulegać pewnym patologicznym przekształceniom w wyniku odwrócenia orientacji przekształceń współrzędnych. Niezależnie od ich klasyfikacji do tych typów, istnieje tylko jeden sposób, w jaki gęstości tensorów przekształcają się pod wpływem orientacji - przy zachowaniu transformacji współrzędnych.

W tym artykule wybraliśmy konwencję, która przypisuje wagę +2 wyznacznikowi tensora metrycznego wyrażonemu za pomocą wskaźników kowariantnych . Przy takim wyborze klasyczne gęstości, takie jak gęstość ładunku, będą reprezentowane przez gęstości tensorowe o wadze +1. Niektórzy autorzy używają konwencji znakowej dla wag, która jest zaprzeczeniem tej przedstawionej tutaj.

W przeciwieństwie do znaczenia użytego w tym artykule, w ogólnej teorii względności „ pseudotensor ” czasami oznacza obiekt, który nie przekształca się jak tensor lub tensor względny o dowolnej wadze.

Gęstości tensorowe i pseudotensorowe

Na przykład mieszana gęstość tensora drugiego rzędu (autentyczna) masy W przekształca się jako:

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ lewo (\ det {\ lewo [{\ Frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ iota}} { \ częściowe {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ części {x} ^ {\ alpha}} {\ części {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ częściowe {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak { T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}$      ((autentyczna) gęstość tensora o (całkowitej) wadze W )

gdzie jest gęstością tensorów rzędu drugiego w układzie współrzędnych, jest gęstością tensorów po transformacji w układzie współrzędnych; i używamy wyznacznika jakobowskiego . Ponieważ wyznacznik może być ujemny, co dotyczy transformacji współrzędnych odwracającej orientację, ten wzór ma zastosowanie tylko wtedy, gdy W jest liczbą całkowitą. (Zobacz jednak poniżej parzyste i nieparzyste gęstości tensorów). ${\ displaystyle {\ bar {\ mathfrak {T}}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$${\ displaystyle {x}}$

Mówimy, że gęstość tensorów jest gęstością pseudotensorową, gdy występuje dodatkowe odwrócenie znaku w ramach transformacji współrzędnych odwracającej orientację. Mieszana gęstość pseudotensorowa rzędu drugiego o masie W przekształca się jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ lewo (\ det {\ lewo [{\ Frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ Partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ Partial {\ bar {x}} ^ {\ iota }} {\ części {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ części {x} ^ {\ alpha}} {\ części {\ bar { x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ częściowy {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ częściowy {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar { \ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}$      (gęstość pseudotensora o (całkowitej) masie W )

gdzie sgn () jest funkcją, która zwraca +1, gdy jej argument jest dodatni lub −1, gdy jej argument jest ujemny.

Parzyste i nieparzyste gęstości tensorów

Transformacje parzystych i nieparzystych gęstości tensorów mają tę zaletę, że są dobrze zdefiniowane, nawet jeśli W nie jest liczbą całkowitą. Można więc mówić, powiedzmy, o nieparzystej gęstości tensorowej o wadze +2 lub parzystej gęstości tensorowej o wadze -1/2.

Gdy W jest liczbą całkowitą parzystą, powyższy wzór na (autentyczną) gęstość tensora można przepisać jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ lewo \ vert \ det {\ lewo [{\ Frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ części {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ części {x} ^ {\ alpha}} {\ części {\ bar {x }} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ częściowe {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,.}$      (równa gęstość tensora o masie W )

Podobnie, gdy W jest nieparzystą liczbą całkowitą, wzór na (autentyczną) gęstość tensorów można przepisać jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ lewo (\ det {\ lewo [{\ Frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ Partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ Partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ częściowe {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ częściowe {x} ^ {\ alpha}} {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ częściowy {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ częściowy {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,.}$      (nieparzysta gęstość tensora masy W )

Wagi zero i jeden

Gęstość tensorów dowolnego typu, która ma wagę zerową, jest również nazywana tensorem absolutnym . (Równa) autentyczna gęstość tensora o wadze zero jest również nazywana zwykłym tensorem .

Jeśli waga nie jest określona, ​​ale słowo „względna” lub „gęstość” jest używane w kontekście, w którym potrzebna jest waga właściwa, zwykle przyjmuje się, że waga wynosi +1.

Własności algebraiczne

1. Kombinacja liniowa (czyli sumy ważonej ) z tensor gęstości tego samego rodzaju i wagi W jest znowu gęstość tensor tego rodzaju i masy ciała.
2. Iloczynem dwóch gęstości tensorów dowolnego typu io masach W ₁ i W ₂ jest gęstość tensora o masie W ₁ + W ₂ .

   Iloczyn autentycznych gęstości tensorów i gęstości pseudotensorowych będzie autentyczną gęstością tensorów, gdy parzysta liczba czynników jest gęstościami pseudotensorowymi; będzie to gęstość pseudotensorowa, gdy nieparzysta liczba czynników będzie gęstością pseudotensorową. Podobnie, iloczyn parzystych gęstości tensorów i nieparzystych gęstości tensorów będzie parzystą gęstością tensora, gdy parzysta liczba czynników jest nieparzystą gęstością tensora; będzie to nieparzysta gęstość tensorów, gdy nieparzysta liczba czynników będzie nieparzystą gęstością tensorów.

3. Skurcz wskaźników o gęstości masy z napinaczem W ponownie daje gęstość tensor wagi W .
4. Używając (2) i (3) widać, że podnoszenie i obniżanie wskaźników za pomocą tensora metrycznego (waga 0) pozostawia wagę niezmienioną.

Odwrócenie macierzy i wyznacznik macierzy gęstości tensorów

Jeśli jest macierzą niejednolitą i gęstością tensorową rzędu 2 o wadze W z indeksami kowariantnymi, to jej odwrotnością macierzy będzie gęstość tensorowa rzędu 2 wagi - W z indeksami kontrawariantnymi. Podobne stwierdzenia mają zastosowanie, gdy dwa indeksy są przeciwwariantne lub są mieszane kowariantne i kontrawariantne. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$

Jeśli jest gęstością tensorową rzędu 2 o wadze W z indeksami kowariantnymi, to wyznacznik macierzy będzie miał wagę NW + 2 , gdzie N jest liczbą wymiarów czasoprzestrzennych. Jeśli jest gęstością tensorową rzędu drugiego o wadze W z indeksami kontrawariantnymi, to wyznacznik macierzy będzie miał wagę NW - 2 . Wyznacznik macierzy będzie miał wagę NW . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {~ \ beta} ^ {\ alpha}}$

Ogólna teoria względności

Część serii artykułów na temat
Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ Frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Wprowadzenie Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Idee fundamentalne Zasada względności Teoria względności Ogólna kowariancja Jednoczesność Względność jednoczesności Ruch względny Zdarzenie Ramy Odniesienia Inercjalny układ odniesienia Masa Masa bezwładnościowa Rama spoczynkowa Rama ze środkiem pędu Krzywizna Geodezyjne Geon Zasada równoważności Msza w ogólnej teorii względności Równoważność masy i energii Niezmienny Masa niezmienna Symetrie czasoprzestrzenne Szczególna teoria względności Podwójnie szczególna teoria względności de Sittera niezmienna szczególna teoria względności Skala względności Prędkość światła Pochodna czasowa Odpowiedni czas Właściwa długość Skurcz długości Akcja na odległość Zasada lokalności Geometria riemannowska Stan energetyczny
Zjawiska Elektromagnetyzm grawitacyjny Problem Keplera Powaga Pole grawitacyjne Dobrze grawitacja Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni Przesunięcie ku czerwieni Blueshift Dylatacja czasu Grawitacyjne dylatacja czasu Opóźnienie czasowe Shapiro Potencjał grawitacyjny Kompresja grawitacyjna Upadek grawitacyjny Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Pozorny horyzont Horyzont zdarzeń Osobliwość grawitacyjna Naga osobliwość Czarna dziura Biała dziura Czas, przestrzeń Strzałka czasu Lekki stożek Linia światowa Przestrzeń trójwymiarowa Przestrzeń czterowymiarowa Przestrzeń Czas Kolektor Gładka kolektor Rozmaitość riemannowska Przestrzeń konfiguracyjna Przestrzeń stanów Przestrzeń fazowa Przestrzeń Hilberta Przestrzeń euklidesowa Przestrzeń topologiczna Defekt topologiczny Diagramy czasoprzestrzenne Czasoprzestrzeń Minkowskiego Skalar Lorentza Zamknięta krzywa czasowa (CTC) Tunel czasoprzestrzenny Wormhole Ellisa
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmann Geodezja Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Niezmiennik krzywizny (ogólna teoria względności) Transformacja Lorentza Rozmaitość lorentzowska Globalna rozmaitość hiperboliczna Warunki przyczynowości Struktura przyczynowa Formalizmy ADM BSSN Newman – Penrose Post-newtonowski Zaawansowana teoria Teoria Bransa-Dickego Hipoteza kosmicznej cenzury Teoria Kaluzy – Kleina Grawitacja kwantowa Supergrawitacja
Rozwiązania Dysk relatywistyczny Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker fala pp van Stockum dust Weyl – Lewis – Papapetrou Rozwiązanie próżniowe
Twierdzenia Twierdzenie Birkhoffa Twierdzenie Gerocha o rozszczepianiu Twierdzenie Goldberga – Sachsa Twierdzenie Lovelocka Twierdzenie o braku włosów Twierdzenia o osobliwości Penrose'a-Hawkinga Twierdzenie o energii dodatniej
Naukowcy Einstein Lorentz Hilberta Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy człowiek Yau Thorne inne
v t mi

Relacja wyznacznika jakobowskiego i tensora metrycznego

Każdy inny niż pojedynczy zwykły tensor przekształca się jako ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu} = {\ Frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ kappa}} {\ częściowe {x} ^ {\ mu}}} {\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} {\ frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ lambda}} {\ częściowe {x} ^ {\ nu}}} \ ,,}$

gdzie prawą stronę można postrzegać jako iloczyn trzech macierzy. Biorąc wyznacznik obu stron równania (używając tego, że wyznacznik iloczynu macierzy jest iloczynem wyznaczników), dzieląc obie strony przez i biorąc ich pierwiastek kwadratowy daje ${\ displaystyle \ det \ left ({\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} \ po prawej)}$

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ det {\ lewo [{\ Frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ częściowe {x} ^ {\ gamma}}} \ prawej]} \ right \ vert = {\ sqrt {\ frac {\ det ({T} _ {\ mu \ nu})} {\ det \ left ({\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} \ right)} }} \ ,.}$

Gdy tensor T jest napinacz metryczna , i jest lokalnie system bezwładnościowy gdzie współrzędna diag (-1 + 1 + 1 + 1), przy czym Minkowskiego metryczne , a następnie 1, a więc ${\ displaystyle {g} _ {\ kappa \ lambda}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {\ iota}}$${\ Displaystyle {\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda} =}$ ${\ Displaystyle \ det \ lewo ({\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda} \ prawej) = \ det (\ eta _ {\ kappa \ lambda}) =}$ 

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ det {\ lewo [{\ Frac {\ częściowe {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ częściowe {x} ^ {\ gamma}}} \ prawej]} \ right \ vert = {\ sqrt {- {g}}} \ ,,}$

gdzie jest wyznacznikiem tensora metrycznego . ${\ Displaystyle {g} = \ det \ lewo ({g} _ {\ mu \ nu} \ prawej)}$${\ displaystyle {g} _ {\ mu \ nu}}$

Użycie tensora metrycznego do manipulowania gęstością tensora

W konsekwencji, równa gęstość tensora , o wadze W , może być zapisana w postaci ${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ kropki} ^ {\ mu \ dots}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ kropki} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ kropki} ^ {\ mu \ dots} \ ,,}$

gdzie jest zwykły tensor. W lokalnie inercyjnym układzie współrzędnych, gdzie będzie tak i będzie reprezentowane tymi samymi liczbami. ${\ Displaystyle T _ {\ nu \ kropki} ^ {\ mu \ kropki} \,}$${\ Displaystyle g _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ kropki} ^ {\ mu \ dots}}$${\ Displaystyle T _ {\ nu \ kropki} ^ {\ mu \ kropki} \,}$

Korzystając z połączenia metrycznego (połączenie Levi-Civita ), kowariantna pochodna parzystej gęstości tensorowej jest definiowana jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ kropki; \ alfa} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ kropki; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ left ({\ sqrt {-g}} \; ^ {- W} {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \ right) _ {; \ alpha} \ ,.}$

W przypadku dowolnego połączenia pochodna kowariantna jest definiowana przez dodanie dodatkowego terminu, a mianowicie

${\ Displaystyle -W \, \ Gamma _ {~ \ delta \ alfa} ^ {\ delta} \, {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ kropki} ^ {\ mu \ kropki}}$

do wyrażenia, które byłoby odpowiednie dla kowariantnej pochodnej zwykłego tensora.

Równocześnie przestrzegana jest reguła iloczynu

${\ displaystyle \ left ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots} ^ {\ sigma \ dots} \ right ) _ {; \ alpha} = \ left ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} \ right) {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ kropki} ^ {\ sigma \ dots} + {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \ left ({\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots; \ alpha } ^ {\ sigma \ dots} \ right) \ ,,}$

gdzie dla połączenia metrycznego kowariantna pochodna dowolnej funkcji jest zawsze równa zero, ${\ displaystyle g _ {\ kappa \ lambda}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} g _ {\ kappa \ lambda; \ alpha} & = 0 \\\ lewo ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ prawej) _ {; \ alfa} & = \ left ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ right) _ {, \ alpha} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {- g}} \; ^ {W} = {\ frac {W} {2}} g ^ {\ kappa \ lambda} g _ {\ kappa \ lambda, \ alpha} {\ sqrt {-g}} \; ^ { W} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} = 0 \,. \ End {aligned}}}$

Przykłady

Wyrażenie to gęstość skalarna. Zgodnie z konwencją tego artykułu ma wagę +1. ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$

Gęstość prądu elektrycznego (np . Ilość ładunku elektrycznego przechodzącego przez 3-objętościowy element podzielona przez ten element - nie używaj metryki w tych obliczeniach) jest kontrawariantną gęstością wektorową o wadze +1. Często jest napisane jako lub , gdzie i forma różniczkowa są absolutnymi tensorami, a gdzie jest symbol Levi-Civita ; patrz poniżej. ${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {2}}$${\ Displaystyle dx ^ {3} \, dx ^ {4} \, dx ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = J ^ {\ mu} {\ sqrt {-g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma} {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma} / 3!}$${\ Displaystyle J ^ {\ mu} \,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma}}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma}}$

Gęstość siły Lorentza ( tj. Pęd liniowy przenoszony z pola elektromagnetycznego do materii w elemencie 4-objętościowym podzielony przez ten element - nie używaj metryki w tych obliczeniach) jest kowariantną wektorową gęstością o wadze +1. ${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {\ mu}}$${\ Displaystyle dx ^ {1} \, dx ^ {2} \, dx ^ {3} \, dx ^ {4}}$

W N- wymiarowej czasoprzestrzeni symbol Levi-Civity można uznać za kowariantną kowariantną rangę N (nieparzystą) autentyczną gęstość tensorową wagi −1 (ε _{α 1 ⋯ α N} ) lub przeciwwariantną rangę N (nieparzystą) autentyczna gęstość tensorowa masy +1 (ε ^{α ₁ ⋯ α _N} ). Zauważ, że symbol Levi-Civita (tak uważany) nie jest zgodny ze zwykłą konwencją podnoszenia lub obniżania indeksów za pomocą tensora metrycznego. Oznacza to, że to prawda

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \, g _ {\ alpha \ kappa} \, g _ {\ beta \ lambda} \, g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \, = \, \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} \, g \ ,,}$

ale w ogólnej teorii względności, gdzie zawsze jest ujemna, nigdy nie jest równa . ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu}}$

Wyznacznikiem tensora metrycznego,

${\ Displaystyle g = \ det \ lewo (g _ {\ rho \ sigma} \ prawej) = {\ Frac {1} {4!}} \ varepsilon ^ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta} \ varepsilon ^ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} g _ {\ alpha \ kappa} g _ {\ beta \ lambda} g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \ ,,}$

jest (równą) autentyczną gęstością skalarną o wadze +2.

Zobacz też

• Względny skalar
• Pseudotensor
• Twierdzenie Noether
• Zasada wariacyjna
• Prawo ochronne
• Akcja (fizyka)

Uwagi

Bibliografia

• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol I (3rd ed.), Str. 134 .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], „Tensor Density” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Charles Misner ; Kip S Thorne i John Archibald Wheeler (1973). Grawitacja . WH Freeman . p. 501ff. ISBN   0-7167-0344-0 . CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology , John Wiley & sons, Inc, ISBN   0-471-92567-5