Krzywizna - Curvature

Migrująca komórka Dictyostelium discoideum typu dzikiego, której granica jest zabarwiona przez krzywiznę. Skala: 5 µm.

W matematyce , krzywizna jest jedną z kilku silnie powiązanych pojęć geometrii . Intuicyjnie, krzywizna to wielkość, o jaką krzywa odbiega od bycia linią prostą lub powierzchnia odbiega od bycia płaszczyzną .

W przypadku krzywych przykładem kanonicznym jest okrąg , którego krzywizna jest równa odwrotności jego promienia . Mniejsze kręgi wyginają się ostrzej, a co za tym idzie mają większą krzywiznę. Krzywizna w punkcie o różniczkowej krzywej jest krzywizna jego osculating koła , to jest koło najlepiej przybliża krzywą w pobliżu tego punktu. Krzywizna linii prostej wynosi zero. W przeciwieństwie do tangensa , który jest wielkością wektorową, krzywizna w punkcie jest zwykle wielkością skalarną , to znaczy jest wyrażona przez pojedynczą liczbę rzeczywistą .

W przypadku powierzchni (i ogólniej dla rozmaitości o wyższych wymiarach ), które są osadzone w przestrzeni euklidesowej , pojęcie krzywizny jest bardziej złożone, ponieważ zależy od wyboru kierunku na powierzchni lub rozmaitości. Prowadzi to do koncepcji maksymalnej krzywizny , minimalnej krzywizny i średniej krzywizny .

W przypadku rozmaitości riemannowskich (o wymiarze co najmniej dwa), które niekoniecznie są osadzone w przestrzeni euklidesowej, można zdefiniować krzywiznę wewnętrznie , to znaczy bez odwoływania się do przestrzeni zewnętrznej. Zobacz Krzywizna rozmaitości riemannowskich dla definicji, która jest dokonywana w kategoriach długości krzywych narysowanych na rozmaitości i wyrażonych, przy użyciu algebry liniowej , przez tensor krzywizny Riemanna .

Historia

W Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum XIV-wieczna filozofka i matematyk Nicole Oresme wprowadza pojęcie krzywizny jako miary odstępstwa od prostoliniowości; dla okręgów ma krzywiznę odwrotnie proporcjonalną do promienia; i próbuje rozszerzyć tę ideę na inne krzywe jako stale zmieniającą się wielkość.

Krzywizna krzywizny różniczkowalnej była pierwotnie definiowana przez koła oscylacyjne . W tym ustawieniu Augustin-Louis Cauchy wykazał, że środek krzywizny jest punktem przecięcia dwóch nieskończenie bliskich linii normalnych do krzywej.

Krzywe płaskie

Intuicyjnie, krzywizna opisano dla dowolnej części krzywej, jak bardzo zmienia się kierunek zakrzywiane niewielką odległość (na przykład kąt w rad / m ), a więc jest miarą chwilowej szybkości zmiany w kierunku punktu, który porusza się krzywa: im większa krzywizna, tym większe tempo zmian. Innymi słowy, krzywizna mierzy, jak szybko obraca się jednostkowy wektor styczny do krzywej (szybko pod względem położenia krzywej). W rzeczywistości można udowodnić, że to natychmiastowe tempo zmian jest dokładnie krzywizną. Dokładniej załóżmy, że punkt porusza się po krzywej ze stałą prędkością jednej jednostki, czyli położenie punktu P ( s ) jest funkcją parametru s , który można traktować jako czas lub jako długość łuku od podanego początku. Niech t ( y ) być wektorem jednostkowym stycznej krzywej na P ( y ) , który jest także pochodna o P ( y ) w odniesieniu do s . Wtedy pochodną T ( s ) względem s jest wektor, który jest normalny do krzywej i którego długość jest krzywizną.

Aby mieć znaczenie, definicja krzywizny i jej różne charakterystyki wymagają, aby krzywa była ciągle różniczkowalna w pobliżu P , aby mieć styczną, która zmienia się w sposób ciągły; wymaga również, aby krzywa była dwukrotnie różniczkowalna w punkcie P , aby zapewnić istnienie zaangażowanych granic oraz pochodnej T ( s ) .

Charakteryzacja krzywizny w postaci pochodnej jednostkowego wektora stycznej jest prawdopodobnie mniej intuicyjna niż definicja w kategoriach koła oscylacyjnego, ale wzory na obliczenie krzywizny są łatwiejsze do wyprowadzenia. Dlatego, a także ze względu na jej zastosowanie w kinematyce , ta charakterystyka jest często podawana jako definicja krzywizny.

Koło oscylacyjne

Historycznie, krzywizna różniczkowalnej krzywej była definiowana przez okrąg oscylacyjny , który jest okręgiem, który najlepiej przybliża krzywą w punkcie. Dokładniej, mając punkt P na krzywej, co drugi punkt Q krzywej definiuje okrąg (lub czasami linię) przechodzącą przez Q i styczną do krzywej w punkcie P . Okrąg oscylacyjny jest granicą tego okręgu, jeśli istnieje, gdy Q dąży do P . Wtedy środek i promień krzywizny krzywej w punkcie P są środkiem i promieniem koła oscylacyjnego. Krzywizna jest odwrotnością promienia krzywizny. Oznacza to, że krzywizna jest

gdzie R jest promieniem krzywizny (cały okrąg ma tę krzywiznę, można to odczytać jako zakręt na długości R ).

Ta definicja jest trudna do manipulowania i wyrażenia w formułach. W związku z tym wprowadzono inne równoważne definicje.

W zakresie parametryzacji długości łuku

Każda różniczkowalna krzywa może być sparametryzowana pod względem długości łuku . W przypadku krzywej płaskiej oznacza to istnienie parametryzacji γ ( s ) = ( x ( s ), y ( s )) , gdzie x i y są funkcjami różniczkowalnymi o wartościach rzeczywistych, których pochodne spełniają

Oznacza to, że wektor styczny

ma normę równą jeden i dlatego jest jednostkowym wektorem stycznym .

Jeśli krzywa jest dwukrotnie różniczkowalna, to znaczy, jeśli istnieją drugie pochodne x i y , to pochodna T ( s ) istnieje. Ten wektor jest normalny do krzywej, jego normą jest krzywizna κ ( s ) i jest zorientowany w kierunku środka krzywizny. To jest,

Co więcej, ponieważ promień krzywizny wynosi

a środek krzywizny jest na normalnej do krzywej, środek krzywizny jest punktem

Jeśli N ( s ) jest jednostkowym wektorem normalnym otrzymanym z T ( s ) przez obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara oπ/2, następnie

gdzie k ( s ) = ± κ ( s ) . Liczba rzeczywista k ( s ) nazywana jest krzywizną zorientowaną lub ze znakiem . Zależy to zarówno od orientacji płaszczyzny (definicja przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), jak i orientacji krzywej zapewnionej przez parametryzację. W rzeczywistości zmiana zmiennej s → – s zapewnia kolejną parametryzację długości łuku i zmienia znak k ( s ) .

W zakresie ogólnej parametryzacji

Niech γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) będzie właściwą reprezentacją parametryczną podwójnie różniczkowalnej krzywej płaskiej. Tutaj właściwe oznacza, że ​​w dziedzinie definicji parametryzacji pochodnad γ/dt jest zdefiniowana, różniczkowalna i nigdzie równa wektorowi zerowemu.

Przy takiej parametryzacji znakowana krzywizna jest

gdzie liczby pierwsze odnoszą się do pochodnych względem t . Krzywizna κ jest więc

Można je wyrazić w sposób bez współrzędnych, jako

Wzory te można wyprowadzić ze szczególnego przypadku parametryzacji długości łuku w następujący sposób. Z powyższego warunku parametryzacji wynika, że ​​długość łuku s jest różniczkowalną monotoniczną funkcją parametru t i odwrotnie, że t jest monotoniczną funkcją s . Co więcej, zmieniając w razie potrzeby s na s , można przypuszczać, że funkcje te rosną i mają dodatnią pochodną. Stosując notację z poprzedniej sekcji i regułę łańcucha , należy:

a tym samym przyjmując normę obu stron

gdzie liczba pierwsza oznacza wyprowadzenie względem t .

Krzywizna jest normą pochodnej T względem s . Stosując powyższy wzór i regułę łańcuchową tę pochodną i jej normę można wyrazić tylko w postaci γ i γ , z całkowitym wyeliminowaniem parametru długości łuku s , podając powyższe wzory na krzywiznę.

Wykres funkcji

Wykresem funkcja y = f ( x ) jest specjalnym przypadkiem sparametryzowanej krzywej formy

Ponieważ pierwsza i druga pochodna x to 1 i 0, poprzednie formuły upraszczają do

dla krzywizny i do

dla podpisanej krzywizny.

W ogólnym przypadku krzywej znak krzywizny ze znakiem jest w pewien sposób arbitralny, ponieważ zależy od orientacji krzywej. W przypadku wykresu funkcji istnieje naturalna orientacja poprzez zwiększenie wartości x . Czyni to znaczącym znak podpisanej krzywizny.

Znak krzywizny znaku jest taki sam jak znak drugiej pochodnej f . Jeśli jest dodatni, to wykres ma wklęsłość skierowaną w górę, a jeśli jest ujemny, to wykres ma wklęsłość skierowaną w dół. Jest zero, wtedy ma punkt przegięcia lub punkt falowania .

Gdy nachylenie wykresu (czyli pochodna funkcji) jest małe, krzywizna ze znakiem jest dobrze aproksymowana przez drugą pochodną. Dokładniej, używając notacji dużego O , trzeba

W fizyce i inżynierii powszechne jest przybliżanie krzywizny za pomocą drugiej pochodnej, na przykład w teorii wiązki lub w celu wyprowadzenia równania falowego napiętej struny oraz w innych zastosowaniach, w których występują małe nachylenia. Pozwala to często na uznanie systemów, które w innym przypadku są nieliniowe, za liniowe.

Współrzędne biegunowe

Jeżeli krzywa jest określona we współrzędnych biegunowych przez promień wyrażony w funkcji kąta biegunowego, czyli r jest funkcją θ , to jej krzywizna jest równa

gdzie liczba pierwsza odnosi się do zróżnicowania względem θ .

Wynika to ze wzoru na parametryzacje ogólne, z uwzględnieniem parametryzacji

Krzywa ukryta

Dla krzywej określonej niejawnym równaniem F ( x , y ) = 0 z pochodnymi cząstkowymi oznaczonymi F x , F y , F xx , F xy , F yy , krzywizna jest wyrażona wzorem

Krzywizna ze znakiem nie jest zdefiniowana, ponieważ zależy od orientacji krzywej, której nie zapewnia równanie niejawne. Ponadto zmiana F na F nie zmienia krzywej, ale zmienia znak licznika, jeśli wartość bezwzględna jest pominięta w poprzedniej formule.

Punkt krzywej, w którym F x = F y = 0 jest punktem osobliwym , co oznacza, że ​​krzywa nie jest w tym punkcie różniczkowa, a zatem krzywizna nie jest zdefiniowana (najczęściej punkt jest albo punktem przecięcia, albo szpic ).

Powyższy wzór na krzywiznę można wyprowadzić z wyrażenia krzywizny wykresu funkcji za pomocą twierdzenia o funkcji uwikłanej oraz faktu, że na takiej krzywej mamy

Przykłady

Przydatne może być sprawdzenie na prostych przykładach, że różne formuły podane w poprzednich sekcjach dają ten sam wynik.

Koło

Powszechna parametryzacja okręgu o promieniu r to γ ( t ) = ( r cost t , r sin t ) . Wzór na krzywiznę daje

Wynika z tego, zgodnie z oczekiwaniami, że promień krzywizny jest promieniem okręgu, a środek krzywizny jest środkiem okręgu.

Okrąg jest rzadkim przypadkiem, w którym parametryzacja długości łuku jest łatwa do obliczenia, ponieważ jest

Jest to parametryzacja długości łuku, ponieważ norma

jest równy jeden. Ta parametryzacja daje taką samą wartość dla krzywizny, ponieważ sprowadza się do dzielenia przez r 3 zarówno w liczniku, jak i mianowniku w poprzednim wzorze.

Ten sam okrąg można również zdefiniować za pomocą niejawnego równania F ( x , y ) = 0 , gdzie F ( x , y ) = x 2 + y 2r 2 . Wtedy wzór na krzywiznę w tym przypadku daje

Parabola

Rozważmy parabolę y = ax 2 + bx + c .

Jest to wykres funkcji, z pochodną 2 ax + b i drugą pochodną 2 a . Tak więc podpisana krzywizna to

Ma znak a dla wszystkich wartości x . Oznacza to, że jeśli a > 0 , wklęsłość jest wszędzie skierowana do góry; jeśli a < 0 , wklęsłość skierowana jest w dół; dla a = 0 krzywizna jest wszędzie zero, potwierdzając, że parabola przeradza się w linię w tym przypadku.

Krzywizna (bez znaku) jest maksymalna dla x = –b/2, czyli w punkcie stacjonarnym (pochodna zerowa) funkcji, który jest wierzchołkiem paraboli.

Rozważ parametryzację γ ( t ) = ( t , w 2 + bt + c ) = ( x , y ) . Pierwsza pochodna x to 1 , a druga pochodna to zero. Podstawienie do wzoru ogólnych parametryzacji daje dokładnie taki sam wynik jak powyżej, z x zastąpionym przez t . Jeśli użyjemy liczb pierwszych dla pochodnych ze względu na parametr t .

Tę samą parabolę można również zdefiniować za pomocą niejawnego równania F ( x , y ) = 0, gdzie F ( x , y ) = ax 2 + bx + cy . Ponieważ F y = –1 i F yy = F xy = 0 , otrzymuje się dokładnie taką samą wartość dla krzywizny (bez znaku). Jednak krzywizna ze znakiem jest tutaj bez znaczenia, ponieważ F ( x , y ) = 0 jest prawidłowym równaniem domniemanym dla tej samej paraboli, co daje przeciwny znak krzywizny.

Wzory Freneta-Serreta dla krzywych płaskich

Wektory T i N w dwóch punktach na płaskiej krzywej, przesunięta wersja drugiej klatki (kropkowana) i δ T zmiana w T . Tutaj δs to odległość między punktami. W limicied T/dsbędzie w kierunku N . Krzywizna opisuje szybkość obrotu ramy.

Wyrażenie krzywizny Pod względem parametryzacji długości łuku jest zasadniczo pierwszym wzorem Freneta-Serreta

gdzie liczby pierwsze odnoszą się do pochodnych w odniesieniu do długości łuku s , a N ( s ) jest normalnym wektorem jednostkowym w kierunku T ′(s) .

Ponieważ płaskie krzywe mają zerowe skręcanie , druga formuła Freneta-Serreta zapewnia zależność

Do ogólnej parametryzacji parametrem t potrzebne są wyrażenia z pochodnymi względem t . Ponieważ są one uzyskiwane przez pomnożenie przezds/dtpochodne względem s , trzeba dla dowolnej prawidłowej parametryzacji

Krzywe przestrzenne

Animacja krzywizny i wektora przyspieszenia T ′( s )

Podobnie jak w przypadku krzywych w dwóch wymiarach, krzywizna regularnej krzywej przestrzennej C w trzech wymiarach (i wyższych) jest wielkością przyspieszenia cząstki poruszającej się z jednostkową prędkością wzdłuż krzywej. Zatem jeśli γ ( s ) jest parametryzacją długości łuku C , wtedy jednostkowy wektor styczny T ( s ) jest dany przez

a krzywizna jest wielkością przyspieszenia:

Kierunek przyspieszenia jest jednostkowym wektorem normalnym N ( s ) , który jest określony przez

Płaszczyzna zawierająca dwa wektory T ( s ) i N ( s ) jest płaszczyzną oscylowania krzywej w γ ( s ) . Krzywizna ma następującą interpretację geometryczną. Istnieje okrąg na płaszczyźnie stycznej do γ ( s ), którego szereg Taylora do drugiego rzędu w punkcie styku zgadza się z szeregiem γ ( s ) . To jest okrąg oscylujący do krzywej. Promień okręgu R ( s ) nazywamy promieniem krzywizny , a krzywizna jest odwrotnością promienia krzywizny:

Styczna, krzywizna i normalny wektor razem opisują zachowanie drugiego rzędu krzywej w pobliżu punktu. W trzech wymiarach zachowanie krzywej trzeciego rzędu jest opisane przez powiązane pojęcie skręcania , które mierzy stopień, w jakim krzywa ma tendencję do poruszania się jako ścieżka spiralna w przestrzeni. Skręcanie i krzywizna są powiązane formułami Freneta-Serreta (w trzech wymiarach) i ich uogólnieniem (w wyższych wymiarach).

Wyrażenia ogólne

Dla parametrycznie zdefiniowanej krzywej przestrzennej w trzech wymiarach podanej we współrzędnych kartezjańskich przez γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t ) ) krzywizna jest

gdzie liczba pierwsza oznacza zróżnicowanie względem parametru t . Można to wyrazić niezależnie od układu współrzędnych za pomocą wzoru

gdzie × oznacza iloczyn krzyżowy wektora . Równoważnie,

Tutaj T oznacza transpozycję macierzy wektora. Ta ostatnia formuła (bez iloczynu krzyżowego) obowiązuje również dla krzywizny krzywych w przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru.

Krzywizna od długości łuku i cięciwy

Mając dwa punkty P i Q na C , niech s ( P , Q ) będzie długością łuku części krzywej między P i Q i niech d ( P , Q ) oznacza długość odcinka od P do Q . Krzywizna C w punkcie P jest określona przez granicę

gdzie granica jest przyjmowana, gdy punkt Q zbliża się do P na C . Równie dobrze można przyjąć, że mianownik to d ( P , Q ) 3 . Formuła obowiązuje w każdym wymiarze. Ponadto, rozpatrując granicę niezależnie po obu stronach P , ta definicja krzywizny może czasami uwzględniać osobliwość w P . Wzór następuje poprzez weryfikację go dla koła oscylacyjnego.

Powierzchnie

Krzywizna krzywych rysowanych na powierzchni jest głównym narzędziem do definiowania i badania krzywizny powierzchni.

Krzywe na powierzchniach

W przypadku krzywej narysowanej na powierzchni (osadzonej w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej ) zdefiniowanych jest kilka krzywizn, które wiążą kierunek krzywizny z jednostkowym wektorem normalnym powierzchni , w tym:

Każda krzywa nieosobliwa na gładkiej powierzchni ma swój wektor styczny T zawarty w płaszczyźnie stycznej do powierzchni. Normalną krzywiznę , K n jest krzywizna krzywej rzutowana na płaszczyznę obejmującą styczną na krzywej T i normalną powierzchni u ; geodezyjnej krzywizny , K g , to krzywizna krzywej rzutowany płaszczyzną styczną Surface w; a skręcanie geodezyjne (lub skręcanie względne ), τ r , mierzy szybkość zmiany normalnej powierzchni wokół stycznej krzywej.

Niech krzywa będzie sparametryzowana długością łuku i niech t = u × T tak, że T , t , u tworzą bazę ortonormalną zwaną ramą Darboux . Powyższe ilości są powiązane:

Krzywizna główna

Powierzchnia siodła z normalnymi płaszczyznami w kierunkach głównych krzywizn

Wszystkie krzywe na powierzchni z tym samym wektorem stycznym w danym punkcie będą miały taką samą krzywiznę normalną, która jest taka sama jak krzywizna krzywej otrzymanej przez przecięcie powierzchni z płaszczyzną zawierającą T i u . Biorąc wszystkie możliwe wektory styczne, maksymalne i minimalne wartości krzywizny normalnej w punkcie nazywane są krzywiznami głównymi , k 1 i k 2 , a kierunki odpowiednich wektorów stycznych nazywane są kierunkami normalnymi głównymi .

Sekcje normalne

Krzywizna może być oceniana wzdłuż normalnych przekrojów powierzchni , podobnie jak § Krzywe na powierzchniach powyżej (patrz na przykład promień krzywizny Ziemi ).

Krzywizna Gaussa

W przeciwieństwie do krzywych, które nie mają krzywizny wewnętrznej, ale mają krzywiznę zewnętrzną (mają one tylko krzywiznę w przypadku osadzenia), powierzchnie mogą mieć krzywiznę wewnętrzną, niezależnie od osadzenia. Krzywizny Gaussa , nazwany Carl Friedrich Gauss , jest równa iloczynowi głównych krzywizn, k 1 k 2 . Ma wymiar długości -2 i jest dodatni dla sfer , ujemny dla jednoarkuszowych hiperboloidów i zero dla płaszczyzn i walców . Określa, czy powierzchnia jest lokalnie wypukła (kiedy jest dodatnia) czy lokalnie siodła (kiedy jest ujemna).

Krzywizna Gaussa jest nieodłączną właściwością powierzchni, co oznacza, że ​​nie zależy od konkretnego osadzenia powierzchni; intuicyjnie oznacza to, że mrówki żyjące na powierzchni mogły określić krzywiznę Gaussa. Na przykład mrówka żyjąca na sferze może zmierzyć sumę kątów wewnętrznych trójkąta i określić, że jest ona większa niż 180 stopni, co oznacza, że ​​zamieszkiwana przez nią przestrzeń ma dodatnią krzywiznę. Z drugiej strony mrówka żyjąca na cylindrze nie wykryłaby takiego odstępstwa od geometrii euklidesowej ; w szczególności mrówka nie mogła wykryć, że dwie powierzchnie mają różne średnie krzywizny (patrz poniżej), co jest czysto zewnętrznym typem krzywizny.

Formalnie krzywizna Gaussa zależy tylko od metryki riemannowskiej powierzchni. To Gauss „s obchodzony Theorema egregium , który znalazł natomiast dotyczy badań geograficznych i mapmaking.

Wewnętrzna definicja krzywizny Gaussa w punkcie P jest następująca: wyobraźmy sobie mrówkę, która jest przywiązana do P krótką nitką o długości r . Biegnie wokół P , natomiast wątek jest całkowicie rozciągnięty i mierzy długość C ( R ) z jednej kompletnej przelot wokół P . Gdyby powierzchnia była płaska, mrówka znalazłaby C ( r ) = 2π r . Na zakrzywionych powierzchniach wzór na C ( r ) będzie inny, a krzywiznę Gaussa K w punkcie P można obliczyć za pomocą twierdzenia Bertranda-Digueta-Puiseux jako

Integralną Gaussa krzywizny na całej powierzchni jest ściśle związane z powierzchnią za Euler cechy ; zobacz twierdzenie Gaussa-Bonneta .

Odrębnym analogiem krzywizny, odpowiadającym krzywiźnie skupionej w punkcie i szczególnie użytecznym dla wielościanów , jest (kątowa) wada ; analogiem do twierdzenia Gaussa-Bonneta jest twierdzenie Kartezjusza o całkowitym defektu kątowym .

Ponieważ krzywiznę (gaussowską) można zdefiniować bez odniesienia do przestrzeni osadzenia, nie jest konieczne osadzenie powierzchni w przestrzeni o wyższym wymiarze w celu uzyskania krzywizny. Taka samoistnie zakrzywiona dwuwymiarowa powierzchnia jest prostym przykładem rozmaitości riemannowskiej .

Średnia krzywizna

Krzywizna średnia jest zewnętrzną miarą krzywizny równą połowie sumy krzywizn głównych ,k 1 + k 2/2. Ma wymiar długości -1 . Krzywizna średnia jest ściśle związana z pierwszą zmiennością pola powierzchni . W szczególności minimalna powierzchnia, taka jak film mydlany, ma średnią krzywiznę zero, a bańka mydlana ma stałą średnią krzywiznę. W przeciwieństwie do krzywizny Gaussa, średnia krzywizna jest zewnętrzna i zależy od osadzenia, na przykład walec i płaszczyzna są lokalnie izometryczne, ale średnia krzywizna płaszczyzny wynosi zero, podczas gdy krzywizna cylindra jest niezerowa.

Druga podstawowa forma

Wewnętrzną i zewnętrzną krzywiznę powierzchni można połączyć w drugiej podstawowej formie. Jest to kwadratowa forma w płaszczyźnie stycznej do powierzchni w punkcie, którego wartość przy określonym wektorze stycznej X do powierzchni jest normalną składową przyspieszenia krzywej wzdłuż powierzchni stycznej do X ; oznacza to, że jest to normalna krzywizna do krzywej stycznej do X (patrz wyżej ). Symbolicznie,

gdzie N jest jednostką normalną do powierzchni. Dla wektorów stycznych jednostkowych X druga postać podstawowa przyjmuje wartość maksymalną k 1 i wartość minimalną k 2 , które występują odpowiednio w kierunkach głównych u 1 i u 2 . Zatem, zgodnie z twierdzeniem o osi głównej , drugą podstawową formą jest

Tak więc druga podstawowa forma koduje zarówno wewnętrzną, jak i zewnętrzną krzywiznę.

Operator kształtu

Hermetyzację krzywizny powierzchni można znaleźć w operatorze kształtu, S , który jest samosprzężonym operatorem liniowym od płaszczyzny stycznej do niej samej (w szczególności różniczką mapy Gaussa ).

Dla powierzchni z wektorami stycznymi X i normalnym N operator kształtu może być wyrażony zwięźle w notacji z sumowaniem indeksów jako

(Porównaj alternatywne wyrażenie krzywizny dla krzywej płaskiej).

W Weingarten równania daje wartość S w zakresie współczynników pierwszych i drugich podstawowych form jak

Główne krzywizny są wartościami własnymi operatora kształtu, główne kierunki krzywizny są jego wektorami własnymi , krzywizna Gaussa jest jego wyznacznikiem , a średnia krzywizna jest połową jego śladu .

Krzywizna przestrzeni

Rozwijając poprzedni argument, przestrzeń trzech lub więcej wymiarów może być z natury zakrzywiona. Krzywizna jest nieodłączna w tym sensie, że jest właściwością zdefiniowaną w każdym punkcie przestrzeni, a nie właściwością zdefiniowaną w odniesieniu do większej przestrzeni, która ją zawiera. Ogólnie zakrzywiona przestrzeń może, ale nie musi być pomyślana jako osadzona w wyższej wymiarowej przestrzeni otoczenia ; jeśli nie, to jego krzywiznę można określić tylko wewnętrznie.

Po odkryciu wewnętrznej definicji krzywizny, która jest ściśle związana z geometrią nieeuklidesową , wielu matematyków i naukowców kwestionowało możliwość zakrzywienia zwykłej przestrzeni fizycznej, chociaż sukces geometrii euklidesowej do tego czasu oznaczał, że promień krzywizny musi być astronomicznie duży. W ogólnej teorii względności , która opisuje grawitację i kosmologię , idea jest nieco uogólniona do " krzywizny czasoprzestrzeni " ; w teorii względności czasoprzestrzeń jest rozmaitością pseudo-Riemanna . Po zdefiniowaniu współrzędnej czasowej trójwymiarowa przestrzeń odpowiadająca określonemu czasowi jest na ogół zakrzywioną rozmaitością Riemanna; ale ponieważ wybór współrzędnych czasowych jest w dużej mierze arbitralny, to leżąca u podstaw krzywizna czasoprzestrzeni ma znaczenie fizyczne.

Chociaż arbitralnie zakrzywiona przestrzeń jest bardzo skomplikowana do opisania, krzywizna przestrzeni, która jest lokalnie izotropowa i jednorodna, jest opisana przez pojedynczą krzywiznę Gaussa, jak dla powierzchni; matematycznie są to silne warunki, ale odpowiadają rozsądnym założeniom fizycznym (wszystkie punkty i wszystkie kierunki są nie do odróżnienia). Dodatnia krzywizna odpowiada odwrotnemu kwadratowemu promieniowi krzywizny; przykładem jest sfera lub hipersfera . Przykładem przestrzeni zakrzywionej ujemnie jest geometria hiperboliczna . Przestrzeń lub czasoprzestrzeń o zerowej krzywiźnie nazywana jest płaską . Na przykład przestrzeń euklidesowa jest przykładem płaskiej przestrzeni, a przestrzeń Minkowskiego jest przykładem płaskiej czasoprzestrzeni. Istnieją jednak inne przykłady płaskich geometrii w obu ustawieniach. Torusa lub cylinder może być zarówno płaski podano dane, ale różnią się topologii . Dla przestrzeni zakrzywionej możliwe są również inne topologie. Zobacz także kształt wszechświata .

Uogólnienia

Przenoszenie równoległe wektora z ANBA daje inny wektor. Ten brak powrotu do wektora początkowego jest mierzony holonomią powierzchni.

Matematyczne pojęcie krzywizny jest również definiowane w znacznie bardziej ogólnych kontekstach. Wiele z tych uogólnień podkreśla różne aspekty krzywizny rozumianej w niższych wymiarach.

Jednym z takich uogólnień jest kinematyka. Krzywizna krzywej może być naturalnie uważana za wielkość kinematyczną, reprezentującą siłę odczuwaną przez pewnego obserwatora poruszającego się wzdłuż krzywej; analogicznie krzywiznę w wyższych wymiarach można uznać za rodzaj siły pływowej (jest to jeden ze sposobów myślenia o krzywiźnie przekroju ). To uogólnienie krzywizny zależy od tego, jak pobliskie cząstki testowe rozchodzą się lub zbiegają, gdy pozwala się im swobodnie poruszać w przestrzeni; zobacz pole Jacobiego .

Kolejne szerokie uogólnienie krzywizny pochodzi z badania transportu równoległego na powierzchni. Na przykład, jeśli wektor porusza się po pętli na powierzchni kuli, która jest równoległa w całym ruchu, to końcowa pozycja wektora może nie być taka sama jak początkowa pozycja wektora. Zjawisko to znane jest jako holonomia . Różne uogólnienia ujmuje w abstrakcyjnej formie tę ideę krzywizny jako miarę holonomii; zobacz formularz krzywizny . Blisko spokrewnione pojęcie krzywizny pochodzi z teorii cechowania w fizyce, gdzie krzywizna reprezentuje pole, a potencjał wektora pola jest wielkością, która jest ogólnie zależna od ścieżki: może się zmienić, jeśli obserwator porusza się wokół pętli.

Dwa kolejne uogólnienia krzywizny to krzywizna skalarna i krzywizna Ricciego . W zakrzywionej powierzchni, takiej jak kula, pole powierzchni dysku na powierzchni różni się od pola powierzchni dysku o tym samym promieniu w płaskiej przestrzeni. Ta różnica (w odpowiedniej granicy) jest mierzona krzywizną skalarną. Różnicę powierzchni sektora dysku mierzy się krzywizną Ricciego. Każda z krzywizn skalarnych i krzywizn Ricciego jest definiowana w analogiczny sposób w trzech i wyższych wymiarach. Są one szczególnie ważne w teorii względności, gdzie oba pojawiają się po stronie równań pola Einsteina, które reprezentują geometrię czasoprzestrzeni (której druga strona reprezentuje obecność materii i energii). Te uogólnienia krzywizny leżą u podstaw, na przykład, poglądu, że krzywizna może być właściwością miary ; zobacz krzywiznę miary .

Kolejne uogólnienie krzywizny polega na możliwości porównania zakrzywionej przestrzeni z inną przestrzenią, która ma stałą krzywiznę. Często robi się to za pomocą trójkątów w przestrzeniach. Pojęcie trójkąta sprawia zmysłów w przestrzeni metrycznych , a to prowadzi do CAT ( k ) przestrzeni .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki