Metryczne wewnętrzne Schwarzschilda - Interior Schwarzschild metric

W Einsteina jest teorii ogólnym wzgl The wnętrze Schwarzschilda metryczny (również rozwiązanie wnętrza Schwarzschilda lub Schwarzschilda roztwór płynny ) jest dokładne rozwiązanie w polu grawitacyjnym we wnętrzu korpusu kulistego nieobrotowej, która składa się z wykorzystaniem nieściśliwego płynu (co oznacza, że gęstość jest stała w całym ciele) i nie ma ciśnienia na powierzchni. Jest to rozwiązanie statyczne, co oznacza, że nie zmienia się w czasie. Został odkryty przez Karla Schwarzschilda w 1916 roku, który wcześniej znalazł zewnętrzną metrykę Schwarzschilda .

Matematyka

Współrzędne sferyczne

Wewnętrzna metryka Schwarzschilda jest ujęta w sferyczny układ współrzędnych, w którym środek ciała znajduje się na początku oraz współrzędna czasowa. Jego elementem liniowym jest

{\ Displaystyle c ^ {2} {d \ tau} ^ {2} = {\ Frac {1} {4}} \ lewo (3 {\ sqrt {1 - {\ Frac {r_ {s}} {r_ { g}}}}} - {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2} r_ {s}} {r_ {g} ^ {3}}}}} \ right) ^ {2} c ^ { 2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {r ^ {2} r_ {s}} {r_ {g} ^ {3}}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2 } -r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ right),}

gdzie

${\ displaystyle \ tau}$ to właściwy czas (czas mierzony przez zegar poruszający się po tej samej linii świata, co badana cząstka ).
${\ displaystyle c}$ jest prędkością światła .
${\ displaystyle t}$ jest współrzędną czasu (mierzoną przez zegar stacjonarny znajdujący się nieskończenie daleko od kuli).
${\ displaystyle r}$ jest radialną współrzędną Schwarzschilda. Każda powierzchnia jest stała i ma geometrię kuli o mierzalnym (właściwym) obwodzie i powierzchni (jak w zwykłych formułach), ale wypaczenie przestrzeni oznacza, że odpowiednia odległość od każdej powłoki do środka ciała jest większa niż . ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle 2 \ pi r}$ ${\ Displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle r}$
${\ displaystyle \ theta}$ to podobieństwo (kąt od północy, w radianach ).
${\ displaystyle \ varphi}$ to długość geograficzna (również w radianach).
${\ displaystyle r_ {s}}$ to promień Schwarzschilda ciała, który jest powiązany z jego masą przez , gdzie jest stała grawitacji . (W przypadku zwykłych gwiazd i planet jest to znacznie mniej niż ich właściwy promień). ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle r_ {s} = 2GM / c ^ {2}}$ ${\ displaystyle G}$
${\ displaystyle r_ {g}}$ jest wartością współrzędnej -współrzędnej na powierzchni ciała. (Jest to mniej niż jego właściwy (mierzalny wewnętrzny) promień, chociaż dla Ziemi różnica wynosi tylko około 1,4 milimetra.) ${\ displaystyle r}$

To rozwiązanie dotyczy . Aby uzyskać pełną metrykę pola grawitacyjnego kuli, wewnętrzna metryka Schwarzschilda musi być dopasowana do zewnętrznej, ${\ displaystyle r \ leq r_ {g}}$

{\ Displaystyle c ^ {2} {d \ tau} ^ {2} = \ lewo (1 - {\ Frac {r_ {s}} {r}} \ prawo) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ right),}

na powierzchni. Można łatwo zauważyć, że te dwa mają tę samą wartość na powierzchni, tj . W. ${\ displaystyle r = r_ {g}}$

Inne preparaty

Definiując parametr otrzymujemy ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {2} = r_ {g} ^ {3} / r_ {s}}$

{\ Displaystyle c ^ {2} {d \ tau} ^ {2} = {\ Frac {1} {4}} \ lewo (3 {\ sqrt {1 - {\ Frac {r_ {g} ^ {2}) } {{\ mathcal {R}} ^ {2}}}}} - {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2}} {{\ mathcal {R}} ^ {2}}}}} \ right) ^ {2} c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {{\ mathcal {R}} ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ right).}

Możemy również zdefiniować alternatywną współrzędną promieniową i odpowiadający jej parametr , dając wynik ${\ Displaystyle \ eta = \ arcsin {\ Frac {r} {\ mathcal {R}}}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {g} = \ arcsin {\ frac {r_ {g}} {\ mathcal {R}}} = \ arcsin {\ sqrt {\ frac {r_ {s}} {r_ {g}} }}}$

{\ Displaystyle c ^ {2} {d \ tau} ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {3 \ cos \ eta _ {g} - \ cos \ eta} {2}} \ prawej) ^ {2 } c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ eta}} - r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ right).}

Nieruchomości

Tom

Z i obszar ${\ Displaystyle g_ {rr} = (1-r_ {s} r ^ {2} / r_ {g} ^ {3}) ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}$

całka dla odpowiedniej objętości to

${\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {r_ {g}} A {\ sqrt {g_ {rr}}} \, {\ rm {d}} r = 2 \ pi \ left ({\ frac { r_ {g} ^ {9/2} \ arcsin {\ sqrt {\ frac {r_ {s}} {r_ {g}}}}} {r_ {s} ^ {3/2}}} - {\ frac {r_ {g} ^ {4} {\ sqrt {1 - {\ frac {r_ {s}} {r_ {g}}}}}} {r_ {s}}} \ right)}$

która jest większa niż objętość euklidesowej muszli odniesienia.

Gęstość

Płyn z definicji ma stałą gęstość. Jest dane przez

{\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {M} {{\ Frac {4 \ pi} {3}} r_ {g} ^ {3}}} = {\ Frac {3} {\ kappa {\ mathcal {R }} ^ {2}}},}

gdzie jest stała grawitacyjna Einsteina . Może być sprzeczne z intuicją, że gęstość jest masą podzieloną przez objętość kuli o promieniu , co wydaje się pomijać, że jest to mniej niż właściwy promień, a przestrzeń wewnątrz ciała jest zakrzywiona tak, że wzór na objętość dla „płaskiego „Kula w ogóle nie powinna się trzymać. Jednak masa jest mierzona z zewnątrz, na przykład poprzez obserwację badanej cząstki krążącej wokół ciała grawitacyjnego („ masa Keplera ”), która w ogólnej teorii względności niekoniecznie jest równa właściwej masie. Ta różnica masy dokładnie anuluje różnicę objętości. ${\ Displaystyle \ kappa = 8 \ pi G / c ^ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {g}}$ ${\ displaystyle M}$

Ciśnienie i stabilność

Ciśnienie nieściśliwego płynu można znaleźć, obliczając tensor Einsteina na podstawie metryki. Tensor Einsteina jest diagonalny (tzn. Wszystkie elementy poza przekątną są zerowe), co oznacza, że nie ma naprężeń ścinających i ma równe wartości dla trzech przestrzennych składowych diagonalnych, co oznacza, że ciśnienie jest izotropowe . Jego wartość to ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu}}$

{\ Displaystyle p = \ rho c ^ {2} {\ Frac {\ cos \ eta - \ cos \ eta _ {g}} {3 \ cos \ eta _ {g} - \ cos \ eta}}.}

Zgodnie z oczekiwaniami ciśnienie na powierzchni kuli wynosi zero i rośnie w kierunku jej środka. Staje się nieskończony w środku, jeśli , co odpowiada lub , co jest prawdą dla ciała, które jest wyjątkowo gęste lub duże. Takie ciało ulega grawitacyjnemu zapadnięciu się w czarną dziurę . Ponieważ jest to proces zależny od czasu, rozwiązanie Schwarzschilda już się nie sprawdza. ${\ Displaystyle \ cos \ eta _ {g} = 1/3}$ ${\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {8} {9}} r_ {g}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {g} \ około 70,5 ^ {\ circ}}$

Przesunięcie ku czerwieni

Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni dla promieniowania z powierzchni kuli (na przykład światła z gwiazdy) wynosi

{\ displaystyle z = {\ Frac {1} {\ cos \ eta _ {g}}} - 1.}

Z warunku stabilności wynika . ${\ displaystyle \ cos \ eta _ {g}> 1/3}$ ${\ displaystyle z <2}$

Wyobrażanie sobie

Osadzanie wycinka metryki Schwarzschilda w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Wewnętrznym rozwiązaniem jest ciemniejsza nasadka na dole.
Tego osadzenia nie należy mylić z niepowiązaną koncepcją studni grawitacyjnej .

Przestrzenną krzywiznę wewnętrznej metryki Schwarzschilda można wizualizować, wykonując wycinek (1) o stałym czasie i (2) przez równik kuli, tj . Ten dwuwymiarowy wycinek może być osadzony w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, a następnie przybiera kształt kulistej nasadki o promieniu i pół kącie otwarcia . Jego krzywizna Gaussa jest proporcjonalna do gęstości płynu i równa . Ponieważ metrykę zewnętrzną można osadzić w ten sam sposób (uzyskując paraboloidę Flamma ), wycinek pełnego rozwiązania można narysować w następujący sposób: ${\ displaystyle t = const., \ theta = \ pi / 2}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {g}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {- 2} = r_ {s} / r_ {g} ^ {3} = \ rho \ kappa / 3}$

Na tej ilustracji niebieski okrągły łuk reprezentuje metrykę wewnętrzną, a czarne łuki paraboliczne z równaniem reprezentują metrykę zewnętrzną lub paraboloidę Flamma. -Coordinate jest kąt mierzony od środka kołpaka, to jest, „z góry” plaster. Właściwy promień kuli - intuicyjnie długość pręta pomiarowego rozciągającego się od jej środka do punktu na jej powierzchni - to połowa długości łuku kołowego, lub . ${\ Displaystyle w = 2 {\ sqrt {r_ {s} (r-r_ {s})}}}$ ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ displaystyle \ eta _ {g} {\ mathcal {R}}}$

Jest to wizualizacja czysto geometryczna i nie oznacza fizycznego „czwartego wymiaru przestrzennego”, w jakim przestrzeń byłaby zakrzywiona. (Krzywizna wewnętrzna nie oznacza krzywizny zewnętrznej ).

Przykłady

Oto odpowiednie parametry dla niektórych obiektów astronomicznych, pomijając rotację i niejednorodności, takie jak odchylenie od kulistego kształtu i zmienność gęstości.

Obiekt	${\ displaystyle r_ {g}}$	${\ displaystyle r_ {s}}$	${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$	${\ displaystyle \ eta _ {g}}$	${\ displaystyle z}$ ( przesunięcie ku czerwieni )
Ziemia	6370 km	8,87 mm	170 000 000 km 9,5 minut świetlnych	7,7 ″	7 x 10 ⁻¹⁰
Słońce	696 000 km	2,95 km	338 000 000 km 19 minut świetlnych	7,0 ′	2 × 10 ⁻⁶
Biały karzeł z 1 masą Słońca	5000 km	2,95 km	200 000 km	1,4 °	3 × ^10-4
Gwiazda neutronowa o 2 masach Słońca	20 km	6 km	37 km	30 °	0,15

Historia

Wewnętrzne rozwiązanie Schwarzschilda było pierwszym statycznym, sferycznie symetrycznym, idealnym rozwiązaniem płynnym , jakie znaleziono. Został opublikowany 24 lutego 1916 r., Zaledwie trzy miesiące po równaniach pola Einsteina i miesiąc po zewnętrznym rozwiązaniu Schwarzschilda.

Languages

In other projects