Równania Friedmanna - Friedmann equations

W Równania Friedmana to zestaw równań w kosmologii fizycznej , które rządzą ekspansji przestrzeni w jednorodnych i izotropowych modeli wszechświata w kontekście ogólnej teorii względności . Zostali pierwszy uzyskany przez Aleksandr Friedman w 1922 roku z równań pola Einsteina o grawitacji dla osób Metryka Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera oraz doskonałego płynu z danej gęstości masy i ciśnienia . Równania dla ujemnej krzywizny przestrzennej zostały podane przez Friedmanna w 1924 roku.

Założenia

Równania Friedmanna wychodzą od upraszczającego założenia, że ​​wszechświat jest przestrzennie jednorodny i izotropowy , tj. z zasady kosmologicznej ; empirycznie jest to uzasadnione w skalach większych niż ~100 Mpc . Zasada kosmologiczna implikuje, że metryka wszechświata musi mieć formę

gdzie jest metryką trójwymiarową, która musi być jedną z (a) przestrzeni płaskiej, (b) sfery o stałej dodatniej krzywiźnie lub (c) przestrzeni hiperbolicznej o stałej ujemnej krzywiźnie. Ta metryka nosi nazwę Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Omówiony poniżej parametr przyjmuje wartość 0, 1, -1 lub krzywiznę Gaussa odpowiednio w tych trzech przypadkach. To właśnie ten fakt pozwala nam sensownie mówić o „ współczynniku skali ” .

Równania Einsteina wiążą teraz ewolucję tego czynnika skali z ciśnieniem i energią materii we wszechświecie. Z metryki FLRW obliczamy symbole Christoffela , a następnie tensor Ricciego . Za pomocą tensora naprężenie-energia dla płynu doskonałego podstawiamy je do równań pola Einsteina, a otrzymane równania opisano poniżej.

Równania

Istnieją dwa niezależne równania Friedmanna do modelowania jednorodnego, izotropowego wszechświata. Pierwszy to:

który wywodzi się ze składowej 00 równań pola Einsteina . Drugi to:

który jest wyprowadzony z pierwszego wraz ze śladem równań pola Einsteina (wymiarem obu równań jest czas -2 ).

to współczynnik skali , G , Λ i c są stałymi uniwersalnymi ( G to stała grawitacyjna Newtona , constant to stała kosmologiczna (jej wymiar to długość −2 ) ic to prędkość światła w próżni ). ρ i p są odpowiednio objętościową gęstością masy (a nie objętościową gęstością energii) i ciśnieniem. k jest stałe w całym konkretnym rozwiązaniu, ale może się różnić w zależności od rozwiązania.

W poprzednich równaniach , ρ i p są funkcjami czasu. jest przestrzenną krzywizną w dowolnym przedziale czasu wszechświata; jest równa jednej szóstej skalara przestrzennej krzywizny Ricciego R ponieważ

w modelu Friedmanna. jest parametrem Hubble'a .

Widzimy, że w równaniach Friedmanna a(t) nie zależy od tego, który układ współrzędnych wybraliśmy dla przekrojów przestrzennych. Istnieją dwa powszechnie używane wybory dla i K , które opisują te same fizyki:

  • k = +1, 0 lub -1 w zależności od tego, czy Wszechświat ma kształt zamkniętej 3-sfery , płaskiej (tj. przestrzeni euklidesowej ) czy otwartej 3- hiperboloidy . Jeśli k = +1, to jest promieniem krzywizny wszechświata. Jeśli k = 0, to może być ustalone na dowolną liczbę dodatnią w określonym czasie. Jeżeli k = −1, to (w dużym uproszczeniu) można powiedzieć, że jest to promień krzywizny wszechświata.
  • jest współczynnikiem skali, który jest obecnie przyjmowany jako 1. to krzywizna przestrzenna, kiedy (tj. dzisiaj). Jeśli kształt wszechświata jest hipersferyczny i jest promieniem krzywizny ( w dzisiejszych czasach), to . Jeśli jest dodatni, to wszechświat jest hipersferyczny. Jeśli wynosi zero, to wszechświat jest płaski . Jeśli jest ujemny, to wszechświat jest hiperboliczny .

Korzystając z pierwszego równania, drugie równanie można ponownie wyrazić jako

która eliminuje i wyraża zachowanie masy-energii

Te równania są czasami upraszczane przez zastąpienie

dawać:

W tym przekształceniu uproszczona postać drugiego równania jest niezmienna.

Parametr Hubble'a może się zmieniać w czasie, jeśli inne części równania są zależne od czasu (w szczególności gęstość masy, energia próżni lub krzywizna przestrzenna). Ocena parametru Hubble'a w chwili obecnej daje stałą Hubble'a, która jest stałą proporcjonalności prawa Hubble'a . Zastosowane do płynu o danym równaniu stanu , równania Friedmanna podają ewolucję czasową i geometrię wszechświata w funkcji gęstości płynu.

Niektórzy kosmolodzy nazywają drugie z tych dwóch równań równaniem przyspieszenia Friedmanna i rezerwują termin równanie Friedmanna tylko dla pierwszego równania.

Parametr gęstości

Parametr gęstości jest zdefiniowana jako stosunek rzeczywistego (lub rzeczywiste) gęstości do gęstości krytycznej części świata Friedmann. Związek między gęstością rzeczywistą a gęstością krytyczną określa ogólną geometrię wszechświata; kiedy są równe, geometria wszechświata jest płaska (euklidesowa). We wcześniejszych modelach, które nie zawierały stałej kosmologicznej , gęstość krytyczna była początkowo definiowana jako punkt przełomowy między rozszerzającym się a kurczącym się Wszechświatem.

Do tej pory gęstość krytyczną szacuje się na około pięć atomów ( jednoatomowego wodoru ) na metr sześcienny, podczas gdy średnia gęstość zwykłej materii we Wszechświecie jest uważana na 0,2-0,25 atomów na metr sześcienny.

Szacowany względny rozkład składników gęstości energii wszechświata. Ciemna energia dominuje w całkowitej energii (74%), podczas gdy ciemna materia (22%) stanowi większość masy. Z pozostałej materii barionowej (4%) tylko jedna dziesiąta jest zwarta. W lutym 2015 r. europejski zespół badawczy odpowiedzialny za sondę kosmologiczną Planck opublikował nowe dane doprecyzowując te wartości do 4,9% zwykłej materii, 25,9% ciemnej materii i 69,1% ciemnej energii.

Znacznie większa gęstość pochodzi z niezidentyfikowanej ciemnej materii ; zarówno zwykła, jak i ciemna materia sprzyjają kurczeniu się wszechświata. Jednak największa część pochodzi z tzw. ciemnej energii , która stanowi kosmologiczną stałą stałą. Chociaż całkowita gęstość jest równa gęstości krytycznej (dokładnie aż do błędu pomiaru), ciemna energia nie prowadzi do kurczenia się Wszechświata, ale raczej może przyspieszyć jego rozszerzanie. Dlatego wszechświat prawdopodobnie będzie się rozszerzał w nieskończoność.

Wyrażenie na gęstość krytyczną znajduje się zakładając, że Λ wynosi zero (tak jak w przypadku wszystkich podstawowych wszechświatów Friedmanna) i ustalając znormalizowaną krzywiznę przestrzenną k równą zero. Po zastosowaniu podstawień do pierwszego z równań Friedmanna otrzymujemy:

(gdzie H = H O / (do 100 km / s / MPC). W H o = 67,4 km / s / RPP, czyli h = 0,674, ρ c = 8,5 x 10 -27 kg / m 3 )

Parametr gęstości (przydatny do porównywania różnych modeli kosmologicznych) jest wtedy definiowany jako:

Termin ten pierwotnie był używany jako środek do określenia geometrii przestrzennej wszechświata, gdzie jest gęstość krytyczna, dla której geometria przestrzenna jest płaska (lub euklidesowa). Zakładając zerową gęstość energii próżni, jeśli jest większa niż jedność, sekcje przestrzeni wszechświata są zamknięte; Wszechświat w końcu przestanie się rozszerzać, a potem zapadnie. Jeśli jest mniej niż jedność, są otwarte; a wszechświat rozszerza się na zawsze. Można jednak również ująć pojęcia krzywizny przestrzennej i energii próżni w bardziej ogólne wyrażenie, w którym to przypadku ten parametr gęstości równa się dokładnie jedności. Następnie chodzi o zmierzenie różnych składników, zwykle oznaczonych indeksami dolnymi. Zgodnie z modelem ΛCDM , istnieją ważne składniki spowodowane przez bariony , zimną ciemną materię i ciemną energię . Geometria przestrzenna wszechświata została zmierzona przez sondę WMAP jako prawie płaska. Oznacza to, że wszechświat można dobrze przybliżyć za pomocą modelu, w którym parametr krzywizny przestrzennej wynosi zero; jednak niekoniecznie oznacza to, że wszechświat jest nieskończony: może po prostu oznaczać, że wszechświat jest znacznie większy niż część, którą widzimy. (Podobnie fakt, że Ziemia jest w przybliżeniu płaska w skali Holandii , nie oznacza, że ​​Ziemia jest płaska: sugeruje jedynie, że jest znacznie większa niż Holandia.)

Pierwsze równanie Friedmanna jest często postrzegane w kategoriach obecnych wartości parametrów gęstości, czyli

Oto gęstość promieniowania dzisiaj (tj. kiedy ), jest dzisiaj gęstością materii ( ciemna plus barionowa ), jest dzisiaj „gęstością krzywizny przestrzennej” i jest dzisiaj stałą kosmologiczną lub gęstością próżni.

Przydatne rozwiązania

Równania Friedmanna można rozwiązać dokładnie w obecności płynu doskonałego o równaniu stanu

gdzie jest ciśnienie , jest gęstością masową płynu w ruchomej ramie i jest pewną stałą.

W przypadku przestrzennie płaskiej ( k  = 0) rozwiązaniem dla współczynnika skali jest

gdzie jest pewna stała całkowania do ustalenia przez wybór warunków początkowych. Ta rodzina rozwiązań sygnowanych marką jest niezwykle ważna dla kosmologii. Np. opisuje wszechświat zdominowany przez materię , gdzie ciśnienie jest pomijalne w stosunku do gęstości masy. Z ogólnego rozwiązania łatwo widać, że we wszechświecie zdominowanym przez materię współczynnik skali wygląda następująco:

zdominowany przez materię

Innym ważnym przykładem jest przypadek wszechświata zdominowanego przez promieniowanie , tj . kiedy . To prowadzi do

dominuje promieniowanie

Zauważ, że to rozwiązanie nie jest ważne dla dominacji stałej kosmologicznej, która odpowiada . W tym przypadku gęstość energii jest stała, a współczynnik skali rośnie wykładniczo.

Rozwiązania dla innych wartości k można znaleźć w Tersic, Balsa. „Notatki do wykładu z astrofizyki” (PDF) . Źródło 20 lipca 2011 ..

Mieszanki

Jeśli materia jest mieszaniną dwóch lub więcej nieoddziałujących ze sobą płynów, z których każdy ma takie równanie stanu, wtedy

obowiązuje osobno dla każdego takiego płynu f . W każdej sprawie,

z którego otrzymujemy

Na przykład można utworzyć liniową kombinację takich terminów

gdzie: A jest gęstością „pyłu” (materii zwykłej, w  = 0), gdy  = 1; B jest gęstością promieniowania ( w  = 1/3), gdy  = 1; a C jest gęstością „ciemnej energii” ( w =−1). Następnie zamieniamy to na

i rozwiązuje jako funkcję czasu.

Szczegółowe wyprowadzenie

Aby rozwiązania były bardziej jednoznaczne, możemy wyprowadzić pełne zależności z pierwszego równania Friedmana:

z

Przearanżowanie i zmiana w celu wykorzystania zmiennych i integracji

Można znaleźć rozwiązania dla zależności współczynnika skali od czasu dla wszechświatów zdominowanych przez każdy składnik. W każdym również założyliśmy to , co jest równoznaczne z założeniem, że dominującym źródłem gęstości energii jest .

Dla Matter dominowały uniwersa, gdzie i , a także .

który odzyskuje wyżej wymienione

Dla wszechświatów zdominowanych przez promieniowanie, gdzie i , a także

Dla zdominowanych wszechświatów, gdzie i , a także , i gdzie teraz zmienimy nasze granice integracji z na i podobnie do .

Rozwiązanie zdominowanego wszechświata jest szczególnie interesujące, ponieważ druga pochodna względem czasu jest dodatnia, niezerowa; innymi słowy, implikując przyspieszającą ekspansję wszechświata, czyniąc kandydata na ciemną energię :

W przypadku konstrukcji , nasze założenia były i zostały zmierzone jako dodatnie, zmuszając przyspieszenie do wartości większej od zera.

Przeskalowane równanie Friedmanna

Set , gdzie i są dziś osobno współczynnikiem skali i parametrem Hubble'a . Wtedy możemy mieć

gdzie . Dla każdej formy efektywnego potencjału istnieje równanie stanu , które go wytworzy.

Zobacz też

Uwagi

Dalsza lektura