Równania Mathissona – Papapetrou – Dixona - Mathisson–Papapetrou–Dixon equations

Część serii artykułów na temat
Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ Frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Wprowadzenie Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Podstawowe założenia Zasada względności Teoria względności Ramy Odniesienia Inercjalny układ odniesienia Masa bezwładnościowa Rama spoczynkowa Rama ze środkiem pędu Lekki stożek Zasada równoważności Msza w ogólnej teorii względności Równoważność masy i energii Masa niezmienna Symetrie czasoprzestrzenne Szczególna teoria względności Podwójnie szczególna teoria względności de Sittera niezmienna szczególna teoria względności Skala względności Linia światowa Odpowiedni czas Zasada lokalności Geometria riemannowska Stan energetyczny
Zjawiska Elektromagnetyzm grawitacyjny Problem Keplera Powaga Pole grawitacyjne Dobrze grawitacja Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni Przesunięcie ku czerwieni Blueshift Dylatacja czasu Grawitacyjne dylatacja czasu Opóźnienie czasowe Shapiro Potencjał grawitacyjny Kompresja grawitacyjna Upadek grawitacyjny Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Pozorny horyzont Horyzont zdarzeń Osobliwość grawitacyjna Naga osobliwość Czarna dziura Biała dziura Czas, przestrzeń Przestrzeń Czas Diagramy czasoprzestrzenne Czasoprzestrzeń Minkowskiego Zamknięta krzywa czasowa (CTC) Tunel czasoprzestrzenny Wormhole Ellisa
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmann Geodezja Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Niezmiennik krzywizny (ogólna teoria względności) Rozmaitość lorentzowska Formalizmy ADM BSSN Newman – Penrose Post-newtonowski Zaawansowana teoria Teoria Bransa-Dickego Hipoteza kosmicznej cenzury Teoria Kaluzy – Kleina Grawitacja kwantowa Supergrawitacja
Rozwiązania Dysk relatywistyczny Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker fala pp van Stockum dust Weyl – Lewis – Papapetrou Rozwiązanie próżniowe
Twierdzenia Twierdzenie Birkhoffa Twierdzenie o rozszczepianiu Gerocha Twierdzenie Goldberga – Sachsa Twierdzenie Lovelocka Twierdzenie o braku włosów Twierdzenia o osobliwości Penrose'a-Hawkinga Twierdzenie o energii dodatniej
Naukowcy Einstein Lorentz Hilberta Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy mężczyzna Yau Thorne inni
v t mi

W fizyce , a zwłaszcza w ogólnej teorii względności , równania Mathissona – Papapetrou – Dixona opisują ruch masywnego wirującego ciała poruszającego się w polu grawitacyjnym . Inne równania o podobnych nazwach i formach matematycznych to równania Mathissona – Papapetrou i równania Papapetrou – Dixona . Wszystkie trzy zestawy równań opisują tę samą fizykę.

Ich nazwy pochodzą od M. Mathissona , WG Dixona i A. Papapetrou .

W całym artykule zastosowano jednostki naturalne c = G = 1 i notację indeksu tensorowego .

Równania Mathissona – Papapetrou – Dixona

Równania Mathissona – Papapetrou – Dixona (MPD) dla ciała wirującego o masie są następujące ${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle {\ Frac {Dk _ {\ nu}} {D \ tau}} + {\ Frac {1} {2}} S ^ {\ lambda \ mu} R _ {\ lambda \ mu \ nu \ rho} V ^ {\ rho} = 0,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {DS ^ {\ lambda \ mu}} {D \ tau}} + V ^ {\ lambda} k ^ {\ mu} -V ^ {\ mu} k ^ {\ lambda} = 0 .}$

Oto właściwy czas na trajektorii, to czteropęd ciała ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle k _ {\ nu}}$

${\ Displaystyle k _ {\ nu} = \ int _ {t = {\ rm {const}}} {T ^ {0}} _ {\ nu} {\ sqrt {g}} d ^ {3} x,}$

wektor to cztery prędkości pewnego punktu odniesienia w ciele, a tensor skośno-symetryczny to moment pędu ${\ displaystyle V ^ {\ mu}}$${\ displaystyle X ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle S ^ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle S ^ {\ mu \ nu} = \ int _ {t = {\ rm {const}}} \ {(x ^ {\ mu} -X ^ {\ mu}) T ^ {0 \ nu} - (x ^ {\ nu} -X ^ {\ nu}) T ^ {0 \ mu} \} {\ sqrt {g}} d ^ {3} x}$

ciała o tym punkcie. W całkach wycinków czasu zakładamy, że ciało jest na tyle zwarte, że możemy użyć współrzędnych płaskich w ciele, gdzie tensor pędu energii jest niezerowy. ${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}$

W obecnej postaci istnieje tylko dziesięć równań, aby określić trzynaście wielkości. Wielkości te to sześć składników , cztery składniki i trzy niezależne składniki . Dlatego równania należy uzupełnić trzema dodatkowymi wiązaniami, które służą do określenia, w którym punkcie ciała znajduje się prędkość . Mathison i Pirani pierwotnie zdecydowali się narzucić warunek, który chociaż obejmuje cztery składniki, zawiera tylko trzy ograniczenia, ponieważ jest identyczny zerem. Ten stan nie prowadzi jednak do unikalnego rozwiązania i może powodować tajemnicze „ruchy śrubowe”. Warunkiem Tulczyjew-Dixon nie doprowadzić do unikalnego rozwiązania, ponieważ punkt odniesienia wybiera się środek w organizmie masy w ramce, w której jej pęd . ${\ Displaystyle S ^ {\ lambda \ mu}}$${\ displaystyle k _ {\ nu}}$${\ displaystyle V ^ {\ mu}}$${\ displaystyle V ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle V ^ {\ mu} S _ {\ mu \ nu} = 0}$${\ Displaystyle V ^ {\ mu} S _ {\ mu \ nu} V ^ {\ nu}}$${\ Displaystyle k _ {\ mu} S ^ {\ mu \ nu} = 0}$ ${\ displaystyle X ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle (k_ {0}, k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}) = (m, 0,0,0)}$

Przyjmując warunek Tulczyjewa-Dixona , możemy przekształcić drugie z równań MPD do postaci ${\ Displaystyle k _ {\ mu} S ^ {\ mu \ nu} = 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {DS _ {\ lambda \ mu}} {D \ tau}} + {\ Frac {1} {m ^ {2}}} \ left (S _ {\ lambda \ rho} k _ {\ mu } {\ frac {Dk ^ {\ rho}} {D \ tau}} + S _ {\ rho \ mu} k _ {\ lambda} {\ frac {Dk ^ {\ rho}} {D \ tau}} \ right ) = 0,}$

Jest to forma transportu Fermiego – Walkera tensora spinu wzdłuż trajektorii - ale zachowuje ortogonalność raczej do wektora pędu niż do wektora stycznego . Dixon nazywa to M-transport . ${\ Displaystyle k ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle V ^ {\ mu} = dX ^ {\ mu} / d \ tau}$

Zobacz też

• Wprowadzenie do matematyki ogólnej teorii względności
• Równanie geodezyjne
• Pseudowektor Pauli-Lubański
• Cząstka testowa
• Relatywistyczny moment pędu
• Środek masy (relatywistyczny)

Bibliografia

Uwagi

Wybrane artykuły

• C. Chicone; B. Mashhoon; B. Punsly (2005). „Relatywistyczny ruch wirujących cząstek w polu grawitacyjnym”. Fizyka Litery A . 343 (1–3): 1–7. arXiv : gr-qc / 0504146 . Bibcode : 2005PhLA..343 .... 1C . doi : 10.1016 / j.physleta.2005.05.072 . HDL : 10355/8357 . S2CID   56132009 .
• N. Messios (2007). „Wirujące cząstki w czasoprzestrzeniach ze skręceniem”. International Journal of Theoretical Physics . Ogólna teoria względności i grawitacja. 46 ust. 3. Skoczek. pp. 562–575. Bibcode : 2007IJTP ... 46..562M . doi : 10.1007 / s10773-006-9146-8 .
• D. Singh (2008). „Analityczne podejście perturbacyjne dla klasycznej dynamiki wirujących cząstek”. International Journal of Theoretical Physics . Ogólna teoria względności i grawitacja. 40 ust. 6. Skoczek. pp. 1179–1192. doi : 10.1007 / s10714-007-0597-x .
• LFO Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). „Ruchy śrubowe Mathissona zostały zdemistyfikowane”. AIP Conf. Proc . Materiały konferencyjne AIP. 1458 : 367–370. arXiv : 1206.7093 . Bibcode : 2012AIPC.1458..367C . doi : 10.1063 / 1.4734436 . S2CID   119306409 .
• RM Plyatsko (1985). „Dodanie warunku Piraniego do równań Mathissona-Papapetrou w polu Schwarzschilda”. Dziennik fizyki radzieckiej . 28 ust. 7. Skoczek. pp. 601–604. Bibcode : 1985SvPhJ..28..601P . doi : 10.1007 / BF00896195 .
• RR Lompay (2005). „Wyprowadzanie równań Mathissona-Papapetrou z relatywistycznej pseudomechaniki”. arXiv : gr-qc / 0503054 .
• R. Plyatsko (2011). „Czy równania Mathissona-Papapetrou mogą dać wskazówkę do pewnych problemów w astrofizyce?”. arXiv : 1110,2386 [ gr-qc ].
• M. Leclerc (2005). „Równania Mathissona-Papapetrou w metrycznych i skrajniowych teoriach grawitacji w ujęciu Lagrangianu”. Grawitacja klasyczna i kwantowa . 22 (16): 3203–3221. arXiv : gr-qc / 0505021 . Bibcode : 2005CQGra..22.3203L . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 22/16/006 . S2CID   2569951 .
• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn; M. Fenyk (2011). „Równania Mathissona-Papapetrou-Dixona na tle Schwarzschilda i Kerra”. Grawitacja klasyczna i kwantowa . 28 (19): 195025. arXiv : 1110.1967 . Bibcode : 2011CQGra..28s5025P . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 28/19/195025 . S2CID   119213540 .
• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn (2008). „O wspólnych rozwiązaniach równań Mathissona w różnych warunkach”. arXiv : 0803.0121 . Bibcode : 2008arXiv0803.0121P . Cite Journal wymaga |journal= ( pomoc )
• RM Plyatsko; AL Vynar; Ya. N. Pelekh (1985). „Warunki pojawienia się grawitacyjnego ultrarelatywistycznego oddziaływania spin-orbital”. Dziennik fizyki radzieckiej . 28 (10). Skoczek. pp. 773–776. Bibcode : 1985SvPhJ..28..773P . doi : 10.1007 / BF00897946 .
• K. Svirskas; K. Pyragas (1991). „Kulisto-symetryczne trajektorie cząstek spinowych w polu Schwarzschilda”. Astrofizyka i nauka o kosmosie . 179 ust. 2. Skoczek. pp. 275–283. Bibcode : 1991Ap i SS.179..275S . doi : 10.1007 / BF00646947 .