Transformacja Lorentza - Lorentz transformation

Część serii na
Czas, przestrzeń
Szczególna teoria względności Ogólna teoria względności
Koncepcje czasoprzestrzeni
Ogólna teoria względności
Klasyczna grawitacja
Odpowiednia matematyka
v T mi

W fizyki , że transformacje Lorentza rodzina sześciu parametrów liniowych przemian z układu współrzędnych w czasoprzestrzeni do innej ramki, która porusza się ze stałą prędkością w stosunku do pierwszego. Odpowiednia transformacja odwrotna jest następnie parametryzowana przez ujemną wartość tej prędkości. Transformacje noszą imię holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza .

Najpopularniejsza forma przekształcenia, sparametryzowana przez rzeczywistą stałą reprezentującą prędkość ograniczoną do kierunku x , jest wyrażona jako ${\displaystyle v}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} t '& = \ gamma \ lewo (t-{\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawej) \ \ x '& = \ gamma \ lewo (x- vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

gdzie ( t , x , y , z ) i ( t ′, x ′, y ′, z ′) są współrzędnymi zdarzenia w dwóch klatkach, w których ramka podstawowa jest widziana z ramki nieuruchamionej jako poruszająca się z prędkością v wzdłuż x -osiowy, C jest prędkością światła , a jest czynnikiem Lorentza . Gdy prędkość v jest znacznie mniejsza niż c , współczynnik Lorentza jest pomijalnie różny od 1, ale gdy v zbliża się do c , rośnie bez ograniczeń. Wartość v musi być mniejsza niż c, aby transformacja miała sens. ${\ Displaystyle \ gamma = \ textstyle \ lewo ({\ sqrt {1-{\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ prawej) ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Wyrażenie prędkości jako ekwiwalentnej formy przekształcenia to ${\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {v} {c}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ct '& = \ gamma \ lewo (ct \ beta x \ prawej) \ \ x '& = \ gamma \ lewo (x \ beta ct \ po prawej) \ \ y & =y\\z'&=z.\end{wyrównany}}}$

Układy odniesienia można podzielić na dwie grupy: inercyjne (ruch względny ze stałą prędkością) i nieinercyjne (przyspieszanie, poruszanie się po torach zakrzywionych, ruch obrotowy ze stałą prędkością kątową itp.). Termin „transformacje Lorentza” odnosi się tylko do transformacji między układami inercjalnymi , zwykle w kontekście szczególnej teorii względności.

W każdej ramce odniesienia obserwator może użyć lokalnego układu współrzędnych ( w tym kontekście zwykle współrzędnych kartezjańskich ) do pomiaru długości oraz zegara do pomiaru odstępów czasu. Wydarzenie jest czymś, co dzieje się w danym punkcie przestrzeni w jednej chwili czasu, lub bardziej formalnie punktu w czasoprzestrzeni . Przekształcenia łączą współrzędne przestrzenne i czasowe zdarzenia mierzone przez obserwatora w każdej klatce.

Zastępują one Galilejczyk transformacji z fizyki Newtona , która zakłada bezwzględną czasu i przestrzeni (patrz Galilejczyk względność ). Transformacja Galileusza jest dobrym przybliżeniem tylko przy prędkościach względnych znacznie mniejszych niż prędkość światła. Transformacje Lorentza mają szereg nieintuicyjnych cech, które nie występują w transformacjach Galileusza. Odzwierciedlają one na przykład fakt, że obserwatorzy poruszający się z różnymi prędkościami mogą mierzyć różne odległości , upływający czas , a nawet różną kolejność zdarzeń , ale zawsze tak, aby prędkość światła była taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Niezmienność prędkości światła jest jednym z postulatów szczególnej teorii względności .

Historycznie, transformacje były wynikiem prób Lorentza i innych wyjaśniających, w jaki sposób zaobserwowano, że prędkość światła jest niezależna od układu odniesienia oraz zrozumieć symetrie praw elektromagnetyzmu . Transformacja Lorentza jest zgodnie z Albert Einstein „s szczególnej teorii względności , ale pochodzi pierwszy.

Transformacja Lorentza jest transformacją liniową . Może obejmować rotację przestrzeni; transformacja Lorentza bez rotacji nazywana jest doładowaniem Lorentza . W przestrzeni Minkowskiego — matematycznym modelu czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności — transformacje Lorentza zachowują odstęp czasoprzestrzenny między dowolnymi dwoma zdarzeniami. Ta właściwość jest definiującą właściwością transformacji Lorentza. Opisują one tylko te transformacje, w których wydarzenie czasoprzestrzenne u źródła pozostaje niezmienne. Można je traktować jako hiperboliczny obrót przestrzeni Minkowskiego. Bardziej ogólny zestaw przekształceń, który obejmuje również tłumaczenia, jest znany jako grupa Poincaré .

Historia

Wielu fizyków — w tym Woldemar Voigt , George FitzGerald , Joseph Larmor i sam Hendrik Lorentz — dyskutowało o fizyce implikowanej przez te równania od 1887 roku. Na początku 1889 roku Oliver Heaviside wykazał na podstawie równań Maxwella, że pole elektryczne otaczające sferyczny rozkład ładunek powinien przestać mieć sferyczną symetrię, gdy ładunek jest w ruchu względem świetlistego eteru . FitzGerald wywnioskował następnie, że wynik zniekształcenia Heaviside'a można zastosować do teorii sił międzycząsteczkowych. Kilka miesięcy później FitzGerald opublikował przypuszczenie, że ciała w ruchu kurczą się, aby wyjaśnić zaskakujący wynik eksperymentu Michelsona i Morleya z wiatrem eterowym z 1887 roku . W 1892 Lorentz niezależnie przedstawił tę samą ideę w bardziej szczegółowy sposób, który później nazwano hipotezą skrócenia FitzGeralda-Lorentza . Ich wyjaśnienie było powszechnie znane przed 1905 rokiem.

Lorentz (1892–1904) i Larmor (1897–1900), którzy wierzyli w hipotezę świecącego eteru, również szukali transformacji, w której równania Maxwella są niezmiennicze, gdy są przekształcane z eteru w ruchomą ramę. Rozszerzyli hipotezę skrócenia FitzGeralda-Lorentza i odkryli, że współrzędna czasowa również musi zostać zmodyfikowana („ czas lokalny ”). Henri Poincaré podał fizyczną interpretację czasu lokalnego (pierwszego rzędu w v / c , względna prędkość dwóch ramek odniesienia znormalizowana do prędkości światła) w konsekwencji synchronizacji zegara, przy założeniu, że prędkość światła jest stała w ruchomych klatkach. Uważa się, że Larmor jako pierwszy zrozumiał kluczową właściwość dylatacji czasu, tkwiącą w jego równaniach.

W 1905 Poincaré jako pierwszy uznał, że transformacja ma właściwości grupy matematycznej i nazwał ją imieniem Lorentza. Później w tym samym roku Albert Einstein opublikował to , co obecnie nazywa się szczególną teorią względności , wyprowadzając transformację Lorentza przy założeniu zasady względności i stałości prędkości światła w dowolnym bezwładnościowym układzie odniesienia , porzucając mechanistyczny eter jako niepotrzebny . .

Wyprowadzenie grupy przekształceń Lorentza

Wydarzenie jest czymś, co dzieje się w pewnym momencie w czasoprzestrzeni, lub bardziej ogólnie, do punktu w samej czasoprzestrzeni. W dowolnej ramce bezwładności zdarzenie jest określone przez współrzędną czasową ct i zestaw współrzędnych kartezjańskich x , y , z w celu określenia położenia w przestrzeni w tej ramce. Indeksy dolne oznaczają poszczególne zdarzenia.

Z drugiego postulatu względności Einsteina (niezmienniczość c ) wynika, że:

${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1} )^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(lekko rozdzielone zdarzenia 1, 2)}}}$

( D1 )

we wszystkich ramkach inercyjnych dla zdarzeń połączonych sygnałami świetlnymi . Wielkość po lewej nazywa się odstępem czasoprzestrzeni między zdarzeniami a ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) i a ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) . Odstęp między dowolnymi dwoma zdarzeniami, niekoniecznie rozdzielonymi sygnałami świetlnymi, jest w rzeczywistości niezmienny, tj. niezależny od stanu względnego ruchu obserwatorów w różnych układach inercjalnych, co pokazuje jednorodność i izotropia przestrzeni . Poszukiwane przekształcenie musi zatem posiadać tę właściwość, że:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i c ^ {2} (t_ {2}-t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} - x_ {1}) ^ {2} - (y_ {2} }-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\[6pt]={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1 }')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}' -z_{1}')^{2}\quad {\text{(wszystkie zdarzenia 1, 2)}}.\end{wyrównany}}}$

( D2 )

gdzie ( ct , x , y , z ) są współrzędnymi czasoprzestrzennymi używanymi do definiowania zdarzeń w jednej ramce, a ( ct ′, x ′, y ′, z ′) są współrzędnymi w innej ramce. Pierwsza zauważa, że (D2) jest spełnione, jeśli do zdarzeń a ₁ i a ₂ dodamy dowolną 4- krotkę b liczb . Takie przekształcenia nazywane są translacjami czasoprzestrzeni i nie są tutaj dalej omawiane. Następnie obserwujemy, że rozwiązanie liniowe zachowujące pochodzenie prostszego problemu rozwiązuje również problem ogólny:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i c ^ {2} t ^ {2} - x ^ {2} -y ^ {2} - z ^ {2} = c ^ {2} t' ^ {2} - x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\\[6pt]{\text{lub}}\quad &c^{2}t_{1}t_{2}-x_{ 1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x '_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}\end{aligned}}}$

( D3 )

(rozwiązanie spełniające lewą formułę automatycznie spełnia również prawą; patrz tożsamość polaryzacji ). Znalezienie rozwiązania prostszego problemu to tylko kwestia sprawdzenia w teorii grup klasycznych, które zachowują dwuliniowe formy różnych sygnatur. Pierwsze równanie w (D3) można zapisać bardziej zwięźle jako:

${\ Displaystyle (a, a) = (a ', a') \ quad {\ tekst {lub}} \ quad a \ cdot a = a '\ cdot a',}$

( D4 )

gdzie (· ·) odnosi się do bilinear postaci podpisu (1, 3) na R ⁴ naświetlanego prawej stronie wzoru w (D3) . Alternatywna notacja zdefiniowana po prawej stronie nazywana jest relatywistycznym iloczynem skalarnym . Czasoprzestrzeń postrzegana matematycznie jako R ⁴ obdarzona tą dwuliniową formą jest znana jako przestrzeń Minkowskiego M . Transformacja Lorentza jest więc elementem grupy O(1, 3) , grupy Lorentza lub, dla tych, którzy preferują inną sygnaturę metryczną , O(3, 1) (nazywanej również grupą Lorentza). Jeden ma:

${\ Displaystyle (a, a) = (\ Lambda a, \ Lambda a) = (a', a'), \ quad \ Lambda \ w \ operatorname {O} (1,3), \ quad a, a' \w M,}$

( D5 )

co jest właśnie zachowaniem dwuliniowości (D3), co implikuje (przez liniowość Λ i dwuliniowość postaci), że (D2) jest spełnione. Elementami grupy Lorentz są rotacje i boosty oraz ich miksy. Jeśli uwzględniamy translacje czasoprzestrzenne, otrzymujemy niejednorodną grupę Lorentza lub grupę Poincarégo .

Ogólne

Relacje między primowanymi i nieprimowanymi współrzędnymi czasoprzestrzeni to transformacje Lorentza , każda współrzędna w jednej ramce jest funkcją liniową wszystkich współrzędnych w drugiej ramce, a funkcje odwrotne są transformacją odwrotną. W zależności od tego, jak klatki poruszają się względem siebie i jak są zorientowane w przestrzeni względem siebie, do równań transformacji wprowadzane są inne parametry opisujące kierunek, prędkość i orientację.

Transformacje opisujące ruch względny ze stałą (jednostajną) prędkością i bez obrotu osi współrzędnych przestrzennych nazywamy boostami , a parametrem transformacji jest prędkość względna pomiędzy klatkami. Innym podstawowym typem transformacji Lorentza jest obrót tylko we współrzędnych przestrzennych, takie jak boosty są transformacjami bezwładnościowymi, ponieważ nie ma ruchu względnego, ramki są po prostu przechylane (a nie obracają się w sposób ciągły), a w tym przypadku wielkościami definiującymi obrót są parametry transformacji (np. reprezentacja oś-kąt , kąty Eulera itp.). Kombinacja rotacji i wzmocnienia jest transformacją jednorodną , która przekształca początek z powrotem w początek.

Pełna grupa Lorentza O(3, 1) zawiera również specjalne przekształcenia, które nie są ani rotacjami, ani wzmocnieniami, ale raczej odbiciami w płaszczyźnie przez początek układu współrzędnych. Można wyróżnić dwa z nich; inwersja przestrzenna, w której współrzędne przestrzenne wszystkich zdarzeń są odwrócone w znaku i inwersja czasowa, w której współrzędna czasowa dla każdego zdarzenia otrzymuje odwrócony znak.

Wzmocnień nie należy łączyć ze zwykłymi przemieszczeniami w czasoprzestrzeni; w tym przypadku układy współrzędnych są po prostu przesunięte i nie ma ruchu względnego. Jednak liczą się one również jako symetrie wymuszone szczególną teorią względności, ponieważ pozostawiają niezmienny przedział czasoprzestrzenny. Połączenie rotacji z doładowaniem, po którym następuje przesunięcie w czasoprzestrzeni, jest niejednorodną transformacją Lorentza , elementem grupy Poincaré, zwanej również niejednorodną grupą Lorentza.

Fizyczna formuła dopalaczy Lorentza

Transformacja współrzędnych

„Stacjonarny” obserwator w ramce F definiuje zdarzenia o współrzędnych t , x , y , z . Kolejna klatka F ′ porusza się z prędkością v względem F , a obserwator w tej „ruchomej” klatce F ′ definiuje zdarzenia za pomocą współrzędnych t ′, x ′, y ′, z ′ .

Osie współrzędnych w każdej ramce są równoległe ( osie x i x ′ są równoległe, osie y i y ′ są równoległe, a osie z i z ′ są równoległe), pozostają wzajemnie prostopadłe, a ruch względny odbywa się wzdłuż zbieżności xx ′ osie. W t = t ′ = 0 , początki obu układów współrzędnych są takie same, ( x, y, z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . Innymi słowy, czasy i pozycje w tym wydarzeniu są zbieżne. Jeśli wszystko się zgadza, mówi się, że układy współrzędnych są w konfiguracji standardowej lub są zsynchronizowane .

Jeśli obserwator w F rejestruje zdarzenie t, x, y, z , to obserwator w F ′ rejestruje to samo zdarzenie ze współrzędnymi

gdzie v jest prędkością względną między klatkami w kierunku x , c jest prędkością światła , a

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-{\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

(małe litery gamma ) to współczynnik Lorentza .

Tutaj v jest parametrem przekształcenia, dla danego wzmocnienia jest to liczba stała, ale może przyjmować ciągły zakres wartości. W zastosowanym tutaj układzie dodatnia prędkość względna v > 0 jest ruchem wzdłuż dodatnich kierunków osi xx ′ , zerowa prędkość względna v = 0 nie jest ruchem względnym, natomiast ujemna prędkość względna v < 0 jest ruchem wzdłuż ujemnych kierunków xx ' osie. Wielkość prędkości względnej v nie może być równa ani przekraczać c , więc dozwolone są tylko prędkości podświetlne − c < v < c . Odpowiadający zakres γ to 1 ≤ γ < ∞ .

Transformacje nie są zdefiniowane, jeśli v jest poza tymi granicami. Przy prędkości światła ( v = c ) γ jest nieskończona, a szybsza od światła ( v > c ) γ jest liczbą zespoloną , z których każda sprawia, że ​​transformacje są niefizyczne. Współrzędne przestrzenne i czasowe są wielkościami mierzalnymi i liczbowo muszą być liczbami rzeczywistymi.

Jako aktywna transformacja , obserwator w F′ zauważa współrzędne zdarzenia, które mają zostać „wzmocnione” w ujemnych kierunkach osi xx ′ , ze względu na − v w transformacjach. Ma to równoważny efekt układu współrzędnych F′ wzmocnionego w dodatnich kierunkach osi xx ′ , podczas gdy zdarzenie nie zmienia się i jest po prostu reprezentowane w innym układzie współrzędnych, transformacja pasywna .

Relacje odwrotne ( t , x , y , z pod względem t ′, x ′, y ′, z ′ ) można znaleźć rozwiązując algebraicznie oryginalny zestaw równań. Bardziej efektywnym sposobem jest użycie zasad fizycznych. Tutaj F ′ jest ramą „stacjonarną”, podczas gdy F jest ramą „ruchomą”. Zgodnie z zasadą względności nie ma uprzywilejowanego układu odniesienia, więc transformacje z F ′ do F muszą mieć dokładnie taką samą formę jak transformacje z F do F ′ . Jedyna różnica polega na tym, że F porusza się z prędkością − v względem F ′ (tj. prędkość względna ma tę samą wielkość, ale jest skierowana przeciwnie). Zatem jeśli obserwator w F ′ zapisze zdarzenie t ′, x ′, y ′, z ′ , to obserwator w F zapisze to samo zdarzenie ze współrzędnymi

a wartość γ pozostaje niezmieniona. Ta „sztuczka” polegająca na prostym odwróceniu kierunku prędkości względnej przy zachowaniu jej wielkości i wymianie zmiennych prim i nieprimowanych, zawsze ma zastosowanie do znalezienia odwrotnej transformacji każdego doładowania w dowolnym kierunku.

Czasami wygodniej jest użyć β = v / c (małe litery beta ) zamiast v , aby

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ct '& = \ gamma \ lewo (ct-\ beta x \ prawej) \, \ \ x '& = \ gamma \ lewo (x-\ beta ct \ prawej) \, ,\\\koniec{wyrównany}}}$

co znacznie wyraźniej pokazuje symetrię transformacji. Z dozwolonych zakresów v i definicji β wynika -1 < β < 1 . Stosowanie β i γ jest standardem w całej literaturze.

Transformacje Lorentza można również wyprowadzić w sposób przypominający obroty kołowe w przestrzeni 3D przy użyciu funkcji hiperbolicznych . Dla wzmocnienia w kierunku x wyniki są

gdzie ζ (małe litery zeta ) to parametr zwany szybkością (używanych jest wiele innych symboli, w tym θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ ). Biorąc pod uwagę silne podobieństwo do rotacji współrzędnych przestrzennych w przestrzeni 3D w płaszczyznach kartezjańskich xy, yz i zx, zwiększenie Lorentza można traktować jako hiperboliczny obrót współrzędnych czasoprzestrzeni w płaszczyznach kartezjańskich xt, yt i zt 4d przestrzeń Minkowskiego . Parametr ζ to hiperboliczny kąt obrotu, analogiczny do zwykłego kąta dla obrotów kołowych. Transformację tę można zilustrować diagramem Minkowskiego .

Funkcje hiperboliczne wynikają raczej z różnicy między kwadratami czasu a współrzędnymi przestrzennymi w przedziale czasoprzestrzennym, a nie z sumy. Geometryczne znaczenie funkcji hiperbolicznych można zwizualizować przyjmując w przekształceniach x = 0 lub ct = 0 . Podnosząc wyniki do kwadratu i odejmując wyniki, można wyprowadzić krzywe hiperboliczne o stałych wartościach współrzędnych, ale zmiennych ζ , co parametryzuje krzywe zgodnie z tożsamością

${\ Displaystyle \ cosh ^ {2} \ zeta - \ sinh ^ {2} \ zeta = 1 \,.}$

Odwrotnie, osie ct i x mogą być skonstruowane dla różnych współrzędnych, ale stałych ζ . Definicja

${\ Displaystyle \ tanh \ zeta = {\ Frac {\ sinh \ zeta} {\ cosh \ zeta}} \ ,,}$

zapewnia połączenie między stałą wartość szybkości, a nachylenie tego ct osi czasoprzestrzeni. Konsekwencją tych dwóch hiperbolicznych formuł jest tożsamość, która odpowiada współczynnikowi Lorentza

${\ Displaystyle \ cosh \ zeta = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-\ tanh ^ {2} \ zeta}}} \,.}$

Porównując transformacje Lorentza pod względem względnej prędkości i szybkości, lub korzystając z powyższych wzorów, związki między β , γ i ζ są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ beta & = \ tanh \ zeta \ \ \ \ gamma \ = \ cosh \ zeta \ \ \ \ beta \ gamma \ \ sinh \ zeta \ \ koniec {wyrównany}}}$

Biorąc odwrotną tangens hiperboliczny daje szybkość

${\ Displaystyle \ zeta = \ tah ^ {-1} \ beta \,.}$

Ponieważ −1 < β < 1 , wynika z tego −∞ < ζ < ∞ . Z zależności między ζ i β , dodatnia szybkość ζ > 0 jest ruchem wzdłuż dodatnich kierunków osi xx ′ , zerowa szybkość ζ = 0 nie jest ruchem względnym, natomiast ujemna szybkość ζ < 0 jest względnym ruchem wzdłuż ujemnych kierunków xx ' osiach.

Transformacje odwrotne są uzyskiwane przez zamianę wielkości pierwotnych i niepierwotnych w celu przełączenia układu współrzędnych i zanegowanie szybkości ζ → − ζ, ponieważ jest to równoznaczne z zanegowaniem prędkości względnej. W związku z tym,

Przekształcenia odwrotne można w podobny sposób zwizualizować, biorąc pod uwagę przypadki, gdy x ′ = 0 i ct ′ = 0 .

Do tej pory transformacje Lorentza były stosowane do jednego zdarzenia . Jeśli występują dwa zdarzenia, występuje między nimi przestrzenna separacja i odstęp czasowy. Z liniowości transformacji Lorentza wynika, że ​​można wybrać dwie wartości współrzędnych przestrzennych i czasowych, transformacje Lorentza można zastosować do każdej z nich, a następnie odjąć, aby uzyskać transformacje Lorentza różnic;

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Delta T '& = \ Gamma \ lewo (\ Delta T-{\ Frac {V \ \ Delta x} {c ^ {2}}} \ prawej) \ , \ \\Delta x'&=\gamma \left(\Delta xv\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$

z odwrotnymi relacjami

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Delta T & = \ Gamma \ lewo (\ Delta T '+ {\ Frac {V \ \ Delta x'} {c ^ {2}}} \ po prawej) \ \ \ \ \\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$

gdzie Δ (wielkie delta ) oznacza różnicę ilości; np. Δ x = x ₂ − x ₁ dla dwóch wartości współrzędnych x i tak dalej.

Te przekształcenia na różnicach, a nie na punktach przestrzennych lub momentach czasu, są przydatne z wielu powodów:

• w obliczeniach i eksperymentach mierzone lub interesujące są odległości między dwoma punktami lub odstępami czasu (np. długość poruszającego się pojazdu lub czas potrzebny na podróż z jednego miejsca do drugiego),
• transformacje prędkości można łatwo wyprowadzić, czyniąc różnicę nieskończenie małą i dzieląc równania, a proces powtórzony dla transformacji przyspieszenia,
• jeśli układy współrzędnych nigdy nie są zbieżne (tj. nie w standardowej konfiguracji) i jeśli obaj obserwatorzy mogą uzgodnić zdarzenie t ₀ , x ₀ , y ₀ , z ₀ w F i t ₀ ′, x ₀ ′, y ₀ ′ , z ₀ ′ w F ′ , to mogą użyć tego zdarzenia jako początku, a różnice współrzędnych czasoprzestrzeni są różnicami między ich współrzędnymi a tym początkiem, np. Δ x = x − x ₀ , Δ x ′ = x ′ − x ₀ ′ itd.

Implikacje fizyczne

Krytycznym wymogiem transformacji Lorentza jest niezmienność prędkości światła, fakt wykorzystany w ich wyprowadzeniu i zawarty w samych transformacjach. Jeśli w F równanie na impuls światła w kierunku x to x = ct , to w F ′ transformacje Lorentza dają x ′ = ct ′ i odwrotnie, dla dowolnego − c < v < c .

Dla prędkości względnych znacznie mniejszych niż prędkość światła, transformacje Lorentza sprowadzają się do transformacji Galileusza

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} t' i \ około t \ \ x '& \ około x-vt \ koniec {wyrównany}}}$

zgodnie z zasadą korespondencji . Czasami mówi się, że fizyka nierelatywistyczna to fizyka „natychmiastowego działania na odległość”.

Trzy sprzeczne z intuicją, ale poprawne, przewidywania transformacji to:

Względność równoczesności

Załóżmy, że dwa zdarzenia zachodzą jednocześnie ( Δ t = 0 ) wzdłuż osi x, ale oddzielone niezerowym przemieszczeniem Δ x . Następnie w F ′ , stwierdzamy, że , więc zdarzenia nie są już równoczesne według poruszającego się obserwatora.${\ Displaystyle \ Delta t' = \ gamma {\ Frac {-v \ \ Delta x} {c ^ {2}}}}$

Dylatacja czasu

Załóżmy, że w F jest zegar w stanie spoczynku . Jeśli przedział czasu jest mierzony w tym samym punkcie w tej ramce, tak że Δ x = 0 , to przekształcenia dają ten przedział w F ′ przez Δ t ′ = γ Δ t . I odwrotnie, załóżmy, że w F ′ znajduje się zegar w spoczynku . Jeśli przedział jest mierzony w tym samym punkcie w tej ramce, tak że Δ x ′ = 0 , to przekształcenia dają ten przedział w F jako Δ t = γ Δ t ′ . Tak czy inaczej, każdy obserwator mierzy odstęp czasowy między taktami poruszającego się zegara, aby był dłuższy o współczynnik γ niż odstęp czasowy między taktami jego własnego zegara.

Skrócenie długości

Załóżmy, że w F znajduje się pręt w spoczynku ustawiony wzdłuż osi x, o długości Δ x . W F ′ , pręt porusza się z prędkością - v , więc jego długość należy zmierzyć wykonując dwa jednoczesne ( Δ t ′ = 0 ) pomiary na przeciwległych końcach. W tych warunkach odwrotna transformata Lorentza pokazuje, że Δ x = γ Δ x ′ . W F te dwa pomiary nie są już równoczesne, ale nie ma to znaczenia, ponieważ pręt jest w spoczynku w F . Tak więc każdy obserwator mierzy odległość między punktami końcowymi ruchomego pręta, aby była krótsza o współczynnik 1/ γ niż punkty końcowe identycznego pręta w spoczynku w jego własnej ramie. Skrócenie długości wpływa na każdą wielkość geometryczną związaną z długościami, więc z perspektywy poruszającego się obserwatora, powierzchnie i objętości również wydają się kurczyć w kierunku ruchu.

Transformacje wektorowe

Użycie wektorów umożliwia zwięzłe wyrażanie pozycji i prędkości w dowolnych kierunkach. Pojedyncze doładowanie w dowolnym kierunku zależy od pełnego wektora prędkości względnej v o wielkości | v | = v , które nie może być równe ani większe od c , więc 0 ≤ v < c .

Zmieniają się tylko czas i współrzędne równoległe do kierunku ruchu względnego, podczas gdy współrzędne prostopadłe nie. Mając to na uwadze, podziel wektor położenia przestrzennego r mierzony w F i r ′ mierzony w F′ , każdy na składowe prostopadłe (⊥) i równoległe (‖) do v ,

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {\ sprawca} + \ mathbf {r} _ {\ |} \ ,, \ quad \ mathbf {r} '= \ mathbf {r} _ {\ sprawa }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$

to transformacje są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} t'& = \ gamma \ lewo (t-{\ Frac {\ mathbf {r} _ {\ równoległy} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{wyrównany}}}$

gdzie · jest iloczynem skalarnym . Współczynnik Lorentza γ zachowuje swoją definicję doładowania w dowolnym kierunku, ponieważ zależy tylko od wielkości prędkości względnej. Definicja β = v / c o wielkości 0 ≤ β < 1 jest również używana przez niektórych autorów.

Wprowadzając wektor jednostkowy n = v / v = β / β w kierunku ruchu względnego, prędkość względna wynosi v = v n z wielkością v i kierunkiem n , a rzut wektora i odrzucenie dają odpowiednio

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {\ równoległy} = (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n} ) \ mathbf {n} \,, \ quad \ mathbf {r} _ {\ sprawca} = \ mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

Gromadzenie wyników daje pełne przekształcenia,

Projekcja i odrzucenie dotyczy również r ′ . Dla przekształceń odwrotnych zamień r i r ′, aby zamienić obserwowane współrzędne i zanegować prędkość względną v → − v (lub po prostu wersor n → − n, ponieważ wielkość v jest zawsze dodatnia), aby uzyskać

Zaletą wektorów jednostkowych jest uproszczenie równań dla pojedynczego wzmocnienia, pozwala na przywrócenie v lub β, gdy jest to dogodne, a parametryzację szybkości uzyskuje się natychmiast przez zastąpienie β i βγ . Nie jest to wygodne dla wielu doładowań.

Zależność wektorowa między prędkością względną a szybkością wynosi

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta}}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$

a „wektor pośpiechu” można zdefiniować jako

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}} = \ zeta \ mathbf {n} = \ mathbf {n} \ tanh ^ {-1} \ beta \,,}$

z których każdy służy jako przydatny skrót w niektórych kontekstach. Wielkość ζ jest wartością bezwzględną skalara szybkości ograniczonego do 0 ≤ ζ < ∞ , co zgadza się z zakresem 0 ≤ β < 1 .

Transformacja prędkości

Definiowanie prędkości współrzędnych i współczynnika Lorentza przez

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ Frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ ,, \ quad \ mathbf {u} '= {\ Frac {d \ mathbf {r}} '}{dt '}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c ^{2}}}}}}}$

pobranie różniczek we współrzędnych i czasie przekształceń wektorowych, a następnie podzielenie równań prowadzi do:

${\ Displaystyle \ mathbf {u} '= {\ Frac {1} {1-{\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}}}} \ lewo [{ \frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _ {\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$

Prędkości u i u ′ to prędkość jakiegoś masywnego obiektu. Mogą również dotyczyć trzeciego układu inercjalnego (powiedzmy F ′′), w którym to przypadku muszą być stałe . Oznaczmy dowolny byt przez X. Wtedy X porusza się z prędkością u względem F, lub równoważnie z prędkością u ′ względem F′, z kolei F′ porusza się z prędkością v względem F. Odwrotne transformacje można otrzymać w podobny sposób, lub jak w przypadku współrzędnych pozycji zamień u i u ′ , i zmień v na − v .

Transformacja prędkości jest przydatna w aberracji gwiazdowej , eksperymencie Fizeau i relatywistycznym efekcie Dopplera .

W Lorentza przemiany przyspieszenia można podobnie otrzymać poprzez różnice w wektory prędkości, a następnie dzieląc je przez różnicę czasu.

Przekształcenie innych wielkości

Ogólnie biorąc, biorąc pod uwagę cztery wielkości A i Z = ( Z _x , Z _y , Z _z ) i ich odpowiedniki wzmocnione przez Lorentza A ′ i Z ′ = ( Z ′ _x , Z ′ _y , Z ′ _z ) , relacja Formularz

${\ Displaystyle A ^ {2} - \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {Z} = {A'} ^ {2} - \ mathbf {Z} '\ cdot \ mathbf {Z} '}$

implikuje transformację wielkości pod transformacją Lorentza podobną do transformacji współrzędnych czasoprzestrzeni;

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A '& = \ Gamma \ lewo (A-{\ Frac {v \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {Z}} {c}} \ prawej) \ \ \ \ \mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf { n} }{c}}\,.\end{wyrównany}}}$

Rozkład Z (i Z ′ ) na składowe prostopadłe i równoległe do v jest dokładnie taki sam jak dla wektora położenia, podobnie jak proces uzyskiwania przekształceń odwrotnych (wymiana ( A , Z ) i ( A ′, Z ′) zamienić obserwowane wielkości i odwrócić kierunek ruchu względnego przez podstawienie n ↦ − n ).

Wielkości ( A , Z ) łącznie tworzą czterowektor , gdzie A jest „składnikiem czasopodobnym ”, a Z „składnikiem przestrzennym”. Przykłady A i Z są następujące:

Cztery wektory	A	Z
Pozycja czterowektorowa	Czas (mnożony przez c ), ct	Wektor położenia , r
Cztery pędy	Energia (podzielona przez c ), E / c	Pęd , p
Wektor czterofalowy	częstotliwość kątowa (dzielona przez c ), ω / c	wektor falowy , k
Cztery spiny	(Bez nazwy), s t	Zakręć , s
Cztery prądy	Gęstość ładunku (mnożona przez c ), ρc	Gęstość prądu , j
Cztery potencjały elektromagnetyczne	Potencjał elektryczny (podzielony przez c ), φ / c	Wektorowy potencjał magnetyczny , A

Dla danego przedmiotu (na przykład cząstek płynu, pola, materiału), jeśli A i Z odpowiadają właściwości w odniesieniu do określonych obiektów takich jak jej gęstość ładunku , gęstość masową , wirowania , itp, jego właściwości mogą być zamocowane w ramie spoczynkowym ten obiekt. Następnie transformacje Lorentza dają odpowiednie właściwości w klatce poruszającej się względem obiektu ze stałą prędkością. To łamie niektóre pojęcia przyjmowane za oczywiste w fizyce nierelatywistycznej. Na przykład energia E obiektu jest skalarem w mechanice nierelatywistycznej, ale nie w mechanice relatywistycznej, ponieważ energia zmienia się pod wpływem transformacji Lorentza; jego wartość jest różna dla różnych ramek inercyjnych. W spoczynkowej ramie obiektu ma energię spoczynkową i zerowy pęd. W wzmocnionym ujęciu jego energia jest inna i wydaje się mieć rozmach. Podobnie w nierelatywistycznej mechanice kwantowej spin cząstki jest wektorem stałym, ale w relatywistycznej mechanice kwantowej spin s zależy od ruchu względnego. W układzie spoczynkowym cząstki pseudowektor spinowy może być ustalony tak, aby był jego zwykłym nierelatywistycznym spinem z zerową wielkością podobną do czasu s _t , jednak wzmocniony obserwator będzie postrzegał niezerową składową podobną do czasu i zmieniony spin.

Nie wszystkie wielkości są niezmienne w postaci pokazanej powyżej, na przykład orbitalny moment pędu L nie ma wielkości zbliżonej do czasu, podobnie jak pole elektryczne E ani pole magnetyczne B . Definicja momentu pędu to L = r × p , a we wzmocnionym układzie zmieniony moment pędu to L ′ = r ′ × p ′ . Stosowanie tej definicji za pomocą transformacji współrzędnych i pędu prowadzi do transformacji momentu pędu. Okazuje się, że L przekształca się z inną wielkością wektorową N = ( E / c ² ) r − t p związaną ze wzmocnieniami, patrz relatywistyczny moment pędu dla szczegółów. W przypadku pól E i B przekształceń nie można uzyskać bezpośrednio przy użyciu algebry wektorowej. Siła Lorentza jest definicją tych pól, a w F jest to F = q ( E + v × B ), podczas gdy w F ′ jest to F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′ ) . Metoda efektywnego wyprowadzenia transformacji pola EM, która również ilustruje jednostkę pola elektromagnetycznego, wykorzystuje algebrę tensorów, podaną poniżej .

Sformułowanie matematyczne

W całym tekście kursywa, nie pogrubione wielkie litery to macierze 4×4, podczas gdy nie-kursywa pogrubione litery to macierze 3×3.

Jednorodna grupa Lorentza

Zapisywanie współrzędnych w wektorach kolumnowych i metryce Minkowskiego η jako macierz kwadratowa

${\ Displaystyle X '= {\ zacząć {bmatrix} c \, t '\ \ x '\ \ y' \ \ z '\ koniec {bmatrix}} \,, \ quad \ eta = {\ zacząć {bmatrix} - 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

interwał czasoprzestrzenny przyjmuje postać (T oznacza transpozycję )

${\ Displaystyle X \ cdot X = X ^ {\ operatorname {T}} \ eta X = {X'} ^ {\ operatorname {T}} \ eta {X'}}$

i jest niezmienna w transformacji Lorentza

${\ Displaystyle X' = \ Lambda X}$

gdzie Λ jest macierzą kwadratową, która może zależeć od parametrów.

Zestaw wszystkich Transformacja Lorentza X w tym artykule jest oznaczona . Zbiór ten wraz z mnożeniem macierzy tworzy grupę , w tym kontekście znaną jako grupa Lorentza . Również powyższe wyrażenie X·X jest kwadratową formą sygnatury (3,1) w czasoprzestrzeni, a grupa przekształceń, która pozostawia niezmienną formę kwadratową, jest nieokreśloną grupą ortogonalną O(3,1), grupą Liego . Innymi słowy, grupa Lorentza to O(3,1). Jak przedstawiono w tym artykule, wszystkie wymienione grupy Liego są macierzowymi grupami Liego . W tym kontekście działanie kompozycji sprowadza się do mnożenia macierzy . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Z niezmienności przedziału czasoprzestrzennego wynika to

${\ Displaystyle \ eta = \ Lambda ^ {\ operatorname {T}} \ eta \ Lambda}$

a to równanie macierzowe zawiera ogólne warunki transformacji Lorentza, aby zapewnić niezmienność przedziału czasoprzestrzeni. Przyjęcie wyznacznika równania za pomocą reguły iloczynu daje natychmiast

${\ Displaystyle [\ det (\ Lambda)] ^ {2} = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ det (\ Lambda) = \ pm 1}$

Zapisanie metryki Minkowskiego jako macierzy blokowej oraz transformacji Lorentza w najogólniejszej postaci,

${\ Displaystyle \ eta = {\ zacząć {bmatrix} -1 i 0 \ \ 0 i \ mathbf {ja} \ koniec {bmatrix}} \, \ quad \ Lambda = {\ zacząć {bmatrix} \ Gamma &-\ mathbf {a } ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmacierz}}\,,}$

wykonując mnożenia macierzy blokowych otrzymujemy ogólne warunki na Γ, a , b , M zapewniające relatywistyczną niezmienność. Niewiele informacji można bezpośrednio wydobyć ze wszystkich warunków, jednak jeden z wyników

${\ Displaystyle \ Gamma ^ {2} = 1 + \ mathbf {b} ^ {\ operatorname {T}} \ mathbf {b}}$

jest przydatny; b ^T b ≥ 0 zawsze więc z tego wynika, że

${\ Displaystyle \ Gamma ^ {2} \ geq 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ Gamma \ leq -1 \ , \ quad \ Gamma \ geq 1}$

Ujemna nierówność może być nieoczekiwana, ponieważ Γ mnoży współrzędną czasową i ma to wpływ na symetrię czasu . Jeśli zachodzi równość dodatnia, to Γ jest współczynnikiem Lorentza.

Wyznacznik a nierówności zapewnić cztery sposobów do klasyfikowania L orentz T ransformations ( niniejszych LT s dla uproszczenia ). Każdy konkretny LT ma tylko jeden znak determinujący i tylko jedną nierówność. Istnieją cztery zestawy, które zawierają każdą możliwą parę podaną przez przecięcia (symbol w kształcie „n” oznaczający „i”) tych zestawów klasyfikujących.

Skrzyżowanie, ∩	Antychroniczne (lub nieortochroniczne) LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ downarrow} = \ {\ Lambda \,: \, \ Gamma \ leq -1 \}}$	Ortochroniczne LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow} = \ {\ Lambda \,: \, \ Gamma \ geq 1 \}}$
Właściwe LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} = \ {\ Lambda \,: \, \ det (\ Lambda) = +1 \}}$	Właściwe antychroniczne LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} _ {+} ^ {\ downarrow} = {\ mathcal {l}} _ {+} \ czapka {\ mathcal {l}} ^ {\ downarrow}}$	Prawidłowe ortochroniczne LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} _ {+} ^ {\ uparrow} = {\ mathcal {l}} _ {+} \ czapka {\ mathcal {l}} ^ {\ uparrow}}$
Niewłaściwe LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} = \ {\ Lambda \,: \, \ det (\ Lambda) = -1 \}}$	Niewłaściwe antychroniczne LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} _ {-} ^ {\ downarrow} = {\ mathcal {l}} _ {-} \ czapka {\ mathcal {l}} ^ {\ downarrow}}$	Niewłaściwe ortochroniczne LT ${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} _ {-} ^ {\ uparrow} = {\ mathcal {l}} _ {-} \ czapka {\ mathcal {l}} ^ {\ uparrow}}$

gdzie „+” i „−” oznaczają znak wyznacznika, a „↑” dla ≥ i „↓” dla ≤ oznaczają nierówności.

Pełna grupa Lorentza dzieli się na unię (symbol w kształcie litery „u” oznaczający „lub”) czterech rozłącznych zestawów

${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} = {\ mathcal {l}} _ {+} ^ {\ uparrow} \ filiżanka {\ mathcal {l}} _ {-} ^ {\ uparrow} \ filiżanka {\ mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$

Podgrupa grupy muszą być zamknięte w tej samej operacji w grupie (tutaj mnożenia macierzy). Innymi słowy, dla dwóch transformacji Lorentza Λ i L z określonego zbioru, złożone transformacje Lorentza Λ L i L Λ muszą być w tym samym zbiorze co Λ i L . Nie zawsze tak jest: złożenie dwóch antychronicznych transformacji Lorentza jest ortochroniczne, a złożenie dwóch niewłaściwych transformacji Lorentza jest właściwe. Innymi słowy, podczas gdy zbiory , , , i wszystkie tworzą podgrupy, to zbiory zawierające niewłaściwe i/lub antychroniczne przekształcenia bez wystarczających odpowiednich przekształceń ortochronicznych (np. , , ) nie tworzą podgrup. ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {L}} _ {+}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} _ {0} = {\ mathcal {l}} _ {+} ^ {\ uparrow} \ filiżanka {\ mathcal {l}} _ {-} ^ {\ downarrow}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ strzałka w dół}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ strzałka w dół}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ uparrow}}$

Właściwe przekształcenia

Jeżeli 4-wektor kowariantny Lorentza jest mierzony w jednym układzie inercjalnym z wynikiem , a ten sam pomiar wykonany w innym układzie inercjalnym (o tej samej orientacji i początku) daje wynik , to oba wyniki będą powiązane wzorem ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle X'}$

${\ Displaystyle X'= B (\ mathbf {v}) X}$

gdzie macierz wzmocnienia reprezentuje transformację Lorentza między ramkami niepodstawionymi i zagruntowanymi i jest prędkością klatki z torami, widzianymi z klatki niepodstawionej. Macierz jest dana przez ${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {v}}$

${\ Displaystyle B (\ mathbf {v} ) = {\ zacząć {bmatrix} \ gamma & - \ gamma v_ {x} / c & - \ gamma v_ {y} / c & - \ gamma v_ {z} / c \\ -\gamma v_{x}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x }v_{y}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{y }/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{y}^{2}} {v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{z}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2} }}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}},}$

gdzie jest wielkością prędkości i jest współczynnikiem Lorentza. Ten wzór reprezentuje transformację pasywną, ponieważ opisuje, w jaki sposób współrzędne mierzonej wielkości zmieniają się z ramki bez podstaw do ramki z podstawami. Aktywną transformację podaje . ${\ Displaystyle V = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}$${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-{\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$${\displaystyle B(-\mathbf {v} )}$

Jeżeli klatka F ′ jest wzmacniana z prędkością u względem klatki F , a inna klatka F ′′ jest wzmacniana z prędkością v względem F ′ , to oddzielne wzmocnienia są

${\ Displaystyle X ''= B (\ mathbf {v} ) X '\ ,, \ quad X '= B (\ mathbf {u} ) X}$

a kompozycja dwóch boostów łączy współrzędne w F ′′ i F ,

${\ Displaystyle X ''= B (\ mathbf {v} ) B (\ mathbf {u} ) X \,.}$

Kolejne przekształcenia działają po lewej stronie. Jeśli u i v są współliniowe (równoległe lub antyrównoległe wzdłuż tej samej linii ruchu względnego), macierze wzmocnienia komutują : B ( v ) B ( u )= B ( u ) B ( v ) . Kompozyt transformacji dzieje się kolejny impuls, B ( wagowo ) , w którym W jest współliniowa z U i V .

Jeśli u i v nie są współliniowe, ale w różnych kierunkach, sytuacja jest znacznie bardziej skomplikowana. Wzmocnienia Lorentza w różnych kierunkach nie komutują: B ( v ) B ( u ) i B ( u ) B ( v ) nie są równe. Również każda z tych kompozycji nie jest pojedynczym podbiciem, ale wciąż są transformacjami Lorentza, z których każda zachowuje interwał czasoprzestrzenny. Okazuje się, że złożenie dowolnych dwóch boostów Lorentza jest równoważne wzmocnieniu, po którym następuje lub poprzedza obrót na współrzędnych przestrzennych w postaci R ( ρ ) B ( w ) lub B ( w ) R ( ρ ) . W i W są złożone prędkości , a ρ i ρ są parametry rotacyjne (np osi kąt zmienne kątów Eulera , itp.); Obrót w postaci macierzy blokowej jest prosty

${\ Displaystyle \ quad R ({\ pogrubienie {\ rho}}) = {\ zacznij {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i \ mathbf {R} ({\ pogrubienie {\ rho}}) \ koniec {bmatrix}} \, ,}$

gdzie R ( ρ ) jest macierzą rotacji 3d , która obraca dowolny wektor 3d w jednym kierunku (transformacja aktywna) lub równoważnie ramkę współrzędnych w przeciwnym kierunku (transformacja pasywna). To nie proste podłączenie wag i ρ (lub w i ρ ) do oryginalnych parametrów przypominającego u i v . W kompozycji wzmocnień macierz R nazywa się rotacją Wignera i daje początek precesji Thomasa . Artykuły te podają jawne wzory na złożone macierze transformacji, w tym wyrażenia na w , ρ , w , ρ .

W tym artykule reprezentacja kąta osi jest używana dla ρ . Obrót odbywa się wokół osi w kierunku wektora jednostkowego e o kąt θ (dodatni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ujemny zgodnie z ruchem wskazówek zegara, zgodnie z regułą prawej ręki ). „Wektor kąta osi”

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta}}=\theta \mathbf {e}}$

posłuży jako przydatny skrót.

Same rotacje przestrzenne są również transformacjami Lorentza, pozostawiając niezmienniki przedziału czasoprzestrzennego. Podobnie jak doładowania, kolejne obroty wokół różnych osi nie dojeżdżają. W przeciwieństwie do wzmocnień, kompozycja dowolnych dwóch obrotów jest równoważna jednemu obrotowi. Niektóre inne podobieństwa i różnice między macierzami wzmocnienia i rotacji obejmują:

• odwrotności : B ( v ) ⁻¹ = B (− v ) (ruch względny w przeciwnym kierunku) i R ( θ ) ⁻¹ = R (− θ ) (obrót w przeciwnym kierunku wokół tej samej osi)
• transformacja tożsamości dla braku ruchu/obrotu względnego: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• wyznacznik jednostki : det( B ) = det( R ) = +1 . Ta właściwość czyni je odpowiednimi przekształceniami.
• symetria macierzowa : B jest symetryczna (oznacza transpozycja ), podczas gdy R jest niesymetryczna, ale ortogonalna (transpozycja równa się odwrotność , R ^T = R ⁻¹ ).

Najbardziej ogólna właściwa transformacja Lorentza Λ( v , θ ) zawiera razem wzmocnienie i rotację i jest macierzą niesymetryczną. W szczególnych przypadkach ( 0 , θ ) = R ( θ ) i Λ ( v , 0 ) = B ( v ) . Wyraźna forma ogólnej transformacji Lorentza jest kłopotliwa do zapisania i nie zostanie tutaj podana. Niemniej jednak, wyrażenia w formie zamkniętej dla macierzy transformacji zostaną podane poniżej przy użyciu grupowych argumentów teoretycznych. Łatwiej będzie użyć parametryzacji szybkości dla wzmocnień, w którym to przypadku pisze się Λ( ζ , θ ) i B ( ζ ) .

Grupa kłamstw SO ⁺ (3,1)

Zbiór przekształceń

${\ Displaystyle \ {B ({\ boldsymbol {\ zeta}}), R ({\ boldsymbol {\ theta}}), \ Lambda ({\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ boldsymbol {\ theta}}) \}}$

z mnożeniem macierzy jako działaniem składu tworzy grupę, zwaną „ograniczoną grupą Lorentza” i jest specjalną nieokreśloną grupą ortogonalną SO ⁺ (3,1). (Znak plus wskazuje, że zachowuje orientację wymiaru czasowego).

Dla uproszczenia spójrz na nieskończenie małe wzmocnienie Lorentza w kierunku x (badanie wzmocnienia w dowolnym innym kierunku lub obrotu wokół dowolnej osi odbywa się według identycznej procedury). Nieskończenie małe wzmocnienie jest małym wzmocnieniem od identyczności, uzyskanym przez rozwinięcie Taylora macierzy wzmocnień do pierwszego rzędu około ζ = 0 ,

${\ Displaystyle B_ {x} = ja + \ zeta \ lewo. {\ Frac {\ częściowy B_ {x}} {\ częściowy \ zeta}} \ prawo | _ {\ zeta = 0} + \ cdots}$

gdzie nie pokazane wyrazy wyższego rzędu są pomijalne, ponieważ ζ jest małe, a B _x jest po prostu macierzą podwyższeń w kierunku x . Pochodną macierzy jest macierz pochodnych (z pozycji, w odniesieniu do tej samej wielkości), i należy rozumieć, że pochodne znaleziono pierwszy następnie oceniane w ç = 0 ,

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {\ częściowy B_ {x}} {\ częściowy \ zeta}} \ prawo | _ {\ zeta = 0} = - K_ {x} \}.$

Na razie K _x jest zdefiniowany przez ten wynik (jego znaczenie zostanie wkrótce wyjaśnione). W granicach nieskończonej liczby nieskończenie małych kroków uzyskuje się transformację skończonego wzmocnienia w postaci wykładniczej macierzy

${\ Displaystyle B_ {x} = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ lewo (ja {\ Frac {\ zeta} {N}} K_ {x} \ prawej) ^ {N} = e ^ {- \zeta K_{x}}}$

gdzie zastosowano definicję granicy wykładniczej (patrz także charakterystyka funkcji wykładniczej ). Bardziej ogólnie

${\ Displaystyle B ({\ boldsymbol {\ zeta}}) = e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} } \, \ quad R ({\ boldsymbol {\ theta}} )=e^{{\boldsymbol {\theta}}\cdot \mathbf {J} }\,.}$

Wektor kąta osi θ i wektor szybkości ζ to łącznie sześć zmiennych ciągłych, które tworzą parametry grupy (w tej konkretnej reprezentacji), a generatorami grupy są K = ( K _x , _Ky , K _z ) i J = ( J _x , J _y , J _z ) , każdy wektor macierzy z formami jawnymi

${\ Displaystyle K_ {x} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 1 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ \ \ koniec {bmatrix}} \, \ quad K_ {y} = {\ zacznij {bmatrix} 0 i 0 i 1 i 0 \ \0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$

${\ Displaystyle J_ {x} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ \ koniec {bmatrix}} \, \ quad J_ {y} = {\ zacząć {bmatrix} 0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&1&0&0&0\\&0&0&0&0 }}}$

Wszystkie one są zdefiniowane w sposób analogiczny do K _x powyżej, chociaż znaki minus w generatorach przypominającego są konwencjonalne. Fizycznie, generatory grupy Lorentza odpowiadają ważnym symetriom w czasoprzestrzeni: J to generatory rotacji, które odpowiadają momentowi pędu , a K to generatory doładowania, które odpowiadają ruchowi układu w czasoprzestrzeni. Pochodna dowolnej krzywej gładkiej C ( t ) z C (0) = I w grupie w zależności od pewnego parametru grupy t w odniesieniu do tego parametru grupy, oszacowanego w t = 0 , służy jako definicja odpowiedniego generatora grupy G , a to odzwierciedla nieskończenie małą transformację z dala od tożsamości. Gładką krzywą można zawsze przyjąć jako wykładniczą, ponieważ wykładnicza zawsze będzie gładko mapować G z powrotem do grupy poprzez t → exp( tG ) dla wszystkich t ; ta krzywa da ponownie G, gdy zostanie zróżnicowana przy t = 0 .

Rozszerzenie wykładników w ich szeregu Taylora uzyskuje

${\ Displaystyle B ({\ boldsymbol {\ zeta}}) = ja - \ sinh \ zeta (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) + (\ cosh \ zeta -1) (\ mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}}$

${\ Displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}}) = ja + \ sin \ theta (\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {J} ) + (1-\ cos \ theta ) (\ mathbf {e} \ cdot \mathbf {J} )^{2}\,.}$

które zwięźle odtwarzają macierze doładowania i rotacji, jak podano w poprzedniej sekcji.

Stwierdzono, że ogólna właściwa transformacja Lorentza jest produktem doładowania i rotacji. Na nieskończenie małym poziomie produkt

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Lambda & = (ja {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + \ cdots) (ja + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf { J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} + \cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{wyrównany}}}$

jest przemienne, ponieważ wymagane są tylko terminy liniowe (iloczyny takie jak ( θ · J )( ζ · K ) i ( ζ · K )( θ · J ) liczą się jako terminy wyższego rzędu i są pomijalne). Przyjęcie granicy jak poprzednio prowadzi do skończonej transformacji w postaci wykładniczej

${\ Displaystyle \ Lambda ({\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ boldsymbol {\ theta}}) = e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta }}\cdot \mathbf {J} }.}$

Odwrotność jest również prawdziwa, ale rozkład skończonej ogólnej transformacji Lorentza na takie czynniki nie jest trywialny. W szczególności,

${\ Displaystyle e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} \ neq e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },}$

bo generatory nie dojeżdżają. Aby uzyskać opis, jak znaleźć czynniki ogólnej transformacji Lorentza w kategoriach wzmocnienia i rotacji w zasadzie (co zwykle nie daje zrozumiałego wyrażenia w kategoriach generatorów J i K ), zobacz obrót Wignera . Jeśli natomiast rozkład jest dany w kategoriach generatorów i chcemy znaleźć iloczyn w kategoriach generatorów, to stosuje się wzór Bakera–Campbella–Hausdorffa .

Algebra Liego tak(3,1)

Generatory Lorentza można dodawać do siebie lub mnożyć przez liczby rzeczywiste, aby uzyskać więcej generatorów Lorentza. Innymi słowy, zestaw wszystkich generatorów Lorentza

${\ Displaystyle V = \ {{\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J} \}}$

wraz z operacjami zwykłego dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę , tworzy przestrzeń wektorową nad liczbami rzeczywistymi. Generatory J _{x Najpierw} , J _y , J _oo K _x K _R K _oo tworzą podstawę zestaw V , a składniki wektorów osi kąta i szybkość, θ _x , θ _Y , θ _oo , ζ _x , ζ _y , ζ _z , są współrzędnymi generatora Lorentza względem tej bazy.

Trzy relacje komutacyjne generatorów Lorentza to

${\ Displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = J_ {z} \,, \ quad [K_ {x}, K_ {y}] = - J_ {z} \, \ quad [J_ {x },K_{y}]=K_{z}\,,}$

gdzie nawias [ A , B ] = AB - BA jest znany jako komutator , a inne relacje można znaleźć, biorąc cykliczne permutacje składowych x, y, z (tzn. zamień x na y, y na z i z na x, powtórz).

Te relacje komutacyjne oraz przestrzeń wektorowa generatorów spełniają definicję algebry Liego . Podsumowując, algebra Liego jest zdefiniowana jako przestrzeń wektorowa V nad ciałem liczb oraz z operacją binarną [ , ] (zwaną w tym kontekście nawiasem Liego ) na elementach przestrzeni wektorowej, spełniającą aksjomaty dwuliniowości , alternatyzacja i tożsamość Jacobiego . Tutaj operacja [ , ] jest komutatorem spełniającym wszystkie te aksjomaty, przestrzeń wektorowa jest zbiorem generatorów Lorentza V jak podano poprzednio, a pole jest zbiorem liczb rzeczywistych. ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3,1)}$

Łączenie terminologii stosowanej w matematyce i fizyce: Generatorem grup jest dowolny element algebry Liego. Parametr grupy jest składnikiem wektora współrzędnych reprezentującego dowolny element algebry Liego w odniesieniu do pewnej bazy. Bazą jest więc zbiór generatorów będących podstawą algebry Liego w zwykłym sensie przestrzeni wektorowej.

Mapa wykładnicza z algebry Lie Lie do grupy,

${\displaystyle \mathrm {exp} \,:\,{\mathfrak {tak}}(3,1)\rightarrow \mathrm {tak} (3,1),}$

zapewnia korespondencję jeden do jednego między wystarczająco małymi sąsiedztwami pochodzenia algebry Liego a sąsiedztwami elementu tożsamości grupy Liego. W przypadku grupy Lorentza, mapa wykładnicza jest tylko wykładniczą macierzą . Globalnie mapa wykładnicza nie jest jeden do jednego, ale w przypadku grupy Lorentza jest surjektywna (onto). Stąd każdy element grupy w spójnym składniku tożsamości może być wyrażony jako wykładniczy elementu algebry Liego.

Niewłaściwe przekształcenia

Transformacje Lorentza obejmują również odwrócenie parzystości

${\ Displaystyle P = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i - \ mathbf {ja} \ koniec {bmatrix}}}$

który neguje tylko wszystkie współrzędne przestrzenne i odwrócenie czasu

${\ Displaystyle T = {\ zacząć {bmatrix} -1 i 0 \ \ 0 i \ mathbf {ja} \ koniec {bmatrix}}}$

co neguje tylko współrzędną czasową, ponieważ te przekształcenia pozostawiają niezmienny przedział czasoprzestrzenny. Oto ja to 3d macierzą jednostkową . Oba są symetryczne, są swoimi własnymi odwrotnościami (patrz inwolucja (matematyka) ) i każdy ma wyznacznik -1. Ta ostatnia właściwość czyni je niewłaściwymi przekształceniami.

Jeżeli Λ jest prawidłową ortochroniczną transformacją Lorentza, to T Λ jest niewłaściwie antychroniczna, P Λ jest niewłaściwa ortochroniczna, a TP Λ = PT Λ jest właściwa antychroniczna.

Niejednorodna grupa Lorentza

Dwie inne symetrie czasoprzestrzeni nie zostały uwzględnione. Aby przedział czasoprzestrzenny był niezmienny, można wykazać, że konieczne i wystarczające jest, aby transformacja współrzędnych miała postać

${\ Displaystyle X' = \ Lambda X + C}$

gdzie C jest stałą kolumną zawierającą tłumaczenia w czasie i przestrzeni. Jeśli C ≠ 0, jest to niejednorodna transformacja Lorentza lub transformacja Poincarégo . Jeśli C = 0, jest to jednorodna transformacja Lorentza . Transformacje Poincaré nie są dalej omawiane w tym artykule.

Formuła tensorowa

Wektory kontrawariantne

Zapisanie ogólnej transformacji macierzowej współrzędnych jako równania macierzowego

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} {x'} ^ {0}\ \ {x'} ^ {1} \ \ {x} ^ {2} \ \ {x} ^ {3} \ koniec { bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{ \Lambda ^{0}}_{3}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2 }&{\Lambda ^{1}}_{3}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}} _{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{ 3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^ {2}\\x^{3}\koniec{bmatrycy}}}$

umożliwia przekształcenie innych wielkości fizycznych, których nie można wyrazić jako czterowektorów; np. tensory lub spinory dowolnego rzędu w czasoprzestrzeni 4D, które należy zdefiniować. W odpowiednim zapisie indeksu tensora powyższe wyrażenie macierzowe to

${\ Displaystyle {x ^ {\ prime}} ^ {\ nu} = {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ mu} x ^ {\ mu},}$

gdzie dolne i górne indeksy oznaczają odpowiednio składowe kowariantne i kontrawariantne , oraz stosuje się konwencję sumowania . Standardową konwencją jest używanie greckich indeksów, które przyjmują wartości 0 dla składowych czasu i 1, 2, 3 dla składowych przestrzennych, podczas gdy indeksy łacińskie przyjmują po prostu wartości 1, 2, 3 dla składowych przestrzennych. Zauważ, że pierwszy indeks (czytany od lewej do prawej) odpowiada w notacji macierzowej indeksowi wiersza . Drugi indeks odpowiada indeksowi kolumny.

Macierz transformacji jest uniwersalna dla wszystkich czterech wektorów , a nie tylko 4-wymiarowych współrzędnych czasoprzestrzeni. Jeśli A jest dowolnym czterowektorem, to w notacji indeksu tensora

${\ Displaystyle {A ^ {\ prime}} ^ {\ nu} = {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ mu} A ^ {\ mu} \,.}$

Ewentualnie piszemy

${\ Displaystyle A ^ {\ nu '} = {\ Lambda ^ {\ nu '}} _ {\ mu} A ^ {\ mu} \,.}$

w którym indeksy z podstawami oznaczają indeksy A w ramce z podstawami. Ten zapis zmniejsza ryzyko wyczerpania alfabetu greckiego mniej więcej o połowę.

Dla ogólnego obiektu n- komponentowego można napisać

${\ Displaystyle {X'} ^ {\ alfa} = {\ Pi (\ Lambda) ^ {\ alfa}} _ {\ beta} X ^ {\ beta} \ ,,}$

gdzie Π jest odpowiednią reprezentacją grupy Lorentza , macierz n × n dla każdego Λ . W tym przypadku indeksy nie powinny być traktowane jako indeksy czasoprzestrzenne (czasami nazywane indeksami Lorentza) i biegną od 1 do n . Np. jeśli X jest bispinorem , to indeksy nazywane są indeksami Diraca .

Wektory kowariantne

Istnieją również wielkości wektorowe z indeksami kowariantnymi. Na ogół uzyskuje się je z odpowiadających im obiektów o indeksach kontrawariantnych przez operację obniżenia indeksu ; np,

${\ Displaystyle x_ {\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu},}$

gdzie η jest tensorem metrycznym . (Powiązany artykuł zawiera również więcej informacji o tym, czym tak naprawdę jest matematycznie operacja podnoszenia i obniżania indeksów.) Odwrotność tej transformacji jest podana przez

${\ Displaystyle x ^ {\ mu} = \ eta ^ {\ mu \ nu} x_ {\ nu},}$

gdzie, patrząc jako macierze, η ^μν jest odwrotnością η _μν . Tak się składa, że η ^μν = η _μν . Nazywa się to podnoszeniem indeksu . Aby przekształcić wektor kowariantny A _μ , najpierw zwiększ jego indeks, następnie przekształć go według tej samej zasady, co dla wektorów kontrawariantnych 4 , a następnie obniż indeks;

${\ Displaystyle {A'} _ {\ nu} = \ eta _ {\ rho \ nu} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {\ sigma} \ eta ^ {\ mu \ sigma} A_ {\ mu} .}$

Ale

${\ Displaystyle \ eta _ {\ rho \ nu} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {\ sigma} \ eta ^ {\ mu \ sigma} = {\ po lewej (\ Lambda ^ {-1} \ po prawej) ^{\mu }}_{\nu },}$

Czyli jest to ( μ , ν ) -składnik odwrotnej transformacji Lorentza. Definiuje się (w sensie notacji),

${\ Displaystyle {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} \ równoważnik {\ lewo (\ Lambda ^ {-1} \ po prawej) ^ {\ mu}} _ {\ nu},}$

i może w tym zapisie napisać

${\ Displaystyle {A'} _ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} A_ {\ mu}.}$

Teraz subtelność. Domniemana suma po prawej stronie

${\ Displaystyle {A'} _ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} A_ {\ mu} = {\ lewo (\ Lambda ^ {-1} \ prawej) ^ {\ mu }}_{\nu }A_{\mu }}$

przebiega po indeksie wiersza macierzy reprezentującej Λ ⁻¹ . Tak więc, jeśli chodzi o matryce, transformacja ta powinna być traktowana jako odwrotność transpozycji z X działając na wektor kolumnowy A _ľ . Oznacza to, że w czystej notacji macierzowej

${\ Displaystyle A' = \ lewo (\ Lambda ^ {-1} \ prawej) ^ {\ operator {T}} A.}$

Oznacza to dokładnie, że wektory kowariantne (myślane jako macierze kolumnowe) przekształcają się zgodnie z podwójną reprezentacją standardowej reprezentacji grupy Lorentza. To pojęcie uogólnia do ogólnych wyobrażeń, wystarczy zastąpić X z Õ (X) .

Tensory

Jeśli i B są operatorzy liniowe przestrzeniami wektor U i V , a następnie operator liniowy ⊗ B może być określona na produkt napinającej z U i V , oznaczone U ⊗ V według

Z tego od razu widać, że jeśli u i v są czterema wektorami w V , wtedy u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ V przekształca się jako

Drugi krok wykorzystuje dwuliniowość iloczynu tensorowego, a ostatni krok definiuje 2-tensor na formie składowej, a raczej zmienia nazwę tensora u ⊗ v .

Obserwacje te w oczywisty sposób uogólniają na więcej czynników, a korzystając z faktu, że tensor ogólny na przestrzeni wektorowej V można zapisać jako sumę współczynnika (komponentu!) razy iloczynów tensorowych wektorów bazowych i kowektorów bazowych, otrzymujemy prawo transformacji dla dowolnej wielkości tensorowej T . Jest to podane przez

gdzie Λ _χ′ ^ψ jest zdefiniowane powyżej. Ta postać może być ogólnie sprowadzona do postaci dla ogólnych obiektów n- składnikowych podanych powyżej z pojedynczą macierzą ( Π(Λ) ) operującą na wektorach kolumnowych. Ta ostatnia forma jest czasami preferowana; np. dla tensora pola elektromagnetycznego.

Transformacja pola elektromagnetycznego

Przekształcenia Lorentza można również wykorzystać do zilustrowania, że pole magnetyczne B i pole elektryczne E są po prostu różnymi aspektami tej samej siły — siły elektromagnetycznej , będącej konsekwencją względnego ruchu między ładunkami elektrycznymi a obserwatorami. Fakt, że pole elektromagnetyczne wykazuje efekty relatywistyczne, staje się jasny po przeprowadzeniu prostego eksperymentu myślowego.

• Obserwator mierzy ładunek w spoczynku w ramce F. Obserwator wykryje statyczne pole elektryczne. Ponieważ ładunek jest nieruchomy w tej ramce, nie ma prądu elektrycznego, więc obserwator nie obserwuje żadnego pola magnetycznego.
• Drugi obserwator w klatce F′ porusza się z prędkością v względem F i ładunku. Ten obserwator widzi inne pole elektryczne, ponieważ ładunek porusza się z prędkością − v w ich układzie spoczynkowym. Ruch ładunku odpowiada prądowi elektrycznemu , a zatem obserwator w kadrze F′ również widzi pole magnetyczne.

Pola elektryczne i magnetyczne zmieniają się inaczej niż czas i przestrzeń, ale dokładnie w taki sam sposób, jak relatywistyczny moment pędu i wektor doładowania.

Tensor natężenia pola elektromagnetycznego wyraża się wzorem

${\ Displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i - {\ Frac {1} {c}} E_ {x} i - {\ Frac {1} {c}} E_ {y} &-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1} {c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix} }{\text{(jednostki SI, podpis }}(+,-,-,-){\text{)}}.}$

w jednostkach SI . W teorii względności system Gaussa jest często preferowany nad jednostkami SI, nawet w tekstach, w których głównym wyborem jednostek są jednostki SI, ponieważ w nim pole elektryczne E i indukcja magnetyczna B mają te same jednostki, co powoduje pojawienie się pola elektromagnetycznego tensor bardziej naturalny. Rozważ wzmocnienie Lorentza w kierunku x . Jest to podane przez

${\ Displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = {\ zacząć {bmatrix} \ gamma & - \ gamma \ beta 0 i 0 \ \ - \ gamma \ beta i \ gamma 0 i 0 \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}& -B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{ (jednostki Gaussa, sygnatura }}(-,+,+,+){\text{)}},}$

gdzie tensor pola jest wyświetlany obok siebie dla najłatwiejszego możliwego odniesienia w poniższych manipulacjach.

Ogólne prawo transformacji (T3) staje się

${\ Displaystyle F ^ {\ mu '\ nu '} = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu '}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nie }.}$

Dla pola magnetycznego otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} B_ {x'} i = F ^ {2'3'} = {\ Lambda ^ {2}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {3}} _ {\ nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{x} \\&=B_{x},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{ \nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{ 3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F ^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\gamma B_{y}+\beta \gamma E_{z }\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{ 1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_ {\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^ {02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_ {y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_{z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol { \beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{aligned}}}$

Dla wyników pola elektrycznego

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E_ {x'} i = F ^ {0'1'} = {\ Lambda ^ {0}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {1}} _ {\ nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{ 0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{x})+\gamma \gamma E_ {x}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{x})+\gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\beta ^{2})\ gamma ^{2}\\&=E_{x},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{ 2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}= {\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{0}{2}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}} _{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{y}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{z}=\gamma E_{y}-\ beta \gamma B_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z' }&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}} _{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (- B_{y})=\gamma E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B } \right)_{z}.\end{aligned}}}$

Tutaj stosuje się β = ( β , 0, 0) . Wyniki te można podsumować za pomocą

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {e} _ {\ równoległy '} i = \ mathbf {e} _ {\ równoległy} \ \ \ mathbf {B} _ {\ równoległy '} & = \ mathbf { B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\ mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right )=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}}$

i są niezależne od podpisu metryki. Dla jednostek SI zastąp E → E ⁄ c . Misner, Thorne i Wheeler (1973) odnoszą się do tej ostatniej formy jako do widoku 3+1, w przeciwieństwie do widoku geometrycznego reprezentowanego przez wyrażenie tensorowe

${\ Displaystyle F ^ {\ mu '\ nu '} = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu '}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nie },}$

i podkreślić łatwość, z jaką można uzyskać i zrozumieć wyniki trudne do osiągnięcia za pomocą widoku 3+1 . Tylko obiekty, które mają dobrze zdefiniowane właściwości transformacji Lorentza (w rzeczywistości pod każdą gładką transformacją współrzędnych) są obiektami geometrycznymi. W ujęciu geometrycznym pole elektromagnetyczne jest sześciowymiarowym obiektem geometrycznym w czasoprzestrzeni, w przeciwieństwie do dwóch współzależnych, ale oddzielnych, 3-wektorowych pól w przestrzeni i czasie . Pola E (sam) i B (sam) nie mają dobrze zdefiniowanych właściwości transformacji Lorentza. Podstawą matematyczną są równania (T1) i (T2), które natychmiast dają (T3) . Należy zauważyć, że tensory pierwotne i niepierwotne odnoszą się do tego samego zdarzenia w czasoprzestrzeni . Zatem pełne równanie z zależnością czasoprzestrzenną to

${\ Displaystyle F ^ {\ mu '\ nu '} \ lewo (x' \ prawy) = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu '}} _ {\ nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '} }_{\nu }F^{\mu \nu }(x).}$

Skrócenie długości ma wpływ na gęstość ładunku ρ i gęstość prądu J , a dylatacja czasu ma wpływ na szybkość przepływu ładunku (prądu), więc rozkłady ładunku i prądu muszą przekształcić się w podobny sposób pod wpływem doładowania. Okazuje się, że przekształcają się dokładnie tak, jak czterowektory czasoprzestrzeni i pędu energii,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {j} „& = \ mathbf {j} - \ gamma \ rho v \ mathbf {n} + \ po lewej (\ gamma -1 \ po prawej) (\ mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{ 2}}}\prawo),\end{wyrównany}}}$

lub, w prostszym ujęciu geometrycznym,

${\ Displaystyle j ^ {\ mu ^ {\ prime}} = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} j ^ {\ mu}.}$

Jeden mówi, że gęstość ładunku zmienia się jako składnik czasu czterowektora. Jest to skalar rotacyjny. Gęstość prądu jest 3-wektorem.

Te równania Maxwella są niezmienne pod przemian Lorentza.

Spinory

Równanie (T1) jest niezmienione dla jakiejkolwiek reprezentacji grupy Lorentza, w tym reprezentacji bispinor . W (T2) po prostu zastępuje się wszystkie wystąpienia Λ reprezentacją bispinorową Π(Λ) ,

Powyższe równanie mogłoby być na przykład przekształceniem stanu w przestrzeni Focka opisującym dwa wolne elektrony.

Transformacja pól ogólnych

Ogólny nieoddziałujący stan wielocząstkowy (stan przestrzeni Focka) w kwantowej teorii pola przekształca się zgodnie z regułą

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i U (\ Lambda, a) \ psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \cdots }\\={}&e^{-ia_{\mu }\left[(\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots \right]}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2 }^{0}\cdots }}}\left(\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}} ^{(j_{1})}\left[W(\Lambda ,p_{1})\right]D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})} \left[W(\Lambda ,p_{2})\right]\cdots \right)\Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\ sigma _{2}'n_{2};\cdots },\end{wyrównany}}}$

( 1 )

gdzie W (Λ, p ) jest rotacją Wignera, a D ^{( j )} jest (2 j + 1) -wymiarową reprezentacją SO(3) .

Zobacz też

Przypisy

Uwagi

Bibliografia

Strony internetowe

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1996), Historia szczególnej teorii względności
• Brown, Harvey R. (2003), Michelson, FitzGerald i Lorentz: Początki względności Revisited

Dokumenty tożsamości

Książki

Dalsza lektura

• Ernst, A.; Hsu, J.-P. (2001), „Pierwsza propozycja uniwersalnej prędkości światła autorstwa Voigta 1887” (PDF) , Chinese Journal of Physics , 39 (3): 211-230, Bibcode : 2001ChJPh..39..211E , zarchiwizowane z oryginału ( PDF) dnia 2011-07-16
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004), dynamika klasyczna cząstek i systemów (5th ed.), Belmont, [CA.]: Brooks / Cole, pp 546-579, ISBN 978-0-534-40896-1
• Voigt, Woldemar (1887), „Über das Doppler'sche princip”, Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Getynga , 2 : 41-51

Zewnętrzne linki

• Wyprowadzenie przekształceń Lorentza . Ta strona internetowa zawiera bardziej szczegółowe wyprowadzenie transformacji Lorentza ze szczególnym uwzględnieniem właściwości grup.
• Paradoks szczególnej teorii względności . Na tej stronie pojawił się problem, którego rozwiązaniem jest transformacja Lorentza, którą przedstawia graficznie na kolejnej stronie.
• Względność – rozdział z podręcznika online
• Specjalny Symulator Względności Warp . Program komputerowy demonstrujący transformacje Lorentza na przedmiotach codziennego użytku.
• Klip animacyjny na YouTube przedstawiający transformację Lorentza.
• Film MinutePhysics na YouTube wyjaśniający i wizualizujący transformację Lorentza za pomocą mechanicznego diagramu Minkowskiego
• Interaktywny wykres na Desmosie (grafing) przedstawiający przekształcenia Lorentza z wirtualnym diagramem Minkowskiego
• Interaktywny wykres na Desmos pokazujący transformacje Lorentza z punktami i hiperbolami
• Ramki Lorentza Animowane od Johna de Pillisa. Animacje Flash online z klatkami Galileusza i Lorentza, różne paradoksy, zjawiska fal EM itp .