Przestrzeń trójwymiarowa - Three-dimensional space

Reprezentacja trójwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych z osią x skierowaną w stronę obserwatora.

Trójwymiarową przestrzeń (również przestrzeni 3D , 3 przestrzeni lub, rzadziej, trój-wymiarowej ) jest ustawienie geometryczny, w którym trzy wartości (zwane parametry ) są wymagane w celu ustalenia położenia elementu (to znaczy, punktu ). Takie jest nieformalne znaczenie terminu wymiar .

W matematyce , A sekwencja o n liczb można rozumieć jako położenie w n -wymiarowej przestrzeni. Gdy n = 3 , zbiór wszystkich takich lokalizacji nazywamytrójwymiarowa przestrzeń euklidesowa (lub po prostu przestrzeń euklidesowa, gdy kontekst jest jasny). Jest powszechnie reprezentowany przez symbol 3 . Służy to jako trójparametrowy model fizycznego wszechświata (czyli części przestrzennej, bez uwzględnienia czasu), w którym istnieje cała znana materia . Chociaż ta przestrzeń pozostaje najbardziej przekonującym i użytecznym sposobem modelowania świata tak, jak jest on doświadczany, jest to tylko jeden przykład dużej różnorodności przestrzeni w trzech wymiarach zwanych 3-rozmaitościami . W tym klasycznym przykładzie, gdy te trzy wartości odnoszą się do pomiarów w różnych kierunkach ( współrzędne ), można wybrać dowolne trzy kierunki, pod warunkiem, że nie wszystkie wektory w tych kierunkach leżą w tej samej 2-przestrzeni ( płaszczyźnie ). Ponadto w tym przypadku te trzy wartości mogą być oznaczone dowolną kombinacją trzech wybranych spośród terminów width , height , depth , i length .

W geometrii euklidesowej

Układy współrzędnych

W matematyce geometria analityczna (zwana również geometrią kartezjańską) opisuje każdy punkt w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą trzech współrzędnych. Podane są trzy osie współrzędnych , każda prostopadła do dwóch pozostałych w punkcie początkowym , w punkcie, w którym się przecinają. Są one zwykle oznaczone jako x , y i z . W stosunku do tych osi, pozycja dowolnego punktu w przestrzeni trójwymiarowej jest określona przez uporządkowaną trójkę liczb rzeczywistych , przy czym każda liczba podaje odległość tego punktu od początku mierzoną wzdłuż danej osi, która jest równa odległości tego punktu punkt od płaszczyzny wyznaczonej przez pozostałe dwie osie.

Inne popularne metody opisu położenia punktu w przestrzeni trójwymiarowej to współrzędne cylindryczne i współrzędne sferyczne , chociaż istnieje nieskończona liczba możliwych metod. Aby uzyskać więcej, zobacz Przestrzeń euklidesowa .

Poniżej znajdują się zdjęcia w/w systemów.

Linie i samoloty

Linię (prostą) wyznaczają zawsze dwa różne punkty . Trzy różne punkty są albo współliniowe, albo wyznaczają unikalną płaszczyznę. Z drugiej strony cztery różne punkty mogą być współliniowe, współpłaszczyznowe lub określać całą przestrzeń.

Dwie różne linie mogą się przecinać, być równoległe lub ukośne . Dwie równoległe linie lub dwie przecinające się linie leżą na jednej płaszczyźnie, więc ukośne linie to linie, które się nie spotykają i nie leżą na wspólnej płaszczyźnie.

Dwie różne płaszczyzny mogą się spotykać we wspólnej linii lub są równoległe (tj. nie spotykają się). Trzy odrębne płaszczyzny, z których żadna para nie jest równoległa, mogą albo spotykać się na wspólnej linii, spotykać się w unikalnym wspólnym punkcie, albo nie mieć żadnego wspólnego punktu. W ostatnim przypadku trzy linie przecięcia każdej pary płaszczyzn są wzajemnie równoległe.

Linia może leżeć w danej płaszczyźnie, przecinać tę płaszczyznę w unikalnym punkcie lub być równoległa do płaszczyzny. W tym ostatnim przypadku w płaszczyźnie będą znajdować się linie równoległe do danej linii.

Hiperpłaszczyzna jest podprzestrzenią jednym wymiarze mniejszym niż wymiar pełnej przestrzeni. Hiperpłaszczyznami przestrzeni trójwymiarowej są podprzestrzenie dwuwymiarowe, czyli płaszczyzny. Jeśli chodzi o współrzędne kartezjańskie, punkty hiperpłaszczyzny spełniają pojedyncze równanie liniowe , więc płaszczyzny w tej przestrzeni 3 są opisane równaniami liniowymi. Linię można opisać parą niezależnych równań liniowych — każde reprezentuje płaszczyznę, której ta linia jest wspólnym przecięciem.

Twierdzenie Varignona mówi, że punkty środkowe dowolnego czworokąta w 3 tworzą równoległobok , a zatem są współpłaszczyznowe.

Kule i kule

Rzut perspektywiczny kuli na dwa wymiary

Kuli w przestrzeni 3-wymiarowej (nazywany również dwie sfery , ponieważ jest to 2-wymiarową obiektu) stanowi zbiór wszystkich punktów w przestrzeni 3-wymiarowej w stałej odległości R od punktu centralnego P . Bryła zamknięta kulą nazywana jest kulą (a dokładniej 3-kulą ). Objętość piłki wyraża się wzorem

.

Inny rodzaj kuli powstaje z 4-kuli, której trójwymiarową powierzchnią jest 3-kula : punkty równoodległe od początku przestrzeni euklidesowej 4 . Jeśli punkt ma współrzędne P ( x , y , z , w ) , to x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 charakteryzuje te punkty na jednostce 3-kulowej wyśrodkowanej na początku.

Politopy

W trzech wymiarach istnieje dziewięć regularnych wielościanów: pięć wypukłych brył platońskich i cztery niewypukłe wielościany Keplera-Poinsota .

Regularne polytopy w trzech wymiarach
Klasa Bryły platońskie Wielościany Keplera-Poinsota
Symetria T d O H I h
Grupa Coxetera 3 , [33] B 3 , [4,3] H 3 , [5,3]
Zamówienie 24 48 120

Wielościan regularny
Czworościan.svg
{3,3}
Sześcian.svg
{4,3}
Oktaedron.svg
{3,4}
Dwunastościan.svg
{5,3}
Dwudziestościan.svg
{3,5}
MałyStellated Dwunastościan.jpg
{5/2,5}
Wielki Dwunastościan.jpg
{5,5/2}
WielkiStellated Dwunastościan.jpg
{5/2,3}
WielkiIcosahedron.jpg
{3,5/2}

Powierzchnie rewolucji

Powierzchni generowany przez obracające się płaską krzywą o stacjonarnego w swojej płaszczyźnie, względem osi nazywa się powierzchnię obrotową . Krzywa płaska nazywana jest tworzącą powierzchni. Odcinek powierzchni utworzony przez przecięcie powierzchni płaszczyzną prostopadłą (prostopadłą) do osi jest kołem.

Proste przykłady występują, gdy tworząca jest linią. Jeżeli linia tworząca przecina linię osi, to powierzchnia obrotu jest okrągłym stożkiem prawym z wierzchołkiem (wierzchołkiem) w punkcie przecięcia. Jeśli jednak tworząca i oś są równoległe, to powierzchnia obrotowa jest kołowym cylindrem .

Powierzchnie kwadratowe

Analogicznie do odcinków stożkowych zbiór punktów, których współrzędne kartezjańskie spełniają ogólne równanie drugiego stopnia, a mianowicie:

gdzie A , B , C , F , G , H , J , K , L i M są liczbami rzeczywistymi i nie wszystkie z A , B , C , F , G i H wynoszą zero, nazywamy powierzchnią kwadratową .

Istnieje sześć typów niezdegenerowanych powierzchni kwadratowych:

  1. Elipsoida
  2. Hiperboloid jednego arkusza
  3. Hiperboloida dwóch arkuszy
  4. Stożek eliptyczny
  5. Paraboloida eliptyczna
  6. Paraboloida hiperboliczna

Zdegenerowane powierzchnie kwadratowe to zbiór pusty, pojedynczy punkt, pojedyncza linia, pojedyncza płaszczyzna, para płaszczyzn lub kwadratowy walec (powierzchnia składająca się z niezdegenerowanego przekroju stożkowego w płaszczyźnie π i wszystkich prostych ℝ 3 przez tę stożkową, która jest normalna do π ). Stożki eliptyczne są czasami uważane również za zdegenerowane powierzchnie kwadratowe.

Zarówno hiperboloida jednego arkusza, jak i paraboloida hiperboliczna są powierzchniami rządkowymi , co oznacza, że ​​mogą być utworzone z rodziny linii prostych. W rzeczywistości każda z nich ma dwie rodziny linii generujących, członkowie każdej rodziny są rozłączni, a każdy członek jednej rodziny przecina się, z jednym wyjątkiem, każdy członek drugiej rodziny. Każda rodzina nazywana jest regulusem .

W algebrze liniowej

Inny sposób patrzenia na trójwymiarową przestrzeń można znaleźć w algebrze liniowej , gdzie idea niezależności jest kluczowa. Przestrzeń ma trzy wymiary, ponieważ długość pudełka jest niezależna od jego szerokości czy szerokości. W technicznym języku algebry liniowej przestrzeń jest trójwymiarowa, ponieważ każdy punkt w przestrzeni można opisać kombinacją liniową trzech niezależnych wektorów .

Iloczyn skalarny, kąt i długość

Wektor można przedstawić jako strzałkę. Wielkość wektora to jego długość, a jego kierunek to kierunek wskazywany przez strzałkę. Wektor w 3 może być reprezentowany przez uporządkowaną trójkę liczb rzeczywistych. Te liczby nazywane są składowymi wektora.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] i B = [ B 1 , B 2 , B 3 ] jest zdefiniowany jako:

Wielkość wektora A oznaczono || || . Iloczyn skalarny wektora A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] z samym sobą wynosi

co daje

wzór na długość euklidesową wektora.

Bez odniesienia do składowych wektorów iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów euklidesowych A i B jest dany wzorem

gdzie θ jest kątem między A i B .

Produkt krzyżowy

Iloczyn lub produkt wektor jest binarny działanie na dwóch wektorach w trójwymiarowej przestrzeni i jest oznaczony symbolem x. Iloczyn poprzeczny a × b wektorów a i b jest wektorem prostopadłym do obu, a zatem normalnym do płaszczyzny, która je zawiera. Ma wiele zastosowań w matematyce, fizyce i inżynierii .

Przestrzeń i produkt tworzą algebra nad ciałem , która nie jest ani przemienne ani asocjacyjne , ale jest algebra Lie z produktem krzyż jako wspornik Lie.

Można w n wymiarach wziąć iloczyn n − 1 wektorów, aby otrzymać wektor prostopadły do ​​nich wszystkich. Ale jeśli iloczyn jest ograniczony do nietrywialnych iloczynów binarnych z wynikami wektorowymi, istnieje tylko w trzech i siedmiu wymiarach .

Produkt krzyżowy względem prawoskrętnego układu współrzędnych

W rachunku różniczkowym

Gradient, rozbieżność i podkręcenie

W prostokątnym układzie współrzędnych gradient jest określony wzorem

Rozbieżność ciągle różniczkowalnego pola wektorowego F = U i + V j + W k jest równa funkcji o wartościach skalarnych :

Rozszerzony we współrzędnych kartezjańskich (patrz Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych dla reprezentacji współrzędnych sferycznych i cylindrycznych ), rotacja ∇ × F jest, dla F składa się z [ F x , F y , F z ]:

gdzie i , j i kwektorami jednostkowymi odpowiednio dla osi x , y i z . To rozwija się w następujący sposób:

Całki krzywoliniowe, całki powierzchniowe i całki objętości

Dla pewnego pola skalarnego f  : UR nR , całka liniowa wzdłuż odcinkowo gładkiej krzywej CU jest zdefiniowana jako

gdzie r : [a, b] → C jest dowolną bijektywną parametryzacją krzywej C taką, że r ( a ) i r ( b ) dają punkty końcowe C i .

Dla pola wektorowego F  : UR nR n , całka liniowa wzdłuż odcinkowo gładkiej krzywej CU , w kierunku r , jest zdefiniowana jako

gdzie · jest iloczyn skalarny i R : [a, b] → C jest bijective parametryzacji krzywej C w taki sposób, że R ( ) i R ( b ) dają punkty końcowe C .

Całka powierzchniowa jest uogólnieniem wielu całki dla integracji na powierzchni . Można ją traktować jako analog całki podwójnej całki krzywoliniowej . Aby znaleźć jednoznaczny wzór na całkę powierzchniową, musimy sparametryzować interesującą nas powierzchnię S , biorąc pod uwagę układ współrzędnych krzywoliniowych na S , taki jak długość i szerokość geograficzna na sferze . Niech taka parametryzacja będzie x ( s , t ), gdzie ( s , t ) zmienia się w pewnym obszarze T na płaszczyźnie . Wtedy całka powierzchniowa jest dana wzorem

w tym modelu ekspresja pomiędzy pasami po stronie prawej jest wielkością z iloczynu z pochodnych cząstkowych o X ( s , t ) i jest znana jest jako powierzchnia elementu . Mając pole wektorowe v na S , to jest funkcję, która przypisuje każdemu x w S wektor v ( x ), całkę powierzchniową można zdefiniować składową zgodnie z definicją całki powierzchniowej pola skalarnego; wynikiem jest wektor.

Integralną wielkość odnosi się do całki w ciągu 3 wymiarowej domeny.

To może również oznaczać potrójne całkę w obrębie regionu D w R 3 z funkcji i jest zwykle w postaci:

Podstawowe twierdzenie całek krzywoliniowych

Podstawowym twierdzenie całek linii mówi, że integralną linia przez gradientu pola mogą być wyznaczane przez wyznaczanie skalarne oryginalnego pola w punktach końcowych krzywej.

Niech . Następnie

Twierdzenie Stokesa

Stokesa twierdzenie wiąże powierzchni całkowej z dyni z pola wektorowego F nad Ď powierzchni w euklidesowej trzy miejsca do całki linii pola wektorowego na jego brzegu ∂Σ:

Twierdzenie o dywergencji

Załóżmy, że V jest podzbiorem (w przypadku n = 3, V reprezentuje objętość w przestrzeni 3D), który jest zwarty i ma odcinkowo gładką granicę S (oznaczoną również jako V = S ). Jeśli F jest ciągle różniczkowalnym polem wektorowym zdefiniowanym w sąsiedztwie V , to twierdzenie o dywergencji mówi:

\oiint

Lewa strona to całka objętości po objętości V , prawa strona to całka powierzchniowa po granicy objętości V . Zamknięta rozmaitość V jest dość ogólnie granicą V zorientowaną przez normalne skierowane na zewnątrz , a n jest polem normalnym jednostki skierowanej na zewnątrz granicy V . ( d S może być używany jako skrót dla n dS .)

W topologii

Logo globu Wikipedii w 3D

Przestrzeń trójwymiarowa posiada szereg właściwości topologicznych, które odróżniają ją od przestrzeni o innych liczbach wymiarowych. Na przykład, aby zawiązać węzeł na kawałku sznurka, wymagane są co najmniej trzy wymiary .

W geometrii różniczkowej generyczne przestrzenie trójwymiarowe to 3 rozmaitości , które lokalnie przypominają .

W skończonej geometrii

Wiele koncepcji wymiaru można przetestować za pomocą skończonej geometrii . Najprostszą instancją jest PG(3,2) , która ma płaszczyzny Fano jako swoje dwuwymiarowe podprzestrzenie. Jest to przykład geometrii Galois , studium geometrii rzutowej przy użyciu pól skończonych . Zatem dla każdego pola Galois GF( q ) istnieje przestrzeń rzutowa PG(3, q ) trzech wymiarów. Na przykład dowolne trzy linie skośne w PG(3, q ) są zawarte dokładnie w jednym regulus .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki