Jednolita przestrzeń - Uniform space

W matematycznej dziedzinie topologii , A jednolita przestrzeń jest zestaw o strukturze jednorodnej . Przestrzenie jednolite to przestrzenie topologiczne z dodatkową strukturą, która służy do definiowania jednolitych właściwości, takich jak kompletność , jednorodna ciągłość i jednorodna zbieżność . Przestrzenie jednorodne uogólniają przestrzenie metryczne i grupy topologiczne , ale koncepcja ma na celu sformułowanie najsłabszych aksjomatów potrzebnych dla większości dowodów w analizie .

Oprócz zwykłych właściwości struktury topologicznej, w jednolitej przestrzeni formalizuje się pojęcia względnej bliskości i bliskości punktów. Innymi słowy, idee typu „ x jest bliższe a niż y jest b ” mają sens w jednolitych przestrzeniach. Dla porównania, w ogólnej przestrzeni topologicznej, podane zestawy A, B to ma sens, aby powiedzieć, że punkt x jest dowolnie blisko do A (czyli do zamknięcia A ), lub być może że jest mniejszy sąsiedztwo z X niż B, ale pojęcia bliskości punktów i względnej bliskości nie są dobrze opisane przez samą strukturę topologiczną.

Definicja

Istnieją trzy równoważne definicje przestrzeni jednolitej. Wszystkie składają się z przestrzeni o jednolitej strukturze.

Definicja otoczenia

Definicja ta dostosowuje prezentację przestrzeni topologicznej w kategoriach systemów sąsiedzkich . Niepusty zbiór podzbiorów to a ${\ Displaystyle \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ podseteq X \ razy X}$ jednolita struktura (lub ajednolitość ), jeśli spełnia następujące aksjomaty:

Jeżeli , to gdzie jest przekątna na . ${\ Displaystyle U \ w \ Phi}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ subseteq U}$ ${\ Displaystyle \ Delta = \ {(x, x): x \ w X \}}$ ${\ Displaystyle X \ razy X}$
Jeśli i , to . ${\ Displaystyle U \ w \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ podseteq V \ podseteq X \ razy X}$ ${\ Displaystyle V \ w \ Phi}$
Jeśli i , to . ${\ Displaystyle U \ w \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ w \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ czapka V \ w \ Phi}$
Jeśli , to istnieje takie, że , gdzie oznacza złożenie z samym sobą. (The kompozytu z dwóch podgrup i z jest określone ). ${\ Displaystyle U \ w \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ w \ Phi}$ $V\circ V\subseteq U$ $V\circ V$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X \ razy X}$ ${\ Displaystyle V \ circ U = \ {(x, z): \ istnieje r \ w X: (x, y) \ w U \ klin (y, z) \ w V \}}$
Jeśli , to , gdzie jest odwrotny od U . ${\ Displaystyle U \ w \ Phi}$ ${\ Displaystyle U ^ {-1} \ w \ Phi}$ ${\ Displaystyle U ^ {-1} = \ {(y, x): (x, y) \ w U \}}$

Niepustość $Φ$ razem z (2) i (3) stwierdza, że $Φ$ jest filtrem na $X \times X$ . Jeśli ostatnia właściwość zostanie pominięta, nazywamy przestrzeń quasiuniform . Elementy $U$ z $Φ$ nazywane są okolicami lub świtami od francuskiego słowa oznaczającego otoczenie .

Zwykle pisze się $U [x] = {y : (x, y) \in U} = pr 2 (U \cap ({x} \times X))$ , gdzie $U \cap ({x} \times X)$ jest pionowym przekrojem $U$ i $pr 2$ to rzut na drugą współrzędną. Na wykresie typowe otoczenie jest narysowane jako kropla otaczająca przekątną „ $y = x$ ”; wszystkie różne $U [x]$ tworzą pionowe przekroje. Jeśli $(x, y) \in U$ , mówimy , że x i y są $U -$ blisko . Podobnie, jeśli wszystkie pary punktów w podzbiorze $A$ z $X$ są $U-$ zamknięte (tj. jeśli $A \times; A$ jest zawarte w $U$ ), A nazywa się $U$ -small . Świtę $U$ jest symetryczny jeżeli $(x, y) \in U$ dokładnie wtedy, gdy $(y, x) \in U$ . Pierwszy aksjomat mówi, że każdy punkt jest $U -$ blisko siebie dla każdego otoczenia $U$ . Trzeci aksjomat gwarantuje, że bycie „zarówno $U-$ bliskim, jak i $V-$ bliskim” jest również relacją bliskości w jednolitości. Czwarty aksjomat mówi, że dla każdego otoczenia $U$ istnieje otoczenie $V,$ które jest „nie więcej niż o połowę mniejsze”. Wreszcie ostatni aksjomat stwierdza, że właściwość „bliskość” względem jednolitej struktury jest symetryczna w x i y .

Bazowej lub podstawowym systemem entourages (lub okolic ) o jednorodności $cp$ jest dowolny zestaw B z entourages o $cp$ taki sposób, że każdy z otoczenie $∎ NaleŜy$ zawiera zestaw należącej do B . Zatem, zgodnie z właściwością 2 powyżej, wystarczy podstawowy układ otoczeń B , aby jednoznacznie określić jednorodność $Φ$ : $Φ$ jest zbiorem podzbiorów $X \times X,$ które zawierają zbiór B . Każda jednolita przestrzeń posiada podstawowy system entourage składający się z entourages symetrycznych.

Intuicję o jednorodności dostarcza przykład przestrzeni metrycznych : jeśli $(X, d)$ jest przestrzenią metryczną, to zbiory

{\ Displaystyle U_ {a} = \ {(x, y) \ w X \ razy X: d (x, y) \ leq a \} \ quad {\ tekst {gdzie}} \ quad a> 0}

tworzą podstawowy system entourages dla standardowej jednolitej struktury X . Wtedy x i y są $U a$ -zamknięte dokładnie wtedy, gdy odległość między x i y wynosi co najwyżej a .

Jednolitość $Φ$ jest drobniejsza niż inna jednorodność $Ψ$ w tym samym zestawie, jeśli $Φ \supseteq Ψ$ ; w takim przypadku mówi się, że $Ψ$ jest grubsze niż $Φ$ .

Definicja pseudometrii

Przestrzenie jednolite mogą być definiowane alternatywnie i równoważnie przy użyciu systemów pseudometrii , co jest podejściem szczególnie przydatnym w analizie funkcjonalnej (przy czym pseudometryki zapewniają seminormy ). Dokładniej, niech f : X × X → R będzie pseudometryką na zbiorze X . Odwrotne obrazy U _a = f ^-1 ([0, a ]) dla a > 0 mogą być pokazane jako podstawowy system entourages jednorodności. Jednorodność generowana przez U _a jest jednorodnością określoną przez pojedynczą pseudometrykę f . Niektórzy autorzy nazywają przestrzeniami, których topologię definiuje się w kategoriach pseudometrycznych przestrzeni cechowania .

W przypadku rodziny ( f _{: i} ) od pseudometrics na X , jednolita struktura określa rodzinę jest przynajmniej górna granica jednolitych konstrukcji określonych indywidualnych pseudometrics f _I . Podstawowym system entourages tej jednorodności jest przez zestaw skończonych przecięcia entourages tych jednorodności określonych indywidualnych pseudometrics f _I . Jeśli rodzina pseudometrics jest skończone , można zauważyć, że sama struktura jednolita jest określony przez pojedynczy pseudometric, mianowicie górną obwiedni sup f _I rodziny.

Mniej trywialnie można wykazać, że jednolitą strukturę, która dopuszcza policzalny podstawowy system otoczeń (stąd w szczególności jednolitość określona przez policzalną rodzinę pseudometrii) może być zdefiniowana przez pojedynczą pseudometrykę. Konsekwencją jest to, że każda jednolita struktura może być zdefiniowana jak powyżej przez (prawdopodobnie niepoliczalną) rodzinę pseudometrii (zob. Bourbaki: Topologia ogólna rozdział IX §1 nr 4).

Jednolita definicja okładki

Jednolita przestrzeń ( X , Θ ) jest zbiorem X wyposażony w dobrej rodziny wykładzin Θ , zwany „jednolite pokrycie”, sporządzony z zestawu okładzin z X , które tworzą filtr , gdy zamówione przez gwiazdy wyrafinowania. Mówi się, że otulina P jest udokładnieniem gwiazdy otuliny Q , zapisanym P <* Q , jeśli dla każdego A ∈ P , istnieje U ∈ Q takie, że jeśli A ∩ B ≠ ø, B ∈ P , to B ⊆ U . Aksjomatycznie warunek bycia filtrem sprowadza się do:

{X} to jednolita osłona (tzn. {X} ∈ Θ ).
Jeśli P <* Q i P jest otuliną jednorodną, to Q jest również otuliną jednorodną.
Jeśli P i Q są okładkami jednorodnymi, to istnieje jednolita osłona R, która dopracowuje zarówno P, jak i Q .

Mając punkt x i jednorodne pokrycie P , można uznać sumę elementów P, które zawierają x, jako typowe sąsiedztwo x o „rozmiarze” P , a ta intuicyjna miara stosuje się równomiernie w przestrzeni.

Mając jednorodną przestrzeń w sensie otoczenia, zdefiniuj pokrycie P jako jednolite, jeśli istnieje takie otoczenie U , że dla każdego x ∈ X , istnieje A ∈ P takie, że U [ x ] ⊆ A . Te jednolite osłony tworzą jednolitą przestrzeń, jak w drugiej definicji. Odwrotnie, biorąc pod uwagę jednorodną przestrzeń w sensie jednorodnych okryć, nadzbiory ⋃{ A × A : A ∈ P }, gdy P rozciąga się na jednorodnych okładkach, są otoczeniem dla jednolitej przestrzeni, jak w pierwszej definicji. Co więcej, te dwie transformacje są odwrotnością siebie.

Topologia przestrzeni jednorodnych

Każda jednolita przestrzeń X staje się przestrzenią topologiczną poprzez zdefiniowanie podzbioru O zbioru X jako otwartego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x w O istnieje otoczenie V takie, że V [ x ] jest podzbiorem O . W tej topologii filtr sąsiedztwa punktu x to { V [ x ] : V ∈ Φ}. Można to udowodnić rekurencyjnym użyciem istnienia „połowicznej” świty. W porównaniu z ogólną przestrzenią topologiczną istnienie jednolitej struktury umożliwia porównanie rozmiarów sąsiedztwa: V [ x ] i V [ y ] są uważane za „tego samego rozmiaru”.

Mówi się, że topologia określona przez jednorodną strukturę jest indukowana przez jednorodność . Jednolita struktura w przestrzeni topologicznej jest zgodna z topologią, jeśli topologia zdefiniowana przez jednolitą strukturę pokrywa się z pierwotną topologią. Ogólnie rzecz biorąc, kilka różnych jednolitych struktur może być kompatybilnych z daną topologią na X .

Przestrzenie uniformizowalne

Przestrzeń topologiczną nazywamy uniformizowalną, jeśli istnieje jednolita struktura zgodna z topologią.

Każda przestrzeń uniformizowalna jest całkowicie regularną przestrzenią topologiczną. Ponadto dla przestrzeni uniformizowalnej X równoważne są:

X to przestrzeń Kołmogorowa
X to przestrzeń Hausdorffa
X to przestrzeń Tychonowa
dla każdej zgodnej jednolitej struktury przecięciem wszystkich otoczeń jest przekątna {( x , x ): x in X }.

Niektórzy autorzy (np. Engelking) dodają ten ostatni warunek bezpośrednio w definicji przestrzeni uniformizowalnej.

Topologia przestrzeni uniformizowalnej jest zawsze topologią symetryczną ; to przestrzeń jest R ₀ -kosmiczna .

I odwrotnie, każda całkowicie regularna przestrzeń może być ujednolicona. Jednorodność zgodną z topologią całkowicie regularnej przestrzeni X można zdefiniować jako najgrubszą jednorodność, która sprawia, że wszystkie ciągłe funkcje o wartościach rzeczywistych na X są jednorodnie ciągłe. Podstawowy system otoczeń dla tej jednorodności stanowią wszystkie skończone przecięcia zbiorów ( f × f ) ^-1 ( V ), gdzie f jest ciągłą funkcją o wartościach rzeczywistych na X , a V jest otoczeniem jednolitej przestrzeni R . Ta jednorodność definiuje topologię, która jest wyraźnie grubsza niż pierwotna topologia X ; to, że jest również delikatniejsza niż pierwotna topologia (a więc się z nią pokrywa) jest prostą konsekwencją całkowitej regularności: dla dowolnego x ∈ X i sąsiedztwa V od x istnieje ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych f z f ( x )= 0 i równe 1 w uzupełnieniu V .

W szczególności można ujednolicić zwartą przestrzeń Hausdorffa. W rzeczywistości, dla zwartej przestrzeni Hausdorffa X zbiór wszystkich sąsiedztw przekątnej w X × X tworzy unikalną jednorodność zgodną z topologią.

Przestrzeń jednolita Hausdorffa jest metryzowalna, jeśli jej jednorodność można zdefiniować za pomocą policzalnej rodziny pseudometrii. Rzeczywiście, jak omówiono powyżej , taka jednolitość może być zdefiniowana przez pojedynczą pseudometrykę, która jest koniecznie metryką, jeśli przestrzeń jest Hausdorffem. W szczególności, jeśli topologia przestrzeni wektorowej jest Hausdorff i definiowalna przez policzalną rodzinę seminorm , jest ona metryzowalna.

Jednolita ciągłość

Podobne do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi , które zachowują właściwości topologiczne , są funkcjami jednostajnie ciągłymi między przestrzeniami jednorodnymi, które zachowują jednorodne właściwości. Przestrzenie jednolite z mapami jednorodnymi tworzą kategorię . Izomorfizm między jednolitymi przestrzeni nazywamy jednolity izomorfizmem .

Jednolicie ciągłą funkcję definiuje się jako taką, w której odwrócone obrazy otoczek są ponownie otoczkami lub równoważnie, w której odwrócone obrazy jednolitych okładek są ponownie jednolitymi okładkami.

Wszystkie jednostajnie ciągłe funkcje są ciągłe w odniesieniu do indukowanych topologii.

Kompletność

Uogólniając pojęcie zupełnej przestrzeni metrycznej , można również zdefiniować zupełność dla przestrzeni jednorodnych. Zamiast pracować z sekwencjami Cauchy'ego , pracuje się z filtrami Cauchy'ego (lub sieciami Cauchy'ego ).

A Filtr Cauchy'ego (odp. aCauchy- wstępny )Fw jednolitej przestrzeniXjestfiltr(odpowiednio a.Filtr wstępny)Ctak, że dla każdego otoczeniaUistniejeA∈FzAxA⊆U. Innymi słowy, filtrem jest Cauchy, jeśli zawiera „arbitralnie małe” zestawy. Z definicji wynika, że każdy filtr, który jest zbieżny (w odniesieniu do topologii zdefiniowanej przez jednolitą strukturę) jest filtrem Cauchy'ego. Filtr Cauchy'ego nazywany jestminimalnym,jeśli nie zawiera mniejszego (tj. grubszego) filtra Cauchy'ego (innego niż on sam). Można wykazać, że każdy filtr Cauchy'ego zawiera unikalnyminimalny filtr Cauchy'ego. Filtr sąsiedztwa każdego punktu (filtr składający się ze wszystkich sąsiedztw punktu) jest minimalnym filtrem Cauchy'ego.

Odwrotnie, jednolita przestrzeń nazywa się zakończyć, jeśli każdy filtr Cauchy'ego jest zbieżny. Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie jednolitą przestrzenią pod względem unikalnej jednorodności zgodnej z topologią.

Zupełne przestrzenie jednostajne mają następującą ważną własność: jeśli f : A → Y jest funkcją jednostajnie ciągłą z gęstego podzbioru A przestrzeni jednorodnej X w zupełną jednostajną przestrzeń Y , to f może być rozszerzona (unikatowo) do funkcji jednostajnie ciągłej na wszystkich X .

Przestrzeń topologiczna, którą można przekształcić w całkowicie jednolitą przestrzeń, której jednorodność indukuje pierwotną topologię, nazywana jest przestrzenią całkowicie jednorodną .

Hausdorff dopełnienie jednolitej przestrzeni

Podobnie jak w przypadku przestrzeni metrycznych, każda jednolita przestrzeń X maDopełnienie Hausdorffa : to znaczy, że istnieje pełna przestrzeń jednostajna HausdorffaYoraz jednostajnie ciągłe odwzorowaniei:X→Yo następującej własności:

dla każdego jednostajnie ciągłego odwzorowania f od X do kompletnej jednolitej przestrzeni Hausdorffa Z , istnieje jednoznaczne jednostajnie ciągłe odwzorowanie g : Y → Z takie , że f = gi .

Dopełnienie Hausdorffa Y jest unikalne aż do izomorfizmu. Jako zbiór Y można przyjąć, że składa się z minimalnych filtrów Cauchy'ego na X . Ponieważ filtr sąsiedztwa B ( x ) każdego punktu x w X jest minimalnym filtrem Cauchy'ego, mapę i można zdefiniować przez mapowanie x na B ( x ). Mapa i tak zdefiniowanego w ogóle nie injective; w rzeczywistości wykres relacji równoważności i ( x ) = i ( x ') jest przecięciem wszystkich otoczeń X , a zatem i jest iniektywne dokładnie wtedy, gdy X jest Hausdorffem.

Jednolitą strukturę na Y definiujemy następująco: dla każdego symetrycznego otoczenia V (tj. takiego, że ( x , y ) jest w V dokładnie wtedy, gdy ( y , x ) jest w V ), niech C ( V ) będzie zbiorem wszystkich pary ( F , G ) minimalnych filtrów Cauchy'ego, które mają wspólny przynajmniej jeden zestaw V-mały . Można pokazać, że zbiory C ( V ) tworzą podstawowy system entourages; Y jest wyposażony w zdefiniowaną w ten sposób jednolitą strukturę.

Zbiór i ( X ) są następnie gęsta podzbiór Y . Jeśli X to Hausdorff, to i jest izomorfizmem na i ( X ), a zatem X można utożsamiać z gęstym podzbiorem jego uzupełnienia. Co więcej, i ( X ) to zawsze Hausdorff; nazywa się to jednolitą przestrzenią Hausdorffa związaną z X . Jeśli R oznacza relację równoważności i ( x ) = i ( x ' ), to przestrzeń ilorazowa X / R jest homeomorficzna do i ( X ).

Przykłady

Każdą przestrzeń metryczną ( M , d ) można uznać za przestrzeń jednorodną. W istocie, ponieważ dane są tym bardziej pseudometric The pseudometric definicja dostarcza M o jednolitej konstrukcji. Podstawowy system entourage o tej jednolitości stanowią zestawy
${\ Displaystyle \ qquad U_ {a} \ triangleq d ^ {-1} ([0, a]) = \ {(m, n) \ w M \ razy M: d (m, n) \ leq a \} .}$
Ta jednolita struktura na M generuje zwykłą topologię przestrzeni metrycznej na M . Jednak różne przestrzenie metryki mogą mieć tę samą jednolitą strukturę (trywialny przykład dostarcza stała wielokrotność metryki). Ta jednolita struktura tworzy również równoważne definicje jednorodnej ciągłości i kompletności dla przestrzeni metrycznych .
Korzystając z metryk, można zbudować prosty przykład odrębnych jednolitych struktur o pokrywających się topologiach. Na przykład niech d ₁ ( x , y ) = | x − y | będzie zwykłą metryką na R i niech d ₂ ( x , y ) = | e ^x − e ^y |. Wtedy obie metryki indukują zwykłą topologię na R , jednak jednolite struktury są różne, ponieważ { (x,y): | x − y | < 1 } jest otoczeniem w jednolitej strukturze dla d _{1 ,} ale nie dla d ₂ . Nieformalnie, ten przykład może być postrzegany jako przyjęcie zwykłej jednolitości i zniekształcenie jej poprzez działanie ciągłej, ale niejednostajnie ciągłej funkcji.
Każda grupa topologiczna G (w szczególności, każda przestrzeń topologiczna wektor ) staje się jednorodne przestrzeń jeśli zdefiniowania podzbioru V z G x G być otoczenie, wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zestaw {( x , y ) x ⋅ Y ^{- 1} w U } pewnego sąsiedztwa U do elementu osobistego z G . Ta jednolita struktura na G nazywana jest właściwą jednolitością na G , ponieważ dla każdego a w G prawe mnożenie x → x ⋅ a jest jednostajnie ciągłe względem tej jednorodnej struktury. Można również zdefiniować jednolitość lewostronną na G ; te dwa nie muszą się pokrywać, ale oba generują daną topologię na G .
Dla każdej grupy topologicznej G i jej podgrupy H zbiór lewych kosetów G / H jest przestrzenią jednorodną pod względem jednorodności Φ zdefiniowanej następująco. Zbiory , w których U przebiega po sąsiedztwach tożsamości w G , tworzą podstawowy system entourage dla jednolitości Φ. Odpowiadająca topologia indukowana na G / H jest równa topologii ilorazowej zdefiniowanej przez odwzorowanie naturalne G → G / H . ${\ Displaystyle {\ tylda {U}} = \ {(s, t) \ w G / H \ razy G / H: \ \ t \ w U \ cdot s \}}$
Trywialne Topologia należy do powierzchni jednolitej, w której całość iloczyn X x X jest jedynie otoczenie .

Historia

Zanim André Weil podał pierwszą wyraźną definicję jednolitej struktury w 1937 roku, jednolite pojęcia, takie jak kompletność, były omawiane przy użyciu przestrzeni metrycznych . Nicolas Bourbaki podał definicję jednolitej struktury w kategoriach entourages w książce Topologie Générale, a John Tukey podał definicję jednolitej okładki. Weil scharakteryzował także przestrzenie jednolite w kategoriach rodziny pseudometrii.

Zobacz też

Gruba struktura
Kompletna przestrzeń metryczna – Geometria metryczna
Kompletna topologiczna przestrzeń wektorowa — TVS, w której punkty coraz bardziej zbliżające się do siebie będą zawsze zbiegać się do punktu
Całkowicie ujednolicająca się przestrzeń
Filtry w topologii — zastosowanie filtrów do opisania i scharakteryzowania wszystkich podstawowych pojęć topologicznych i wyników.
Przestrzeń bliskości – Struktura opisująca pojęcie „bliskości” między podzbiorami
Przestrzeń (matematyka) – zbiór matematyczny z pewną dodaną strukturą
Topologia jednostajnej zbieżności
Jednolita ciągłość – Jednolite ograniczenie zmiany funkcji
Izomorfizm jednostajny – homeomorfizm jednostajnie ciągły
Jednolita właściwość – Przedmiot badań w kategorii jednolitych przestrzeni topologicznych
Przestrzeń jednorodnie połączona – Rodzaj przestrzeni jednolitej

Bibliografia

Nicolas Bourbaki , Topologia ogólna ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (Roz. 1-4), ISBN 0-387-19372-3 (Roz. 5-10): Rozdział II to kompleksowe odniesienie do jednolitego struktury, rozdział IX § 1 dotyczy pseudometrii, a rozdział III § 3 obejmuje jednolite struktury na grupach topologicznych
Ryszard Engelking , Topologia ogólna. Wydanie poprawione i zakończone , Berlin 1989.
John R. Isbell , Przestrzenie jednolite ISBN 0-8218-1512-1
IM James, Wprowadzenie do przestrzeni jednolitych ISBN 0-521-38620-9
IM James, Przestrzenie topologiczne i jednolite ISBN 0-387-96466-5
John Tukey , Konwergencja i jednolitość w topologii ; ISBN 0-691-09568-X
André Weil , Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale , Act. Nauka. Ind. 551 , Paryż, 1937

Languages

In other projects