Formalizm ADM - ADM formalism

Część serii artykułów na temat
Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ Frac {8 \ pi G} {C ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Wprowadzenie Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Idee fundamentalne Zasada względności Teoria względności Ogólna kowariancja Jednoczesność Względność jednoczesności Ruch względny Zdarzenie Ramy Odniesienia Inercjalny układ odniesienia Masa Masa bezwładnościowa Rama spoczynkowa Rama ze środkiem pędu Krzywizna Geodezyjne Geon Zasada równoważności Msza w ogólnej teorii względności Równoważność masy i energii Niezmienny Masa niezmienna Symetrie czasoprzestrzenne Szczególna teoria względności Podwójnie szczególna teoria względności de Sittera niezmienna szczególna teoria względności Skala względności Prędkość światła Pochodna czasowa Odpowiedni czas Właściwa długość Skurcz długości Akcja na odległość Zasada lokalności Geometria riemannowska Stan energetyczny
Zjawiska Elektromagnetyzm grawitacyjny Problem Keplera Powaga Pole grawitacyjne Dobrze grawitacja Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni Przesunięcie ku czerwieni Blueshift Dylatacja czasu Grawitacyjne dylatacja czasu Opóźnienie czasowe Shapiro Potencjał grawitacyjny Kompresja grawitacyjna Upadek grawitacyjny Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Pozorny horyzont Horyzont zdarzeń Osobliwość grawitacyjna Naga osobliwość Czarna dziura Biała dziura Czas, przestrzeń Strzałka czasu Lekki stożek Linia światowa Przestrzeń trójwymiarowa Przestrzeń czterowymiarowa Przestrzeń Czas Kolektor Gładka kolektor Rozmaitość riemannowska Przestrzeń konfiguracyjna Przestrzeń stanów Przestrzeń fazowa Przestrzeń Hilberta Przestrzeń euklidesowa Przestrzeń topologiczna Defekt topologiczny Diagramy czasoprzestrzenne Czasoprzestrzeń Minkowskiego Skalar Lorentza Zamknięta krzywa czasowa (CTC) Tunel czasoprzestrzenny Wormhole Ellisa
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmanna Geodezja Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Niezmiennik krzywizny (ogólna teoria względności) Transformacja Lorentza Rozmaitość lorentzowska Globalna rozmaitość hiperboliczna Warunki przyczynowości Struktura przyczynowa Formalizmy ADM BSSN Newman – Penrose Post-newtonowski Zaawansowana teoria Teoria Bransa-Dickego Hipoteza kosmicznej cenzury Teoria Kaluzy – Kleina Grawitacja kwantowa Supergrawitacja
Rozwiązania Dysk relatywistyczny Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker fala pp van Stockum dust Weyl – Lewis – Papapetrou Rozwiązanie próżniowe
Twierdzenia Twierdzenie Birkhoffa Twierdzenie Gerocha o rozszczepianiu Twierdzenie Goldberga – Sachsa Twierdzenie Lovelocka Twierdzenie o braku włosów Twierdzenia o osobliwości Penrose'a-Hawkinga Twierdzenie o energii dodatniej
Naukowcy Einstein Lorentz Hilberta Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy człowiek Yau Thorne inne
v t mi

Richard Arnowitt , Stanley Deser i Charles Misner na konferencji ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation, która odbyła się w listopadzie 2009 roku z okazji 50. rocznicy ich referatu.

Formalizm ADM (nazwane przez autorów Richard Arnowitt , Stanley deser i Charles W. Misner ) jest Hamiltonian sformułowanie ogólnej teorii względności , która odgrywa ważną rolę w kanonicznym grawitacji kwantowej i teorii względności numerycznej . Został opublikowany po raz pierwszy w 1959 roku.

Obszerny przegląd formalizmu opublikowany przez autorów w 1962 roku został przedrukowany w czasopiśmie General Relativity and Gravitation , podczas gdy oryginalne artykuły można znaleźć w archiwach Physical Review .

Przegląd

Formalizm zakłada, że czasoprzestrzeń jest foliowana w rodzinie powierzchni podobnych do kosmosu , oznaczonych ich współrzędną czasową i współrzędnymi na każdym wycinku podanymi przez . Dynamiczne zmienne tej teorii są traktowane jako tensor metryczny trójwymiarowych wycinków przestrzennych i ich sprzężonych pędów . Korzystając z tych zmiennych, można zdefiniować hamiltonian , a tym samym zapisać równania ruchu dla ogólnej teorii względności w postaci równań Hamiltona . ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$

Oprócz dwunastu zmiennych i istnieją cztery mnożniki Lagrange'a : the funkcja pomyłka , i komponentów zmianowym pola wektorowego , . Opisują one, w jaki sposób każdy z „liści” foliacji czasoprzestrzeni jest zespawany ze sobą. Równania ruchu dla tych zmiennych można dowolnie określać; wolność ta odpowiada swobodzie określania sposobu rozplanowania układu współrzędnych w przestrzeni i czasie. ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$

Notacja

Większość odniesień przyjmuje notację, w której czterowymiarowe tensory są zapisywane w abstrakcyjnej notacji indeksowej, a indeksy greckie są indeksami czasoprzestrzeni przyjmującymi wartości (0, 1, 2, 3), a indeksy łacińskie są indeksami przestrzennymi przyjmującymi wartości (1, 2, 3). W tym wyprowadzeniu indeks górny (4) jest dołączany do wielkości, które zwykle mają zarówno wersję trójwymiarową, jak i czterowymiarową, takich jak tensor metryczny dla trójwymiarowych wycinków i tensor metryczny dla pełnej czterowymiarowej czasoprzestrzeni . ${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ Displaystyle {^ {(4)}} g _ {\ mu \ nu}}$

W tekście użyto notacji Einsteina, w której zakłada się sumowanie po powtórzonych indeksach.

Stosowane są dwa rodzaje pochodnych: Pochodne częściowe są oznaczane przez operatora lub przez indeks dolny poprzedzony przecinkiem. Kowariantne pochodne są oznaczane przez operatora lub indeksy dolne poprzedzone średnikiem. ${\ Displaystyle \ częściowe _ {i}}$${\ displaystyle \ nabla _ {i}}$

Bezwzględną wartość wyznacznika macierzy metrycznych współczynników tensorów reprezentuje (bez indeksów). Inne symbole tensorów zapisane bez indeksów reprezentują ślad odpowiedniego tensora, taki jak . ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ pi = g ^ {ij} \ pi _ {ij}}$

Pochodzenie

Sformułowanie Lagrange'a

Punktem wyjścia do sformułowania ADM jest język lagranżański

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {\ sqrt {^ {(4)} g}},}$

który jest iloczynem pierwiastka kwadratowego z wyznacznika czterowymiarowego tensora metrycznego dla pełnej czasoprzestrzeni i jej skalara Ricciego . To jest Lagrangian z akcji Einsteina – Hilberta .

Pożądanym wynikiem wyprowadzenia jest zdefiniowanie osadzania trójwymiarowych wycinków przestrzennych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Metryka trójwymiarowych wycinków

${\ displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}$

będą uogólnionymi współrzędnymi dla sformułowania hamiltonowskiego. Koniugat pędy mogą być obliczane jako

${\ Displaystyle \ pi ^ {ij} = {\ sqrt {^ {(4)} g}} \ lewo ({^ {(4)}} \ Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} { ^ {(4)}} \ Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs} \ right) g ^ {ip} g ^ {jq},}$

przy użyciu standardowych technik i definicji. Symbole to symbole Christoffel związane z metryką pełnej czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Upływ ${\ Displaystyle {^ {(4)}} \ Gamma _ {ij} ^ {0}}$

${\ Displaystyle N = \ lewo (- {^ {(4)} g ^ {00}} \ prawo) ^ {- 1/2}}$

i wektor przesunięcia

${\ Displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}$

to pozostałe elementy czterometrowego tensora.

Po zidentyfikowaniu ilości w recepturze następnym krokiem jest przepisanie Lagrangianu pod kątem tych zmiennych. Nowe wyrażenie dla Lagrangianu

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = - g_ {ij} \ częściowe _ {t} \ pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2 \ częściowe _ {i} \ lewo (\ pi ^ {ij} N_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ pi N ^ {i} + \ nabla ^ {i} N {\ sqrt {g}} \ right)}$

jest dogodnie napisany pod względem dwóch nowych wielkości

${\ Displaystyle H = - {\ sqrt {g}} \ lewo [^ {(3)} R + g ^ {- 1} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ pi ^ {2} - \ pi ^ {ij} \ pi _ {ij} \ right) \ right]}$

i

${\ Displaystyle P ^ {i} = - 2 \ pi ^ {ij} {} _ {; j},}$

które są znane odpowiednio jako ograniczenie Hamiltona i ograniczenie pędu. Wygaśnięcie i przesunięcie pojawiają się w Lagrange'a jako mnożniki Lagrange'a .

Równania ruchu

Chociaż zmienne w Lagrange'a reprezentują metryczny tensor w trójwymiarowych przestrzeniach osadzonych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni , możliwe i pożądane jest użycie zwykłych procedur mechaniki Lagrangianu do wyprowadzenia "równań ruchu", które opisują ewolucję w czasie obu metryka i jej sprzężony pęd . Wynik ${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} g_ {ij} = {\ Frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi _ {ij} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi g_ {ij} \ right) + N_ {i; j} + N_ {j; i}}$

i

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ częściowe _ {t} \ pi ^ {ij} = & - N {\ sqrt {g}} \ lewo (R ^ {ij} - {\ tfrac {1} {2} } Rg ^ {ij} \ right) + {\ frac {N} {2 {\ sqrt {g}}}} g ^ {ij} \ left (\ pi ^ {mn} \ pi _ {mn} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi ^ {2} \ right) - {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi ^ {in} {\ pi _ {n}} ^ {j} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ pi ^ {ij} \ right) \\ & + {\ sqrt {g}} \ left (\ nabla ^ {i} \ nabla ^ {j } Ng ^ {ij} \ nabla ^ {n} \ nabla _ {n} N \ right) + \ nabla _ {n} \ left (\ pi ^ {ij} N ^ {n} \ right) - {N ^ {i}} _ {; n} \ pi ^ {nj} - {N ^ {j}} _ {; n} \ pi ^ {ni} \ end {aligned}}}$

jest nieliniowym zbiorem równań różniczkowych cząstkowych .

Przyjmowanie wariacji w odniesieniu do wygaśnięcia i przesunięcia zapewnia równania z ograniczeniami

${\ displaystyle H = 0}$

i

${\ Displaystyle P ^ {i} = 0,}$

a sam upływ i przesunięcie można dowolnie określić, co odzwierciedla fakt, że układy współrzędnych można dowolnie określać zarówno w przestrzeni, jak i w czasie.

Aplikacje

Zastosowanie do grawitacji kwantowej

Korzystając ze sformułowania ADM, można podjąć próbę skonstruowania kwantowej teorii grawitacji w taki sam sposób, w jaki konstruuje się równanie Schrödingera odpowiadające danemu hamiltonianowi w mechanice kwantowej . Oznacza to, że zamień kanoniczne momenty i przestrzenne funkcje metryczne na liniowe funkcjonalne operatory różniczkowe ${\ Displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto g_ {ij} (t, x ^ {k}),}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto -i {\ Frac {\ delta} {\ delta g_ {ij} (t, x ^ {k} )}}.}$

Dokładniej, zastąpienie zmiennych klasycznych operatorami jest ograniczone relacjami komutacji . Kapelusze reprezentują operatorów w teorii kwantowej. Prowadzi to do równania Wheelera – DeWitta .

Zastosowanie do numerycznych rozwiązań równań Einsteina

Istnieje stosunkowo niewiele znanych dokładnych rozwiązań równań pola Einsteina . Aby znaleźć inne rozwiązania, istnieje aktywna dziedzina badań znana jako numeryczna teoria względności, w której superkomputery są używane do znajdowania przybliżonych rozwiązań równań. Aby skonstruować takie rozwiązania numerycznie, większość badaczy rozpoczyna od sformułowania równań Einsteina ściśle powiązanych ze sformułowaniem ADM. Najpopularniejsze podejścia rozpoczynają się od problemu wartości początkowej opartego na formalizmie ADM.

W formułach hamiltonowskich podstawowym punktem jest zamiana układu równań drugiego rzędu na inny układ równań pierwszego rzędu. Możemy łatwo otrzymać ten drugi zestaw równań za pomocą wzoru Hamiltona. Oczywiście jest to bardzo przydatne w fizyce numerycznej, ponieważ redukcja rzędu równań różniczkowych jest często wygodna, jeśli chcemy przygotować równania dla komputera.

Energia i masa ADM

Energia ADM to szczególny sposób definiowania energii w ogólnej teorii względności , która ma zastosowanie tylko do niektórych specjalnych geometrii czasoprzestrzeni, które asymptotycznie zbliżają się do dobrze zdefiniowanego tensora metrycznego w nieskończoności - na przykład czasoprzestrzeń, która asymptotycznie zbliża się do przestrzeni Minkowskiego . Energia ADM w tych przypadkach jest definiowana jako funkcja odchylenia tensora metrycznego od jego określonej postaci asymptotycznej. Innymi słowy, energia ADM jest obliczana jako siła pola grawitacyjnego w nieskończoności.

Jeśli wymagana forma asymptotyczna jest niezależna od czasu (jak sama przestrzeń Minkowskiego), to zachowuje symetrię translacyjną w czasie . Twierdzenie Noether sugeruje zatem, że energia ADM jest zachowana. Zgodnie z ogólną teorią względności, prawo zachowania energii całkowitej nie obowiązuje w bardziej ogólnym, zależnym od czasu podłożu - na przykład jest całkowicie naruszone w kosmologii fizycznej . W szczególności kosmiczna inflacja jest w stanie wytworzyć energię (i masę) z „niczego”, ponieważ gęstość energii próżni jest w przybliżeniu stała, ale objętość Wszechświata rośnie wykładniczo .

Zastosowanie do zmodyfikowanej grawitacji

Korzystając z rozkładu ADM i wprowadzając dodatkowe pola pomocnicze, w 2009 r. Deruelle i in. znaleźli metodę znajdowania terminu granicznego Gibbonsa-Hawkinga-Yorka dla zmodyfikowanych teorii grawitacji , „których Lagrangian jest arbitralną funkcją tensora Riemanna”.

Spór

W 2008 roku Kiriushcheva i Kuzmin opublikowali formalne odrzucenie 4 konwencjonalnych mądrości dotyczących formalizmu ADM, w szczególności, że tylko w formalizmie Diraca Hamiltona, a nie w formalizmie ADM, można odzyskać właściwą niezmienność dyfeomorfizmu poprzez transformacje kanoniczne. Różnica w strukturze kanonicznej formalizmów Diraca i ADM Hamiltona jest trwającą kontrowersją, która nie została jeszcze rozstrzygnięta w literaturze fizyki.

Zobacz też

• Współrzędne kanoniczne
• Równanie Hamiltona – Jacobiego – Einsteina
• Metryka Peresa

Uwagi

Bibliografia

• Kiefer, Claus (2007). Grawitacja kwantowa . Oxford, Nowy Jork: Oxford University Press . ISBN   978-0-19-921252-1 .