Współrzędne uogólnione - Generalized coordinates

Część serii na
Mechanika klasyczna
${\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ Frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Druga zasada ruchu
Historia Oś czasu Podręczniki
Gałęzie
Podstawy
Preparaty
Główne tematy
Obrót
Naukowcy
Kategorie
v t mi

W mechanice analitycznych , określenie współrzędnych uogólnionych odnosi się do parametrów opisujących konfiguracji z systemu w stosunku do pewnej konfiguracji odniesienia. Te parametry muszą jednoznacznie definiować konfigurację systemu w stosunku do konfiguracji odniesienia. Odbywa się to przy założeniu, że można to zrobić za pomocą jednego wykresu . W uogólnione prędkości to czas pochodne uogólnionych współrzędnych systemu.

Przykładem współrzędnej uogólnionej jest kąt, który lokalizuje punkt poruszający się po okręgu. Przymiotnik „uogólniony” odróżnia te parametry od tradycyjnego użycia terminu współrzędna w odniesieniu do współrzędnych kartezjańskich : na przykład opisując położenie punktu na okręgu za pomocą współrzędnych x i y.

Chociaż może istnieć wiele możliwości wyboru współrzędnych uogólnionych dla układu fizycznego, zwykle do określenia konfiguracji układu wybiera się dogodne parametry, które ułatwiają rozwiązywanie jego równań ruchu . Jeżeli parametry te są niezależne od siebie, liczba niezależnych współrzędnych uogólnionych jest określona przez liczbę stopni swobody układu.

Uogólnione współrzędne są sparowane z uogólnionymi pędami w celu dostarczenia współrzędnych kanonicznych w przestrzeni fazowej .

Więzy i stopnie swobody

Otwórz prostą ścieżkę

Otwarta ścieżka zakrzywiona F ( x , y ) = 0

Zamknięta zakrzywiona ścieżka C ( x , y ) = 0

Jedna współrzędna uogólniona (jeden stopień swobody) na ścieżkach w 2D. Do jednoznacznego określenia pozycji na krzywej potrzebna jest tylko jedna współrzędna uogólniona. W tych przykładach ta zmienna to długość łuku s lub kąt θ . Posiadanie obu współrzędnych kartezjańskich ( x , y ) jest niepotrzebne, ponieważ albo x, albo y są powiązane równaniami krzywych. Mogą być również sparametryzowane przez s lub θ .

Otwarta zakrzywiona ścieżka F ( x , y ) = 0. Wielokrotne przecięcia promienia ze ścieżką.

Zamknięta zakrzywiona ścieżka C ( x , y ) = 0. Samoprzecięcie ścieżki.

Długość łuku s wzdłuż krzywej jest uzasadnioną współrzędną uogólnioną, ponieważ pozycja jest jednoznacznie określona, ​​ale kąt θ nie jest taki, ponieważ istnieje wiele pozycji dla pojedynczej wartości θ .

Współrzędne uogólnione są zwykle wybierane w celu zapewnienia minimalnej liczby niezależnych współrzędnych definiujących konfigurację układu, co upraszcza formułowanie równań ruchu Lagrange'a . Może się jednak również zdarzyć, że użyteczny zbiór współrzędnych uogólnionych może być zależny , co oznacza, że ​​są one powiązane jednym lub większą liczbą równań więzów .

Ograniczenia holonomiczne

Otwarta zakrzywiona powierzchnia F ( x , y , z ) = 0

Zamknięta zakrzywiona powierzchnia S ( x , y , z ) = 0

Dwie współrzędne uogólnione, dwa stopnie swobody, na zakrzywionych powierzchniach w 3D. Do określenia punktów na krzywej potrzebne są tylko dwie liczby ( u , v ), dla każdego przypadku pokazana jest jedna możliwość. Pełne trzy współrzędne kartezjańskie ( x , y , z ) nie są konieczne, ponieważ dowolne dwie określają trzecią zgodnie z równaniami krzywych.

Dla układu cząstek N w rzeczywistej przestrzeni współrzędnych 3D , wektor położenia każdej cząstki można zapisać jako krotkę 3 we współrzędnych kartezjańskich :

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) \,, \ quad \ mathbf {r} _ {2} = (x_ {2}, y_{2},z_{2})\,,\ldots \,,\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\,.}$

Każdy z wektorów pozycji może być oznaczony r _k gdzie k = 1, 2, ..., N oznacza cząstki. Holonomic ograniczenie to równanie ograniczenie w postaci cząstek o k

${\ Displaystyle f (\ mathbf {r} _ {k}, t) = 0}$

który łączy ze sobą wszystkie 3 współrzędne przestrzenne tej cząstki, więc nie są one niezależne. Ograniczenie może się zmieniać w czasie, więc czas t pojawi się wyraźnie w równaniach ograniczeń. W dowolnym momencie każda współrzędna zostanie określona na podstawie innych współrzędnych, np. jeśli podane są x _k i z _k , to tak samo jest y _k . Jedno równanie wiązania liczy się jako jedno wiązanie. Jeśli istnieją więzy C , każde z nich ma równanie, więc będą równania więzów C. Niekoniecznie istnieje jedno równanie więzów dla każdej cząstki, a jeśli nie ma więzów w układzie, nie ma też równań więzów.

Jak dotąd konfiguracja systemu jest określona przez 3 N wielkości, ale współrzędne C można wyeliminować, po jednej współrzędnej z każdego równania więzów. Liczba niezależnych współrzędnych wynosi n = 3 N − C . (W wymiarach D oryginalna konfiguracja wymagałaby współrzędnych ND , a redukcja przez ograniczenia oznacza n = ND − C ). Idealnym rozwiązaniem jest użycie minimalnej liczby współrzędnych potrzebnych do zdefiniowania konfiguracji całego systemu, przy jednoczesnym wykorzystaniu ograniczeń systemu. Wielkości te są w tym kontekście znane jako współrzędne uogólnione , oznaczone jako q _j ( t ). Wygodnie jest zebrać je w n - krotkę

${\ Displaystyle \ mathbf {q} (t) = (q_ {1}(t), q_ {2} (t), \ ldots, q_ {n} (t))}$

który jest punktem w przestrzeni konfiguracyjnej systemu. Wszystkie są od siebie niezależne i każdy jest funkcją czasu. Geometrycznie mogą być długościami wzdłuż linii prostych lub długościami łuków wzdłuż krzywych lub kątów; niekoniecznie współrzędne kartezjańskie lub inne standardowe współrzędne ortogonalne . Dla każdego stopnia swobody istnieje jeden , więc liczba współrzędnych uogólnionych jest równa liczbie stopni swobody n . Stopień swobody odpowiada jednej wielkości, która zmienia konfigurację systemu, na przykład kątowi wahadła lub długości łuku pokonywanego przez ścieg wzdłuż drutu.

Jeśli można znaleźć z więzów tyle zmiennych niezależnych, ile jest stopni swobody, można je wykorzystać jako współrzędne uogólnione. Wektor pozycji r _k cząstki k jest funkcją wszystkich n uogólnionych współrzędnych (a przez nie czasu),

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ mathbf {r} _ {k} (\ mathbf {q} (t)) \ ,,}$

a uogólnione współrzędne można traktować jako parametry związane z ograniczeniem.

Odpowiednie pochodne czasowe q są uogólnionymi prędkościami ,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q}}}={\frac {d\mathbf {q}}{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t), {\dot {q}}_{2}(t),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(t))}$

(każda kropka nad wielkością oznacza pochodną jednokrotną ). Wektor prędkości v _k jest z całkowitą pochodną o r _K w zależności od czasu

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ kropka {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ Frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} = \ suma _{j=1}^{n}{\frac {\częściowy \mathbf {r} _{k}}{\częściowy q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,. }$

a więc generalnie zależy od uogólnionych prędkości i współrzędnych. Ponieważ możemy osobno określić początkowe wartości współrzędnych uogólnionych i prędkości, współrzędne uogólnione q _j i prędkości dq _j / dt można traktować jako zmienne niezależne .

Ograniczenia nieholonomiczne

Układ mechaniczny może wiązać się zarówno z uogólnionymi współrzędnymi, jak i ich pochodnymi. Ograniczenia tego typu są znane jako nieholonomiczne. Ograniczenia nieholonomiczne pierwszego rzędu mają postać

${\ Displaystyle g (\ mathbf {q} , {\ kropka {\ mathbf {q}}}, t) = 0 \ ,,}$

Przykładem takiego ograniczenia jest toczące się koło lub krawędź noża, które ograniczają kierunek wektora prędkości. Ograniczenia nieholonomiczne mogą również obejmować pochodne następnego rzędu, takie jak uogólnione przyspieszenia.

Wielkości fizyczne we współrzędnych uogólnionych

Energia kinetyczna

Całkowita energia kinetyczna układu to energia ruchu układu, zdefiniowana jako

${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ kropka {\ mathbf {r}}} _ {k} \ cdot {\ kropka {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

gdzie · jest iloczynem skalarnym . Energia kinetyczna jest funkcją tylko prędkości v _k , a nie samych współrzędnych r _k . Natomiast ważną obserwacją jest:

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {r} }} _ {k} \ cdot {\ kropka {\ mathbf {r}}} _ {k} = \ suma _ {i, j = 1} ^ {n} \left({\frac {\częściowy \mathbf {r} _{k}}{\częściowy q_{i}}}\cdot {\frac {\częściowy \mathbf {r} _{k}}{\częściowy q_ {j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

co ilustruje energię kinetyczną, jest ogólnie funkcją uogólnionych prędkości, współrzędnych i czasu, jeśli ograniczenia również zmieniają się w czasie, więc T = T ( q , d q / dt , t ).

W przypadku, gdy więzy na cząstkach są niezależne od czasu, to wszystkie pochodne cząstkowe względem czasu są zerowe, a energia kinetyczna jest jednorodną funkcją stopnia 2 w prędkościach uogólnionych.

Jednak dla przypadku niezależnego od czasu wyrażenie to jest równoważne wzięciu elementu linii do kwadratu trajektorii cząstki k ,

${\ Displaystyle ds_ {k} ^ {2} = d \ mathbf {r} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k} = \ suma _ {i, j = 1} ^ {n} \ left({\frac {\częściowy \mathbf {r} _{k}}{\częściowy q_{i}}}\cdot {\frac {\częściowy \mathbf {r} _{k}}{\częściowy q_{ j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

oraz podzielenie przez kwadratową różnicę w czasie dt ² , aby otrzymać kwadrat prędkości cząstki k . Zatem w przypadku więzów niezależnych od czasu wystarczy znać element liniowy, aby szybko uzyskać energię kinetyczną cząstek, a tym samym Lagrange'a.

Pouczające jest zobaczenie różnych przypadków współrzędnych biegunowych w 2d i 3d, ze względu na ich częste pojawianie się. We współrzędnych biegunowych 2d ( r , θ ),

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {ds} {dt}} \ po prawej) ^ {2} = {\ kropka {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ kropka {\ theta}} ^ {2}\,,}$

we współrzędnych cylindrycznych 3D ( r , θ , z ),

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {ds} {dt}} \ po prawej) ^ {2} = {\ kropka {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ kropka {\ theta}} ^ {2}+{\kropka {z}}^{2}\,,}$

we współrzędnych sferycznych 3D ( r , θ , φ ),

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {ds} {dt}} \ po prawej) ^ {2} = {\ kropka {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ kropka {\ theta}} ^ {2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

Uogólniony pęd

Uogólnione rozpędu „ kanoniczne sprzężone z” współrzędnych P _i jest określona przez

${\ Displaystyle p_ {i} = {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {q}} _ {i}}}.}$

Jeżeli Lagrange'a L sposób nie zależny od pewnych współrzędnych q _I , to wynika z równań Eulera-Lagrange'a, że odpowiedni uogólnione pęd będzie konserwatywne ilość , gdyż pochodne czas zera sugerujące pęd jest stała w ruchu;

${\ Displaystyle {\ kropka {p}} _ {i} = {\ Frac {d} {dt}} {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {q}} _ {i}}} = {\frac {\częściowe L}{\częściowe q_{i}}}=0\,.}$

Przykłady

Koralik na drucie

Koralik porusza się po drucie pozbawionym tarcia. Drut wywiera siłę reakcji C na zgrubienie, aby utrzymać go na drucie. Siłą niezwiązaną N w tym przypadku jest grawitacja. Zauważ, że początkowe położenie drutu może prowadzić do różnych ruchów.

W przypadku ściegu ślizgającego się po drucie pozbawionym tarcia, poddanego tylko grawitacji w przestrzeni 2d, ograniczenie na ściegu można określić w postaci f ( r ) = 0 , gdzie położenie ściegu można zapisać r = ( x ( s ) , y ( s )), gdzie s jest parametrem, długość łuku s wzdłuż krzywej od pewnego punktu na przewodzie. Jest to odpowiedni wybór uogólnionej współrzędnej dla systemu. Potrzebna jest tylko jedna współrzędna zamiast dwóch, ponieważ położenie ściegu można sparametryzować jedną liczbą s , a równanie wiązania łączy dwie współrzędne x i y ; jedno jest zdeterminowane przez drugie. Siła ograniczająca to siła reakcji, jaką drut wywiera na ścieg, aby utrzymać go na drucie, a siła nieograniczająca to siła grawitacji działająca na ścieg.

Załóżmy, że drut z czasem zmienia swój kształt, wyginając się. Wtedy równanie ograniczające i położenie cząstki to odpowiednio

${\ Displaystyle f (\ mathbf {r} , t) = 0 \ , \ quad \ mathbf {r} = (x (s, t), y (s, t))}$

które teraz oba zależą od czasu t ze względu na zmieniające się współrzędne, gdy drut zmienia swój kształt. Zauważ, że czas pojawia się niejawnie poprzez współrzędne i jawnie w równaniach wiązania.

Proste wahadło

Proste wahadło. Ponieważ pręt jest sztywny, położenie boba jest ograniczone zgodnie z równaniem f ( x , y ) = 0, siła ograniczająca C jest naprężeniem w pręcie. Ponownie, nieograniczającą siłą N w tym przypadku jest grawitacja.

Model dynamiczny wahadła prostego.

Związek między wykorzystaniem współrzędnych uogólnionych a współrzędnymi kartezjańskimi do scharakteryzowania ruchu układu mechanicznego można zilustrować, biorąc pod uwagę ograniczoną dynamikę wahadła prostego.

Wahadło proste składa się z masy M zwisającej z punktu obrotu tak, że porusza się po okręgu o promieniu L. Położenie masy jest określone przez wektor współrzędnych r =(x, y) mierzony w płaszczyźnie okrąg taki, że y jest w kierunku pionowym. Współrzędne x i y są powiązane równaniem okręgu

${\ Displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} - L ^ {2} = 0,}$

które ogranicza ruch M. Równanie to zapewnia również ograniczenie składowych prędkości,

${\ Displaystyle {\ kropka {f}} (x, y) = 2x {\ kropka {x}} + 2y {\ kropka {y}} = 0.}$

Teraz wprowadź parametr θ, który określa położenie kątowe M od kierunku pionowego. Może być użyty do zdefiniowania współrzędnych x i y, takich, że

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (x, y) = (L \ sin \ theta, -L \ cos \ theta).}$

Użycie θ do zdefiniowania konfiguracji tego systemu pozwala uniknąć ograniczenia zapewnianego przez równanie okręgu.

Zauważ, że siła grawitacji działająca na masę m jest sformułowana w zwykłych współrzędnych kartezjańskich,

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (0,-mg)}$

gdzie g jest przyspieszeniem grawitacji.

Wirtualne ciężkości o masie m, jak to wynika trajektoria R jest przez

${\ Displaystyle \ delta W = \ mathbf {f} \ cdot \ delta \ mathbf {r}.}$

Odmianę r można obliczyć ze względu na współrzędne x i y lub ze względu na parametr θ, ${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ delta \ mathbf {r} = (\ delta x \ delta y) = (l \ cos \ teta, l \ sin \ teta) \ delta \ teta.}$

Tak więc wirtualna praca jest przekazywana przez

${\ Displaystyle \ delta W = - mg \ delta y = - mgL \ sin \ theta \ delta \ theta.}$

Zauważ, że współczynnik y jest składową y przyłożonej siły. W ten sam sposób współczynnik θ jest znany jako uogólniona siła wzdłuż uogólnionej współrzędnej θ, podana przez ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$

${\displaystyle F_{\theta}=-mgL\sin \theta.}$

Aby zakończyć analizę, rozważ energię kinetyczną T masy, wykorzystując prędkość,

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = ({\ kropka {x}}, {\ kropka {y}}) = (L \ cos \ theta, L \ sin \ theta) {\ kropka {\ theta}},}$

więc,

${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ Frac {1} {2}} m ({\ kropka {x}} ^ { 2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Postać D'Alemberta zasady pracy wirtualnej dla wahadła ze względu na współrzędne x i y są podane przez,

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} {\ Frac {\ częściowy T} {\ częściowy {\ kropka {x}}}} - {\ Frac {\ częściowy T} {\ częściowy x}} = F_ {x}+\lambda {\frac {\częściowy f}{\częściowy x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\częściowy T}{\częściowy {\kropka {y} }}}-{\frac {\częściowy T}{\częściowy r}}=F_{r}+\lambda {\frac {\częściowy f}{\częściowy r}}.}$

Daje to trzy równania

${\ Displaystyle m {\ ddot {x}} = \ lambda (2x), \ quad m {\ ddot {y}} = - mg + \ lambda (2 lata), \ quad x ^ {2} + r ^ {2} -L^{2}=0,}$

w trzech niewiadomych, x, y i λ.

Używając parametru θ, równania te przyjmują postać

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\częściowy T}{\częściowy {\dot {\theta}}}}-{\frac {\częściowy T}{\częściowy \theta}} =F_{\theta},}$

co staje się,

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta}}=-mgL\sin \theta,}$

lub

${\displaystyle {\ddot {\theta}}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

To sformułowanie daje jedno równanie, ponieważ istnieje jeden parametr i nie ma równania ograniczającego.

To pokazuje, że parametr θ jest uogólnioną współrzędną, która może być używana w taki sam sposób jak współrzędne kartezjańskie x i y do analizy wahadła.

Podwójne wahadło

Podwójne wahadło

Korzyści z uogólnionych współrzędnych stają się widoczne przy analizie wahadła podwójnego . W odniesieniu do dwóch mas m _I , i = 1, 2, niech R _i = (x _i y _i ), i = 1, 2 określają swoje dwa tory. Te wektory spełniają dwa równania więzów,

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}- L_{1}^{2}=0}$

i

${\ Displaystyle f_ {2} (x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}) = (\ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r} _ {1}) \cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

Sformułowanie równań Lagrange'a dla tego układu daje sześć równań w czterech współrzędnych kartezjańskich x _i , y _i i=1, 2 oraz dwóch mnożników Lagrange'a λ _i , i=1, 2, które wynikają z dwóch równań ograniczeń.

Teraz wprowadź uogólnione współrzędne θ _i i=1,2 określające kątowe położenie każdej masy podwójnego wahadła od kierunku pionowego. W tym przypadku mamy

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {1} = (L_ {1} \ sin \ theta _ {1}, - L_ {1} \ cos \ theta _ {1}), \ quad \ mathbf {R} _ {2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{ 2}\cos \theta _{2}).}$

Siła grawitacji działająca na masy jest dana wzorem,

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = (0,-m_ {1} g), \ quad \ mathbf {F} _ {2} = (0,-m_ {2} g)}$

gdzie g jest przyspieszeniem grawitacji. Dlatego wirtualna praca grawitacji na dwóch masach podążających po trajektoriach r _i , i=1,2 jest dana wzorem

${\ Displaystyle \ delta W = \ mathbf {f} _ {1} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {1} + \ mathbf {f} _ {2} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ { 2}.}$

Warianty δ r _i i=1, 2 można obliczyć jako

${\ Displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {1} = (L_ {1} \ cos \ theta _ {1}, L_ {1} \ sin \ theta _ {1}) \ delta \ theta _ {1} ,\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1} +(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

Tak więc wirtualna praca jest przekazywana przez

${\ Displaystyle \ delta W = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1} \ delta \ theta _ {1} - m_ {2} gL_ {2} \ grzech \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

a siły uogólnione są

${\ Displaystyle F_ {\ theta _ {1}} = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1}, \ quad F_ {\ theta _ {2}} = -m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Oblicz energię kinetyczną tego układu, aby była

${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}} m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1} + {\ Frac {1} {2}} m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1} ^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta } }_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1 }{\kropka {\theta }}_{2}.}$

Równanie Eulera-Lagrange'a daje dwa równania w nieznanych współrzędnych uogólnionych θ _i i=1, 2, podane przez

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta}}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta _{2}} }^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

i

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta}}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta}}_{ 1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta _{1}}}^{2}\sin (\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Zastosowanie współrzędnych uogólnionych θ _i i=1, 2 stanowi alternatywę dla kartezjańskiego sformułowania dynamiki wahadła podwójnego.

Wahadło sferyczne

Wahadło kuliste: kąty i prędkości.

Dla przykładu 3d, kulistego wahadła o stałej długości l, które może swobodnie kołysać się w dowolnym kierunku kątowym pod wpływem grawitacji, ograniczenie na bębnie wahadła można określić w postaci

${\ Displaystyle f (\ mathbf {r} ) = x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2} - l ^ {2} = 0 \ ,,}$

gdzie można zapisać pozycję wahadła

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta,\phi),y(\theta,\phi),z(\theta,\phi))\,,}$

gdzie ( θ , φ ) są sferycznymi kątami biegunowymi, ponieważ bob porusza się po powierzchni kuli. Pozycja r jest mierzona wzdłuż punktu zawieszenia do bębenka, tutaj traktowanego jako cząstka punktowa . Logicznym wyborem współrzędnych uogólnionych do opisu ruchu są kąty ( θ , φ ). Potrzebne są tylko dwie współrzędne zamiast trzech, ponieważ położenie boba można sparametryzować dwiema liczbami, a równanie więzów łączy trzy współrzędne x , y , z, więc dowolna z nich jest określana na podstawie pozostałych dwóch.

Współrzędne uogólnione i praca wirtualna

Zasada Virtual pracy stanowi, że jeżeli system znajduje się w stanie równowagi statycznej, wirtualny dziełem sił wywieranych wynosi zero dla wszystkich ruchów wirtualnych systemu z tego stanu, to znaczy, W = 0 dla każdej wariacji r . Sformułowane w postaci współrzędnych uogólnionych jest to równoważne wymaganiu, aby siły uogólnione dla dowolnego przemieszczenia wirtualnego były równe zeru, czyli F _i =0. ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$

Niech siły działające na układ F _j , j=1, ..., m zostaną przyłożone do punktów o współrzędnych kartezjańskich r _j , j=1,..., m, następnie praca wirtualna wygenerowana przez wirtualne przemieszczenie z pozycja równowagi jest dana przez

${\ Displaystyle \ delta W = \ suma _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {j}.}$

gdzie δ r _j , j=1, ..., m oznaczają wirtualne przemieszczenia każdego punktu w ciele.

Załóżmy teraz, że każdy δ r _j zależy od uogólnionych współrzędnych q _i , i=1, ..., n , wtedy

${\ Displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {j} = {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {r} _ {j}} {\ częściowy q_ {1}}} \ delta {q} _ {1}+ \ldots +{\frac {\częściowy \mathbf {r} _{j}}{\częściowy q_{n}}}\delta {q}_{n},}$

i

${\ Displaystyle \ delta W = \ lewo (\ suma _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {r} _ {j}} { \partial q_{1}}}\right)\delta {q}_{1}+\ldots +\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\częściowy \mathbf {r} _{j}}{\częściowy q_{n}}\prawo)\delta {q}_{n}.}$

Gdy n warunki

${\ Displaystyle F_ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {R} _ {j}} {\ częściowy q_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

to uogólnione siły działające na system. Kane pokazuje, że te uogólnione siły można również sformułować jako stosunek pochodnych czasowych,

${\ Displaystyle F_ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {v} _ {j}} {\ częściowy {\dot {q}}_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

gdzie v _j jest prędkością punktu przyłożenia siły F _j .

Aby praca wirtualna była zerowa dla dowolnego wirtualnego przemieszczenia, każda z uogólnionych sił musi wynosić zero, czyli

${\ Displaystyle \ delta W = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad F_ {i} = 0, i = 1 \ ldots, n.}$

Zobacz też

• Współrzędne kanoniczne
• mechanika hamiltonowska
• Praca wirtualna
• Współrzędne ortogonalne
• Współrzędne krzywoliniowe
• Macierz masy
• Matryca sztywności
• Siły uogólnione

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia cytowanych odniesień

• Ginsberg, Jerry H. (2008). Dynamika inżynierii (wyd. 3). Cambridge Wielka Brytania: Cambridge University Press . Numer ISBN 978-0-521-88303-0.
• krokiet, TWB ; Berkshire, FH (2004). Mechanika Klasyczna (wyd. 5). River Edge NJ: Imperial College Press . Numer ISBN 1860944248.