Problem z wartością początkową - Initial value problem

W wielu zmiennych rachunku An problemu wartości początkowej ( IVP ) jest zwykłe równania różniczkowego wraz ze stanu początkowego , który określa wartość nieznanej funkcji w danym punkcie w dziedzinie . Modelowanie systemu w fizyce lub innych naukach często sprowadza się do rozwiązania problemu z wartością początkową. W tym kontekście różniczkowa wartość początkowa jest równaniem, które określa, jak system ewoluuje w czasie w warunkach początkowych problemu.

Definicja

Problemem wartość początkowa jest równanie różniczkowe

${\ Displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ z którym jest otwartym zbiorem ,${\ Displaystyle f \ dwukropek \ Omega \ podzbiór \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$

wraz z punktem w domenie ${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle (t_ {0}, Y_ {0}) \ w \ Omega,}$

nazywany warunkiem początkowym .

Roztwór do zagadnienia początkowego jest funkcją , która jest rozwiązaniem równania różniczkowego i spełnia ${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

W wyższych wymiarach równanie różniczkowe jest zastępowane rodziną równań i jest postrzegane jako wektor , najczęściej związany z położeniem w przestrzeni. Mówiąc bardziej ogólnie, nieznana funkcja może przyjmować wartości na przestrzeniach nieskończenie wymiarowych, takich jak przestrzenie Banacha lub przestrzenie rozkładów . ${\ Displaystyle y_ {i} '(t) = f_ {i} (t, r_ {1} (t), r_ {2} (t), \ dotsc )}$${\ Displaystyle y (t)}$${\ Displaystyle (y_{1}(t),\dotsc,y_{n}(t))}$${\displaystyle y}$

Problemy z wartością początkową są rozszerzane do wyższych rzędów, traktując pochodne w taki sam sposób, jak funkcję niezależną, np . . ${\ Displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

Istnienie i niepowtarzalność rozwiązań

Twierdzenie Picarda-Lindelöfa gwarantuje unikalne rozwiązanie na pewnym przedziale zawierającym t _0, jeśli f jest ciągłe na obszarze zawierającym t ₀ i y ₀ i spełnia warunek Lipschitza na zmiennej y . Dowód tego twierdzenia polega na przeformułowaniu problemu jako równoważnego równania całkowego . Całkę można uznać za operator, który odwzorowuje jedną funkcję na drugą, tak że rozwiązaniem jest stały punkt operatora. Następnie przywołuje się twierdzenie Banacha o punkcie stałym, aby pokazać, że istnieje unikalny punkt stały, który jest rozwiązaniem problemu wartości początkowej.

Starszy dowód twierdzenia Picarda-Lindelöfa konstruuje sekwencję funkcji, które zbiegają się do rozwiązania równania całkowego, a tym samym rozwiązania problemu wartości początkowej. Taka konstrukcja bywa nazywana „metodą Picarda” lub „metodą kolejnych przybliżeń”. Ta wersja jest w istocie szczególnym przypadkiem twierdzenia Banacha o punkcie stałym.

Hiroshi Okamura uzyskał warunek konieczny i wystarczający, aby rozwiązanie problemu wartości początkowej było unikalne. Warunek ten ma związek z istnieniem funkcji Lapunowa dla systemu.

W niektórych sytuacjach funkcja f nie należy do klasy C ¹ , ani nawet Lipschitz , więc nie ma zastosowania zwykły wynik gwarantujący lokalne istnienie unikalnego rozwiązania. Istnienie twierdzenie Peano jednak okazuje się, że nawet w przypadku F jedynie ciągły rozwiązania są gwarantowane istnieć miejscowo w czasie; problem polega na tym, że nie ma gwarancji wyjątkowości. Wynik można znaleźć w Coddington i Levinson (1955, Twierdzenie 1.3) lub Robinson (2001, Twierdzenie 2.6). Jeszcze bardziej ogólnym wynikiem jest twierdzenie Carathéodory'ego o istnieniu , które dowodzi istnienia pewnych funkcji nieciągłych f .

Przykłady

Prostym przykładem jest rozwiązanie i . Próbujemy znaleźć wzór, który spełnia te dwa równania. ${\ Displaystyle y'(t) = 0,85y (t)}$${\ Displaystyle y (0) = 19}$${\ Displaystyle y (t)}$

Zmień układ równania tak, aby znajdowało się po lewej stronie ${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle {\ Frac {y'(t)}{y (t)}} = 0,85}$

Teraz integruj obie strony względem (wprowadza to nieznaną stałą ). ${\displaystyle t}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {y'(t)}{y (t)}} \ dt = \ int 0,85 \ dt}$

${\ Displaystyle \ ln | r (t) | = 0,85 t + B}$

Wyeliminuj logarytm z potęgą po obu stronach

${\ Displaystyle | Y (t) | = e ^ {B} e ^ {0,85 t}}$

Niech będzie nową nieznaną stałą, , więc ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C = \ pm e ^ {B}}$

${\ Displaystyle y (t) = Ce ^ {0,85 t}}$

Teraz musimy znaleźć wartość dla . Użyj jak podano na początku i zastąp 0 za i 19 za${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle y (0) = 19}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle 19 = Ce ^ {0,85 \ cdot 0}}$

${\ Displaystyle C = 19}$

daje to ostateczne rozwiązanie . ${\ Displaystyle y (t) = 19e ^ {0,85 t}}$

Drugi przykład

Rozwiązanie

${\ Displaystyle y'+ 3y = 6t + 5, \ qquad y (0) = 3}$

można znaleźć

${\ Displaystyle y (t) = 2e ^ {-3 t} + 2 t + 1. \,}$

W rzeczy samej,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} y '+ 3y i = {\ tfrac {d} {dt}} (2e ^ {-3 t} + 2 t + 1) + 3 (2e ^ {-3 t} + 2 t + 1) \\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{wyrównany}}}$

Uwagi

Zobacz też

• Problem z wartością brzegową
• Stała integracji
• Krzywa całkowa

Bibliografia