Twierdzenie o strukturze dla nieskończenie generowanych modułów w głównej dziedzinie idealnej - Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain

W matematyce , w dziedzinie algebry abstrakcyjnej , twierdzenie o strukturze dla nieskończenie generowanych modułów w domenie ideału głównego jest uogólnieniem podstawowego twierdzenia o skończenie generowanych grupach abelowych i z grubsza stwierdza, że skończenie generowane moduły w głównej dziedzinie idealnej (PID) mogą być jednoznacznie rozłożone w taki sam sposób, w jaki liczby całkowite mają pierwszy faktoryzację . Wynik zapewnia prostą strukturę do zrozumienia różnych wyników postaci kanonicznych dla macierzy kwadratowych nad polami .

Komunikat

Gdy przestrzeń wektorowa nad polem F ma skończony zbiór generatorów, to można z niej wyodrębnić bazę składającą się ze skończonej liczby n wektorów, a zatem przestrzeń jest izomorficzna do F ⁿ . Odpowiednia instrukcja z F uogólniona na główną domenę idealną R nie jest już prawdziwa, ponieważ podstawa dla skończenie generowanego modułu nad R może nie istnieć. Jednak taki moduł jest nadal izomorficzny z ilorazem pewnego modułu R ⁿ z n skończonym (aby to zobaczyć, wystarczy skonstruować morfizm, który wysyła elementy kanonicznej podstawy R ⁿ do generatorów modułu i wziąć iloraz przez jego jądro .) Zmieniając wybór zestawu generującego, można w rzeczywistości opisać moduł jako iloraz pewnego R ⁿ przez szczególnie prosty submoduł , a to jest twierdzenie o strukturze.

Twierdzenie o strukturze dla nieskończenie generowanych modułów w głównej dziedzinie idealnej zwykle pojawia się w następujących dwóch formach.

Niezmienny rozkład czynnikowy

Dla każdej wytworzonej skończoną modułu M na główny idealnym domeny B , jest unikalny zmniejszenie sekwencja odpowiednich idei takie, że K jest izomorficzny w sumie z modułów cyklicznych : ${\ Displaystyle (d_ {1}) \ supseteq (d_ {2}) \ supseteq \ cdots \ supseteq (d_ {n})}$

${\ Displaystyle M \ cong \ bigoplus _ {i} R / (d_ {i}) = R / (d_ {1}) \ oplus R / (d_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (d_ { n}).}$

Generatory z ideałami są unikalne do mnożenia przez jednostki , i nazywane są niezmienne czynniki o M . Ponieważ ideały powinny być właściwe, czynniki te same w sobie nie mogą być odwracalne (pozwala to uniknąć trywialnych czynników w sumie), a włączenie ideałów oznacza, że ​​istnieje podzielność . Wolna część jest widoczna w części rozkładu odpowiadającej czynnikom . Takie czynniki, jeśli istnieją, występują na końcu sekwencji. ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ Displaystyle d_ {1} \, | \, d_ {2} \, | \, \ cdots \, | \, d_ {n}}$${\ displaystyle d_ {i} = 0}$

Podczas gdy suma bezpośrednia jest jednoznacznie określona przez M , izomorfizm powodujący sam rozkład nie jest na ogół wyjątkowy . Na przykład, jeśli R jest w rzeczywistości polem, to wszystkie występujące ideały muszą wynosić zero i uzyskuje się dekompozycję skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej na bezpośrednią sumę jednowymiarowych podprzestrzeni ; liczba takich czynników jest stała, czyli wymiar przestrzeni, ale jest duża swoboda przy wyborze samych podprzestrzeni (jeśli dim M > 1 ).

Niezerowe elementy, których liczba wynosi zero, tworzą kompletny zestaw niezmienników dla modułu. Wyraźnie oznacza to, że dowolne dwa moduły współdzielące ten sam zestaw niezmienników są z konieczności izomorficzne. ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle d_ {i}}$

Niektórzy wolą pisać wolną część M osobno:

${\ Displaystyle R ^ {f} \ oplus \ bigoplus _ {i} R / (d_ {i}) = R ^ {f} \ oplus R / (d_ {1}) \ oplus R / (d_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (d_ {nf})}$

gdzie widoczne są niezerowe, a f jest liczbą w oryginalnej sekwencji, która wynosi 0. ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle d_ {i}}$

Rozkład pierwotny

Każdy skończony moduł M nad główną domeną idealną R jest izomorficzny do jednej z postaci

${\ displaystyle \ bigoplus _ {i} R / (q_ {i})}$

gdzie i są podstawowe ideały . Są unikalne (do mnożenia przez jednostki). ${\ displaystyle (q_ {i}) \ neq R}$${\ displaystyle (q_ {i})}$${\ displaystyle q_ {i}}$

Elementy nazywane są elementarne dzielniki o M . W PID niezerowe ideały pierwotne są potęgami liczb pierwszych i tak dalej . Kiedy wynikowy nierozkładalny moduł jest sobą, a to znajduje się wewnątrz części M, która jest wolnym modułem. ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ Displaystyle (q_ {i}) = (p_ {i} ^ {r_ {i}}) = (p_ {i}) ^ {r_ {i}}}$${\ displaystyle q_ {i} = 0}$${\ displaystyle R}$

Sumy są nierozkładalne , więc pierwotna dekompozycja jest dekompozycją na nierozkładalne moduły, a zatem każdy skończenie generowany moduł na PID jest modułem całkowicie rozkładalnym . Ponieważ PID są pierścieniami Noetherian , można to postrzegać jako manifestację twierdzenia Laskera-Noether . ${\ displaystyle R / (q_ {i})}$

Tak jak poprzednio, istnieje możliwość oddzielnego zapisu części wolnej (gdzie ) i wyrażenia M jako: ${\ displaystyle q_ {i} = 0}$

${\ Displaystyle R ^ {f} \ oplus (\ bigoplus _ {i} R / (q_ {i}))}$

gdzie widoczne są niezerowe. ${\ displaystyle q_ {i}}$

Dowody

Jeden dowód przebiega w następujący sposób:

• Każdy skończenie generowany moduł w PID jest również przedstawiany w sposób skończony, ponieważ PID jest Noetherian, co jest jeszcze silniejszym warunkiem niż koherencja .
• Weź prezentację, która jest mapą (relacje z generatorami) i umieść ją w normalnej formie Smitha . ${\ Displaystyle R ^ {r} \ do R ^ {g}}$

Daje to niezmienniczy rozkład czynnikowy, a ukośne wpisy postaci normalnej Smitha są czynnikami niezmiennymi.

Inny zarys dowodu:

• Oznaczmy przez tM z submodule skrętną z M . Wtedy M / tM jest skończenie generowanym modułem wolnym od skręcania , a taki moduł nad przemiennym PID jest modułem swobodnym o skończonym rzędzie , więc jest izomorficzny dla dodatniej liczby całkowitej n . Ten wolny moduł może być osadzony jako podmoduł F lub M , tak że osadzanie dzieli (jest prawą odwrotnością) mapy projekcji; wystarczy podnieść każdy z generatorów F do M . W konsekwencji . ${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ displaystyle M = tM \ oplus F}$
• Przez element pierwszy p w R możemy wtedy mówić . Jest to podmoduł tM i okazuje się, że każdy N _p jest bezpośrednią sumą modułów cyklicznych, a tM jest bezpośrednią sumą N _p dla skończonej liczby różnych liczb pierwszych p . ${\ Displaystyle N_ {p} = \ {m \ w tM \ mid \ istnieje ja, mp ^ {i} = 0 \}}$
• Łącząc ze sobą poprzednie dwa kroki, M rozkłada się na cykliczne moduły wskazanych typów.

Wnioski

Obejmuje to klasyfikację skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych jako szczególnego przypadku, gdzie . Ponieważ pola nie mają nietrywialnych ideałów, każda skończona generowana przestrzeń wektorowa jest wolna. ${\ displaystyle R = K}$

Biorąc daje podstawowe twierdzenie o nieskończenie generowanych grupach abelowych . ${\ displaystyle R = \ mathbb {Z}}$

Niech t będzie operator Liniowy przestrzeń wektorową skończonej trójwymiarowy V na K . Biorąc The Algebra z wielomianów z współczynników K oceniano na T , dostarcza informacji o strukturze T . V można postrzegać jako skończenie generowany moduł . Ostatnim niezmiennym czynnikiem jest minimalny wielomian , a iloczynem niezmiennych czynników jest wielomian charakterystyczny . W połączeniu ze standardową formą macierzową dla , daje to różne formy kanoniczne : ${\ displaystyle R = K [T]}$${\ displaystyle K [T]}$${\ Displaystyle K [T] / p (T)}$

• niezmienne czynniki + macierz towarzysząca daje postać normalną Frobeniusa (aka, racjonalna forma kanoniczna )
• pierwotny rozkład + towarzysząca macierz daje podstawową racjonalną formę kanoniczną
• pierwotna dekompozycja + bloki Jordana daje postać kanoniczną Jordana (ta ostatnia zachowuje się tylko nad algebraicznie zamkniętym ciałem )

Wyjątkowość

Podczas gdy niezmienniki (ranga, czynniki niezmiennicze i elementarne dzielniki) są unikalne, izomorfizm między M a jego formą kanoniczną nie jest wyjątkowy i nie zachowuje nawet bezpośredniego rozkładu sumy . Wynika to z faktu, że istnieją nietrywialne automorfizmy tych modułów, które nie zachowują wierzchołków.

Jednak jeden ma kanoniczny podmoduł skrętny T i podobne podmoduły kanoniczne odpowiadające każdemu (odrębnemu) niezmiennemu czynnikowi, które dają sekwencję kanoniczną:

${\ Displaystyle 0 <\ cdots <T <M.}$

Porównaj szeregi kompozycji w twierdzeniu Jordana – Höldera .

Na przykład, jeśli i jest jedną podstawą, to jest inną podstawą, a zmiana macierzy bazy nie zachowuje sumy . Jednak zachowuje sumę, ponieważ jest to podmoduł skrętny (odpowiednik tutaj elementów 2-skrętnych). ${\ displaystyle M \ ok \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / 2}$${\ displaystyle (1, {\ bar {0}}), (0, {\ bar {1}})}$${\ displaystyle (1, {\ bar {1}}), (0, {\ bar {1}})}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 i 0 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2}$

Uogólnienia

Grupy

Twierdzenie Jordana – Höldera jest bardziej ogólnym wynikiem dla skończonych grup (lub modułów nad dowolnym pierścieniem). W tej ogólności uzyskuje się raczej serię kompozycji niż bezpośrednią sumę .

Twierdzenie Krulla-Schmidta i powiązane wyniki dają warunki, w których moduł ma coś w rodzaju pierwotnej dekompozycji, dekompozycji jako bezpośredniej sumy nierozkładalnych modułów, w których sumy są unikalne aż do uporządkowania.

Rozkład pierwotny

Podstawowy rozkład uogólnia się na skończenie generowane moduły nad przemiennymi pierścieniami Noetherian , a ten wynik nazywa się twierdzeniem Laskera-Noether .

Nierozkładalne moduły

Natomiast unikalny rozkład na nierozkładalne podmoduły nie uogólnia tak daleko, a niepowodzenie jest mierzone przez idealną grupę klas , która znika w przypadku PIDów.

W przypadku pierścieni, które nie są głównymi domenami idealnymi, unikalna dekompozycja nie musi nawet zachodzić dla modułów w pierścieniu utworzonym przez dwa elementy. Dla pierścienia R  =  Z [√ − 5] zarówno moduł R, jak i jego podmoduł M wygenerowany przez 2 i 1 + √ − 5 są nierozkładalne. Podczas gdy R nie jest izomorficzny z M , R  ⊕  R jest izomorficzny z M  ⊕  M ; W ten sposób obrazy z M summands dać nierozkładalny podmoduły L ₁ ,  L ₂  <  R  ⊕  R , które dają inny rozkład R  ⊕  R . Niepowodzenie wyjątkowo factorizing R  ⊕  R w bezpośrednim suma modułów nierozkładalnych jest bezpośrednio związany (przez grupę klasy idealnym) w niewydolności unikalnego faktoryzacji elementami R język nieredukowalnych elementami R .

Jednak w domenie Dedekind idealna grupa klas jest jedyną przeszkodą, a twierdzenie o strukturze uogólnia na skończenie generowane moduły w domenie Dedekind z niewielkimi modyfikacjami. Nadal istnieje unikalna część skrętna, z uzupełnieniem wolnym od skręcania (unikalnym aż do izomorfizmu), ale moduł wolny od skrętów w domenie Dedekind niekoniecznie jest już wolny. Moduły wolne od skręcania w domenie Dedekind są określane (do izomorfizmu) przez rangę i klasę Steinitza (która przyjmuje wartość w idealnej grupie klas), a rozkład na bezpośrednią sumę kopii R (wolne moduły o randze jeden) jest zastępowany przez suma bezpośrednia w szereg modułów rzutowych : poszczególne szczyty nie są jednoznacznie określone, ale klasa Steinitza (sumy) jest.

Moduły generowane w sposób nieskończony

Podobnie w przypadku modułów, które nie są generowane w sposób skończony, nie można oczekiwać tak ładnego rozkładu: nawet liczba czynników może się zmieniać. Istnieją Z -submodules z Q ⁴ , które są jednocześnie bezpośrednie sumy dwóch nierozkładalnych modułów i bezpośrednich sumy trzech modułów nierozkładalnych, pokazujące analog rozkładu pierwotnego nie może posiadać na nieskończenie generowanych modułów, nawet w ciągu liczb całkowitych, Z .

Inną kwestią, która pojawia się w przypadku modułów generowanych w sposób nieskończony, jest to, że istnieją moduły bez skręcania, które nie są wolne. Rozważmy na przykład pierścień Z liczb całkowitych. W takim razie Q jest modułem Z bez skręcania, który nie jest wolny. Innym klasycznym przykładem takiego modułu jest grupa Baera – Speckera , czyli grupa wszystkich ciągów liczb całkowitych podlegających dodawaniu termicznemu. Ogólnie rzecz biorąc, kwestia, które nieskończenie generowane wolne od skrętów grupy abelowe są wolne, zależy od tego, jakie duże kardynały istnieją. Konsekwencją jest to, że każde twierdzenie o strukturze dla nieskończenie generowanych modułów zależy od wyboru aksjomatów teorii mnogości i może być nieważne przy innym wyborze.

Bibliografia