Funkcja stała - Constant function

W matematyce , A stałą funkcją jest funkcja którego wartość (wyjście) jest taka sama dla każdej wartości sygnału wejściowego. Na przykład funkcja $y (x) = 4$ jest funkcją stałą, ponieważ wartość $y (x)$ wynosi 4 niezależnie od wartości wejściowej $x$ (patrz rysunek).

Podstawowe właściwości

Jako funkcja o wartości rzeczywistej argumentu o wartości rzeczywistej, funkcja stała ma ogólną postać $y (x) = c$ lub po prostu $y = c$ .

Przykład: Funkcja

y (x) = 2

lub po prostu

y = 2

jest określoną stałą funkcją, której wartość wyjściowa wynosi

c = 2

. Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R . Codomain tej funkcji jest tylko {2}. Zmienna niezależna x nie pojawia się po prawej stronie wyrażenia funkcji, więc jej wartość jest „pusto zastępowana”. Mianowicie

y (0) = 2

,

Y (-2.7) = 2

,

r (n) = 2

, i tak dalej. Bez względu na to, jaka wartość x jest wejściowa, wyjściem jest „2”.

Przykład ze świata rzeczywistego: sklep, w którym każdy przedmiot jest sprzedawany w cenie 1 dolara.

Wykres funkcji stałej $y = c$ jest linią poziomą w płaszczyźnie przechodzącej przez punkt $(0, c)$ .

W kontekście wielomianu w jednej zmiennej x , niezerowa funkcja stałej jest wielomianem stopnia 0, a jej ogólna postać to $f (x) = c ,$ gdzie $c$ jest niezerowe. Ta funkcja nie ma punktu przecięcia z osią x , to znaczy nie ma pierwiastka (zero) . Z drugiej strony, wielomian $f (x)=0$ jest identycznie zerową funkcją . Jest to (trywialna) funkcja stała, a każdy x jest pierwiastkiem. Jego wykresem jest oś x w płaszczyźnie.

Funkcja stała jest funkcją parzystą , tzn. wykres funkcji stałej jest symetryczny względem osi y .

W kontekście, w którym jest zdefiniowana, pochodna funkcji jest miarą szybkości zmiany wartości funkcji w stosunku do zmiany wartości wejściowych. Ponieważ funkcja stała się nie zmienia, jej pochodna wynosi 0. Często zapisuje się to: . Odwrotność też jest prawdziwa. Mianowicie, jeśli $y$ $'($ $x$ $) = 0$ dla wszystkich liczb rzeczywistych x , to y jest funkcją stałą. ${\ Displaystyle (x \ mapsto c) '= 0}$

Przykład: Biorąc pod uwagę stałą funkcję . Pochodna y jest identycznie zerową funkcją .

{\ Displaystyle y (x) = - {\ sqrt {2}}}

{\ Displaystyle y '(x) = \ lewo (x \ mapsto - {\ sqrt {2}} \ prawo) '= 0}

Inne właściwości

W przypadku funkcji między zestawami wstępnie uporządkowanymi , funkcje stałe są zarówno zachowujące, jak i odwracające porządek ; I odwrotnie, jeśli f jest zarówno w celu zachowująca celu odwracania i jeżeli domena stanowi f jest kratownica , a M może być stała.

Każda funkcja stała którego domeną i codomain są takie same zbiór X jest w lewo do zera z pełnym monoid transformacji na X , co oznacza, że jest to również idempotent .
Każda stała funkcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi jest ciągła .
Funkcja stała dzieli się przez zbiór jednopunktowy , obiekt końcowy w kategorii zbiorów . Ta obserwacja ma zasadnicze znaczenie dla aksjomatyzacji teorii mnogości F. Williama Lawvere'a , Elementarnej Teorii Kategorii Zbiorów (ETCS).
Każdy zbiór X jest izomorficzny ze zbiorem stałych funkcji w nim zawartych. Dla każdego elementu x i dowolnego zestawu Y istnieje unikalna funkcja, taka, że dla wszystkich . I odwrotnie, jeśli funkcja spełnia wszystkie warunki , jest z definicji funkcją stałą. ${\ Displaystyle {\ tylda {x}}: Y \ do X}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {x}}: Y \ do X}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {x}} (y) = x}$ ${\tylda {x}}(y)=x$ ${\ Displaystyle y \ w Y}$ $y\w Y$ $f:Y\do X$ $f:Y\do X$ ${\ Displaystyle f (y) = f \ lewo (y' \ prawo)}$ ${\ Displaystyle f (y) = f \ lewo (y' \ prawo)}$ $r,y'\w Y$ $y,y'\w Y$ $f$ $F$
- W konsekwencji zbiór jednopunktowy jest generatorem w kategorii zbiorów.
- Każdy zbiór jest kanonicznie izomorficzny ze zbiorem funkcji lub zbiorem hom w kategorii zbiorów, gdzie 1 jest zbiorem jednopunktowym. Z tego powodu oraz sprzężenia iloczynów kartezjańskich i hom w kategorii zbiorów (a więc między funkcjami dwóch zmiennych a funkcjami jednej zmiennej wartościowanymi w funkcjach innej (pojedynczej) zmiennej występuje kanoniczny izomorfizm ) kategoria zbiorów jest zamknięty monoidal kategorii z iloczyn kartezjański zestawów jak tensor produktu i jeden zestaw punktu jako napinającej urządzenia. W isomorphisms naturalny X , lewy i prawy unitors są występy i z uporządkowanych par i , odpowiednio, z elementem , w którym jest unikalny punkt w zbiorze jednopunktowym. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {1}}$ $\operatorname {dom} (1,X)$ ${\ Displaystyle \ operatorname {hom} (X \ razy Y, Z) \ cong \ operatorname {hom} (X (\ operatorname {hom} (Y, Z))}$ ${\ Displaystyle \ lambda : 1 \ razy X \ cong X \ cong X \ razy 1: \ rho }$ $p_{1}$ $p_{2}$ ${\ Displaystyle (*, x)}$ ${\ Displaystyle (x,*)}$ $x$ ${\ Displaystyle *}$