Niezależność (logika matematyczna) - Independence (mathematical logic)

W logice matematycznej , niezależność jest unprovability o zdaniu z innych zdań.

Zdanie σ jest niezależny od danej pierwszego rzędu teorii T czy T nie dowodzi ani odpiera Ď; to znaczy, niemożliwe jest udowodnienie σ z T , a także niemożliwe jest udowodnienie z T, że σ jest fałszywe. Czasami mówi się, że σ (synonimicznie) jest nierozstrzygalne z T ; nie jest to takie samo znaczenie „ rozstrzygalności ”, jak w przypadku problemu decyzyjnego .

Teoria T jest niezależny , jeżeli każdy aksjomat w T nie jest udowodnione od pozostałych aksjomatów w T . Teoria, dla której istnieje niezależny zbiór aksjomatów, jest niezależnie aksjomatyzowalna .

Uwaga dotycząca użytkowania

Niektórzy autorzy twierdzą, że σ jest niezależne od T, gdy T po prostu nie może udowodnić σ, i niekoniecznie twierdzą przez to, że T nie może obalić σ. Autorzy ci czasami mówią, że „σ jest niezależne od T i zgodne z T ”, aby wskazać, że T nie może ani udowodnić, ani obalić σ.

Niezależność skutkuje teorią mnogości

Wiele interesujących stwierdzeń z teorii mnogości jest niezależnych od teorii mnogości Zermelo – Fraenkla (ZF). Następujące stwierdzenia w teorii mnogości są znane jako niezależne od ZF, przy założeniu, że ZF jest spójny:

Następujące stwierdzenia (z których żadne nie zostało udowodnione fałszywie) nie mogą być udowodnione w ZFC (teoria mnogości Zermelo-Fraenkla plus aksjomat wyboru) jako niezależne od ZFC, przy dodanej hipotezie, że ZFC jest spójny.

Poniższe stwierdzenia są niezgodne z aksjomatem wyboru, a zatem z ZFC. Jednak są one prawdopodobnie niezależne od ZF, w sensie odpowiadającym powyższemu: nie można ich udowodnić w ZF, a niewielu teoretyków zbiorów roboczych spodziewa się, że znajdzie ich obalenie w ZF. Jednak ZF nie może udowodnić, że są niezależne od ZF, nawet z dodaną hipotezą, że ZF jest spójny.

Zastosowania do teorii fizycznej

Od 2000 roku niezależność logiczna stała się kluczowa dla podstaw fizyki.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia