Fryz grupa - Frieze group
W matematyce fryz lub wzór fryzowy to wzór na dwuwymiarowej powierzchni, która jest powtarzalna w jednym kierunku. Takie wzory często występują w architekturze i sztuce zdobniczej . Grupa fryzowa to zestaw symetrii wzoru fryzowego, w szczególności zestaw izometrii wzoru, czyli przekształcenia geometryczne zbudowane ze sztywnych ruchów i odbić, które zachowują wzór. Matematyczne badanie wzorów fryzów pokazuje, że można je podzielić na siedem typów według ich symetrii.
Grupy fryzowe to dwuwymiarowe grupy liniowe , mające powtórzenia tylko w jednym kierunku. Są one powiązane z bardziej złożonymi grupami tapet , które klasyfikują wzory powtarzające się w dwóch kierunkach oraz z grupami krystalograficznymi , które klasyfikują wzory powtarzające się w trzech kierunkach.
Ogólny
|
Formalnie grupa fryz jest klasa nieskończonych oddzielnych grup symetrycznych wzorów na pasie (nieskończenie szeroki prostokątny), a więc klasa grup o izometryczne płaszczyzny lub listwy. Grupa symetrii grupy fryzowej koniecznie zawiera przesunięcia i może zawierać odbicia poślizgu , odbicia wzdłuż długiej osi taśmy, odbicia wzdłuż wąskiej osi taśmy i obrót o 180° . Istnieje siedem grup fryzów wymienionych w tabeli zbiorczej. Wielu autorów przedstawia grupy fryzowe w innej kolejności.
Rzeczywiste grupy symetrii w obrębie grupy fryzowej charakteryzują się najmniejszą odległością translacji, a dla grup fryzowych z odbiciem linii pionowej lub obrotem o 180° (grupy 2, 5, 6 i 7) parametrem przesunięcia określającym oś odbicia lub punkt obrotu. W przypadku grup symetrii w płaszczyźnie dodatkowymi parametrami są kierunek wektora translacji, a dla grup fryzów z odbiciem linii poziomej, odbiciem poślizgu lub obrotem o 180° (grupy 3–7) położenie odbicia oś lub punkt obrotu w kierunku prostopadłym do wektora translacji. Tak więc istnieją dwa stopnie swobody dla grupy 1, trzy dla grup 2, 3 i 4 oraz cztery dla grup 5, 6 i 7.
Dla dwóch z siedmiu grup fryzowych (grupy 1 i 4) grupy symetrii są generowane pojedynczo , dla czterech (grupy 2, 3, 5 i 6) mają parę generatorów, a dla grupy 7 grupy symetrii wymagają trzech generatorów . Grupa symetrii w grupie fryzowej 1, 2, 3 lub 5 jest podgrupą grupy symetrii w ostatniej grupie fryzowej o tej samej odległości translacyjnej. Grupa symetrii w grupie fryzowej 4 lub 6 jest podgrupą grupy symetrii w ostatniej grupie fryzowej z połową odległości translacyjnej. Ta ostatnia grupa fryzów zawiera grupy symetrii najprostszych okresowych wzorów w pasku (lub płaszczyźnie), rząd kropek. Każda transformacja płaszczyzny pozostawiającej ten niezmienny wzorzec może zostać rozłożona na translację ( x , y ) ↦ ( n + x , y ) , po której opcjonalnie następuje odbicie w dowolnej osi poziomej ( x , y ) ↦ ( x , − y ) lub oś pionową ( x , y ) ↦ (− x , y ) , pod warunkiem, że oś ta jest wybrana w połowie lub w połowie między dwoma kropkami, lub obrót o 180°, ( x , y ) ↦ (− x , − y ) (jak wyżej). Dlatego w pewnym sensie ta grupa fryzu zawiera „największe” grupy symetrii, na które składają się wszystkie takie przekształcenia.
Włączenie warunku dyskretnego ma na celu wykluczenie grupy zawierającej wszystkie translacje oraz grupy zawierającej dowolnie małe translacje (np. grupa translacji poziomych według odległości wymiernych). Nawet poza skalowaniem i przesuwaniem jest nieskończenie wiele przypadków, np. przez uwzględnienie liczb wymiernych, których mianownikami są potęgi danej liczby pierwszej.
Włączenie warunku nieskończoności ma na celu wykluczenie grup, które nie mają tłumaczeń:
- grupa tylko tożsamości (izomorficzna C 1 , w trywialne grupy porządku: 1).
- grupę składającą się z tożsamości i odbicie w osi poziomej (izomorficzna C 2 , w cyklicznej grupie rzędu 2).
- grupy, z których każda składa się z tożsamości i odbicia w osi pionowej (jak wyżej)
- grupy, z których każda składa się z tożsamości i obrotu o 180° wokół punktu na osi poziomej (jak wyżej)
- grupy składające się z tożsamości, odbicia w osi pionowej, odbicia w osi poziomej i obrotu o 180° wokół punktu przecięcia (izomorficzny z czterema grupami Kleina )
Opisy siedmiu grup fryzowych
Istnieje siedem odrębnych podgrup (do skalowania i przesuwania wzorów) w dyskretnej grupie fryzowej generowanej przez translację, odbicie (wzdłuż tej samej osi) i obrót o 180°. Każda z tych podgrup jest grupą symetrii wzoru fryzu, a przykładowe wzory pokazano na rys. 1. Siedem różnych grup odpowiada 7 nieskończonym szeregom grup punktów osiowych w trzech wymiarach , gdzie n = ∞.
Są one określone w poniższej tabeli stosując notację Hermann-MAUGUIN (lub notacji IUC ), notacji Coxeter , notacji Schönflies , Orbifold notacji , przezwiska tworzone przez matematyk John H. Conway , wreszcie opis w zakresie tłumaczeń, refleksje i obrotów.
| IUC | Sternik. | Schön. * | Schemat, § Orbifold |
Przykłady i pseudonim
Conway |
Opis |
|---|---|---|---|---|---|
| p1 | [∞] + 
|
C ∞ Z ∞ |
 ∞∞ |
FFFFFFFF chmiel
  |
(T) Tylko tłumaczenia: Ta grupa jest generowana pojedynczo, przez tłumaczenie o najmniejszą odległość, na której wzór jest okresowy. |
| p11g | [∞ + ,2 + ] 
|
S ∞ Z ∞ |
 ∞× |
Γ L Γ L Γ L Γ L krok
  |
(TG) Odbicia poślizgu i translacje: Ta grupa jest generowana pojedynczo, przez odbicie poślizgu, przy czym translacje uzyskuje się przez połączenie dwóch odbić poślizgu. |
| p1m1 | [∞]
|
C ∞v Dih ∞ |
 *∞∞ |
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ bezczynne
  |
(TV) Pionowe linie odbicia i tłumaczenia: Grupa jest taka sama jak grupa nietrywialna w przypadku jednowymiarowym; jest generowany przez translację i odbicie w osi pionowej. |
| p2 | [∞,2] +
|
D ∞ Dih ∞ |
 22∞ |
SSSSSSS hop spinning
  |
(TR) Translacje i obrót o 180°: Grupa jest generowana przez translację i obrót o 180°. |
| p2mg | [∞,2 + ]
|
D ∞d Dih ∞ |
 2*∞ |
V Λ V Λ V Λ V Λ wirujące koło
  |
(TRVG) Pionowe linie odbicia, odbicia poślizgu , translacje i obrót o 180°: Translacje powstają tutaj z odbić poślizgu, więc ta grupa jest generowana przez odbicie poślizgu i obrót lub odbicie w pionie. |
| p11m | [∞ + ,2]
|
C ∞h Z ∞ ×Dih 1 |
 * |
BBBBBBBB skok
  |
(THG) Translacje, Odbicia poziome, Odbicia poślizgu: Ta grupa jest generowana przez translację i odbicie w osi poziomej. Odbicie poślizgu powstaje tutaj jako kompozycja translacji i odbicia poziomego |
| p2mm | [∞,2]
|
D ∞h Dih ∞ ×Dih 1 |
 *22∞ |
HHHHHHHH skok z wirowania
  |
(TRHVG) Poziome i pionowe linie odbicia, translacje i obrót o 180°: Ta grupa wymaga trzech generatorów, z jednym zestawem generującym składającym się z translacji, odbicia w osi poziomej i odbicia w poprzek osi pionowej. |
- * Notacja grup punktowych Schönfliesa jest tutaj rozszerzona jako nieskończone przypadki równoważnych symetrii punktów dwuściennych
- § Diagram pokazuje jedną podstawową domenę na żółto, z liniami odbicia na niebiesko, liniami odbicia ślizgu na zielono przerywaną, normalną translacji na czerwono i podwójnymi punktami żyracji jako małe zielone kwadraty.
Z siedmiu grup fryzów są tylko cztery aż do izomorfizmu . Dwa są generowane pojedynczo i izomorficzne z ; cztery z nich są podwójnie wytworzone, z których jeden jest abelowa a trzy nieabelowe i izomorficzna , w nieskończonej grupy dwuściennej ; a jeden z nich ma trzy generatory.
Rodzaje krat: skośne i prostokątne
Grupy można sklasyfikować według typu dwuwymiarowej siatki lub kraty. Ukośna siatka oznacza, że drugi kierunek nie musi być prostopadły do kierunku powtórzenia.
| Rodzaj kraty | Grupy |
|---|---|
| Skośny | p1, p2 |
| Prostokątny | p1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg |
Zobacz też
Demo internetowe i oprogramowanie
Istnieją graficzne narzędzia programowe, które tworzą wzory 2D za pomocą grup fryzowych. Zazwyczaj cały wzór jest aktualizowany automatycznie w odpowiedzi na edycję oryginalnego paska.
- EscherSketch Darmowy program online do rysowania, zapisywania i eksportowania teselacji. Obsługuje wszystkie grupy tapet.
- Kali , bezpłatna aplikacja typu open source do tapet, fryzów i innych wzorów.
- Kali , bezpłatna aplikacja Kali do pobrania dla systemów Windows i Mac Classic.
- Tess , program teselacji nagware dla wielu platform, obsługuje wszystkie grupy tapet, fryzów i rozet, a także kafelki Heesch.
- FriezingWorkz , darmowy stos Hypercard dla platformy Classic Mac, który obsługuje wszystkie grupy fryzów.