Notacja Orbifold - Orbifold notation
W geometrii , notacja orbifold (lub sygnatura orbifold ) jest systemem wynalezionym przez matematyka Williama Thurstona i promowanym przez Johna Conwaya , służącym do przedstawiania typów grup symetrii w dwuwymiarowych przestrzeniach o stałej krzywiźnie. Zaletą zapisu jest to, że opisuje on te grupy w sposób, który wskazuje na wiele właściwości grup: w szczególności podąża za Williamem Thurstonem w opisie orbifoldu uzyskanego przez uwzględnienie ilorazu przestrzeni euklidesowej przez rozważaną grupę.
Grupy reprezentowane w tym zapisie obejmują grupy punktowe na sferze ( ), grupy fryzowe i grupy tapet na płaszczyźnie euklidesowej ( ) oraz ich odpowiedniki na płaszczyźnie hiperbolicznej ( ).
Definicja notacji
W grupie opisanej notacją orbifold mogą wystąpić następujące typy transformacji euklidesowej:
- odbicie przez linię (lub płaszczyznę)
- tłumaczenie przez wektor
- obrót skończonego porządku wokół punktu around
- nieskończony obrót wokół linii w 3-przestrzeni
- poślizg-odbicie, tj. odbicie, po którym następuje translacja.
Zakłada się, że wszystkie występujące translacje tworzą dyskretną podgrupę opisywanych symetrii grup.
Każda grupa jest oznaczona w notacji orbifold przez skończony ciąg składający się z następujących symboli:
- liczby całkowite dodatnie
- nieskończoność symbol
- gwiazdka *
- symbol o (pełny okrąg w starszych dokumentach), który jest nazywany cudem, a także uchwytem, ponieważ topologicznie reprezentuje zamkniętą powierzchnię torusa (1 uchwyt). Wzory powtarzają się o dwa tłumaczenia.
- symbol (otwarty okrąg w starszych dokumentach), który jest nazywany cudem i przedstawia topologiczną czapkę, w której wzór powtarza się jako odbicie lustrzane bez przecinania linii lustrzanej.
Ciąg napisany pogrubioną czcionką reprezentuje grupę symetrii euklidesowej przestrzeni. Ciąg znaków niezapisany pogrubioną czcionką reprezentuje grupę symetrii płaszczyzny euklidesowej, która z założenia zawiera dwie niezależne translacje.
Każdy symbol odpowiada odrębnej transformacji:
- liczba całkowita n po lewej stronie gwiazdki oznacza obrót rzędu n wokół punktu bezwładności
- liczba całkowita n na prawo od gwiazdki oznacza transformację rzędu 2 n, która obraca się wokół punktu kalejdoskopowego i odbija się przez linię (lub płaszczyznę)
- oznacza odbicie prowadnic
- symbol wskazuje nieskończoną symetrię obrotową wokół linii; może wystąpić tylko w przypadku pogrubionych grup twarzy. Nadużywając języka, możemy powiedzieć, że taka grupa jest podgrupą symetrii płaszczyzny euklidesowej z tylko jednym niezależnym tłumaczeniem. W ten sposób powstają grupy fryzowe.
- wyjątkowy symbol o wskazuje, że istnieją dokładnie dwa liniowo niezależne tłumaczenia.
Dobre orbitofle
Symbol orbifold jest dobry, jeśli nie jest jednym z następujących: p , pq , * p , * pq , dla p , q ≥ 2 i p ≠ q .
Chiralność i achiralność
Obiekt jest chiralny, jeśli jego grupa symetrii nie zawiera odbić; inaczej nazywa się to achiralnym . Odpowiednia fałda oczodołowa jest orientowalna w przypadku chiralnym i niemożliwa do orientowania w inny sposób.
Charakterystyka Eulera i kolejność
Euler charakterystyka o Orbifold można odczytać z jej Conway symbolu, jak następuje. Każda funkcja ma wartość:
- n bez lub przed gwiazdką liczy się jako
- n po gwiazdki liczy się jako
- gwiazdka i licz jako 1
- o liczy się jako 2.
Odjęcie sumy tych wartości od 2 daje charakterystykę Eulera.
Jeśli suma wartości cech wynosi 2, kolejność jest nieskończona, tzn. notacja reprezentuje grupę tapet lub grupę fryzów. Rzeczywiście, „Twierdzenie o magii” Conwaya wskazuje, że 17 grup tapet to dokładnie te, których suma wartości cech wynosi 2. W przeciwnym razie kolejność to 2 podzielone przez charakterystykę Eulera.
Równe grupy
Następujące grupy są izomorficzne:
- 1* i *11
- 22 i 221
- *22 i *221
- 2* i 2*1.
Dzieje się tak, ponieważ 1-krotna rotacja jest „pustą” rotacją.
Grupy dwuwymiarowe
Symetrii z 2D obiektu bez symetrii translacyjnej można opisać typu symetrii 3D poprzez dodanie trzeciego wymiaru przedmiotu, która nie powoduje dodawania lub urobek symetrii. Na przykład dla obrazu 2D możemy rozważyć kawałek kartonu z tym obrazem wyświetlanym po jednej stronie; kształt kartonu powinien być taki, aby nie psuł symetrii lub można go było sobie wyobrazić, że jest nieskończony. Mamy więc n • i * n •. Pocisk (•) dodaje się na grupy jedno- i dwuwymiarowych oznaczać istnienie stałego punktu. (W trzech wymiarach te grupy istnieją w n-krotnej dwukątnej orbifold i są reprezentowane jako nn i * nn .)
Podobnie obraz 1D można narysować poziomo na kawałku kartonu, z zastrzeżeniem uniknięcia dodatkowej symetrii względem linii obrazu, np. przez narysowanie poziomego paska pod obrazem. Zatem dyskretne grupy symetrii w jednym wymiarze to *•, *1•, ∞• i *∞•.
Innym sposobem konstruowania obiektu 3D z obiektu 1D lub 2D w celu opisania symetrii jest wzięcie odpowiednio iloczynu kartezjańskiego obiektu i asymetrycznego obiektu 2D lub 1D.
Tabele korespondencyjne
Kulisty
Podpis Orbifold |
Coxeter | Schönflies | Hermann-Mauguin | Zamówienie |
---|---|---|---|---|
Grupy wielościenne | ||||
*532 | [3,5] | I h | 53m | 120 |
532 | [3,5] + | ja | 532 | 60 |
*432 | [3,4] | O H | m3m | 48 |
432 | [3,4] + | O | 432 | 24 |
*332 | [3,3] | T d | 4 3m | 24 |
3*2 | [3 + ,4] | T h | m3 | 24 |
332 | [3,3] + | T | 23 | 12 |
Grupy dwuścienne i cykliczne: n = 3, 4, 5 ... | ||||
*22n | [2,n] | D nh | N / mmm lub 2 n m2 | 4n |
2*n | [2 + ,2n] | D nd | 2 n 2 m lub n m | 4n |
22n | [2,n] + | D n | n2 | 2n |
*nn | [n] | C nv | Nm | 2n |
n* | [n + ,2] | C nh | n/m lub 2 n | 2n |
n× | [2 + ,2n + ] | S 2n | 2 n lub n | 2n |
nn | [n] + | C n | nie | nie |
Przypadki specjalne | ||||
*222 | [2,2] | D 2h | 2/mm lub 2 2 m2 | 8 |
2*2 | [2 + ,4] | D 2d | 2 2 2 m i 2 m | 8 |
222 | [2,2] + | D 2 | 22 | 4 |
*22 | [2] | C 2v | 2m | 4 |
2* | [2 + ,2] | C 2h | 2/m lub 2 2 | 4 |
2× | [2 + ,4 + ] | S 4 | 2 2 lub 2 | 4 |
22 | [2] + | C 2 | 2 | 2 |
*22 | [1,2] | D 1h = C 2v | 1/mm lub 2 1 m2 | 4 |
2* | [2 + ,2] | D 1d = C 2h | 2 1 2 m i 1 m | 4 |
22 | [1,2] + | D 1 = C 2 | 12 | 2 |
*1 | [ ] | C 1v = C s | 1m | 2 |
1* | [2,1 + ] | C 1h = C s | 1/m lub 2 1 | 2 |
1× | [2 + ,2 + ] | S 2 = C i | 2 1 lub 1 | 2 |
1 | [ ] + | C 1 | 1 | 1 |
Płaszczyzna euklidesowa
Grupy fryzowe
IUC | Sternik. | Schön. * | Schemat, § Orbifold |
Przykłady i pseudonim
Conway |
Opis |
---|---|---|---|---|---|
p1 | [∞] + |
C ∞ Z ∞ |
∞∞ |
FFFFFFFF chmiel
|
(T) Tylko tłumaczenia: Ta grupa jest generowana pojedynczo, przez tłumaczenie o najmniejszą odległość, na której wzór jest okresowy. |
p11g | [∞ + ,2 + ] |
S ∞ Z ∞ |
∞× |
Γ L Γ L Γ L Γ L krok
|
(TG) Odbicia poślizgu i translacje: Ta grupa jest generowana pojedynczo, przez odbicie poślizgu, przy czym translacje uzyskuje się przez połączenie dwóch odbić poślizgu. |
p1m1 | [∞] |
C ∞v Dih ∞ |
*∞∞ |
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ bezczynne
|
(TV) Pionowe linie odbicia i tłumaczenia: Grupa jest taka sama jak grupa nietrywialna w przypadku jednowymiarowym; jest generowany przez translację i odbicie w osi pionowej. |
p2 | [∞,2] + |
D ∞ Dih ∞ |
22∞ |
SSSSSSS hop spinning
|
(TR) Translacje i obrót o 180°: Grupa jest generowana przez translację i obrót o 180°. |
p2mg | [∞,2 + ] |
D ∞d Dih ∞ |
2*∞ |
V Λ V Λ V Λ V Λ wirujące koło
|
(TRVG) Pionowe linie odbicia, odbicia poślizgu , translacje i obrót o 180°: Translacje powstają tutaj z odbić poślizgu, więc ta grupa jest generowana przez odbicie poślizgu i obrót lub odbicie w pionie. |
p11m | [∞ + ,2] |
C ∞h Z ∞ ×Dih 1 |
* |
BBBBBBBB skok
|
(THG) Translacje, Odbicia poziome, Odbicia poślizgu: Ta grupa jest generowana przez translację i odbicie w osi poziomej. Odbicie poślizgu powstaje tutaj jako kompozycja translacji i odbicia poziomego |
p2mm | [∞,2] |
D ∞h Dih ∞ ×Dih 1 |
*22∞ |
HHHHHHHH skok z wirowania
|
(TRHVG) Poziome i pionowe linie odbicia, translacje i obrót o 180°: Ta grupa wymaga trzech generatorów, z jednym zestawem generującym składającym się z translacji, odbicia w osi poziomej i odbicia w poprzek osi pionowej. |
- * Notacja grup punktowych Schönfliesa jest tutaj rozszerzona jako nieskończone przypadki równoważnych symetrii punktów dwuściennych
- § Diagram pokazuje jedną podstawową domenę na żółto, z liniami odbicia na niebiesko, liniami odbicia ślizgu na zielono przerywaną, normalną translacji na czerwono i podwójnymi punktami żyracji jako małe zielone kwadraty.
Grupy tapet
(*442), p4m | (4*2), p4g |
---|---|
(*333), p3m | (632), s.6 |
Podpis Orbifold |
Coxeter |
Hermann – Mauguin |
Speiser Niggli |
Polia Guggenhein |
Fejes Toth Cadwell |
---|---|---|---|---|---|
*632 | [6,3] | p6m | C (I) 6v | D 6 | W 1 6 |
632 | [6,3] + | p6 | C (I) 6 | C 6 | W 6 |
*442 | [4,4] | p4m | C (I) 4 | D * 4 | W 1 4 |
4*2 | [4 + ,4] | p4g | C II 4v | D O 4 | W 2 4 |
442 | [4,4] + | p4 | C (I) 4 | C 4 | W 4 |
*333 | [3 [3] ] | p3m1 | C II 3v | D * 3 | W 1 3 |
3*3 | [3 + ,6] | p31m | C I 3v | D O 3 | W 2 3 |
333 | [3 [3] ] + | p3 | C ja 3 | C 3 | W 3 |
*2222 | [∞,2,∞] | pm | C ja 2v | D 2 kkkk | W 2 2 |
2*22 | [∞,2 + ,∞] | cmm | C IV 2v | D 2 kg kg | W 1 2 |
22* | [(∞,2) + ,∞] | pmg | C III 2v | D 2 kkgg | W 3 2 |
22× | [∞ + ,2 + ,∞ + ] | pgg | C II 2v | D 2 gggg | W 4 2 |
2222 | [∞,2,∞] + | p2 | C (I) 2 | C 2 | W 2 |
** | [∞ + ,2,∞] | po południu | C I s | D 1 kk | W 2 1 |
*× | [∞ + ,2 + ,∞] | cm | C III s | D 1 kg | W 1 1 |
×× | [∞ + ,(2,∞) + ] | pg | C II 2 | D 1 gg | W 3 1 |
o | [∞ + ,2,∞ + ] | p1 | C (I) 1 | C 1 | W 1 |
Płaszczyzna hiperboliczna
Przykładowe trójkąty prostokątne (*2pq) | ||||
---|---|---|---|---|
*237 |
*238 |
*239 |
*23∞ |
|
*245 |
*246 |
*247 |
*248 |
*∞42 |
*255 |
*256 |
*257 |
*266 |
*2∞∞ |
Przykładowe trójkąty ogólne (*pqr) | ||||
*334 |
*335 |
*336 |
*337 |
*33∞ |
*344 |
*366 |
*3∞∞ |
*6 3 |
*∞ 3 |
Przykład wyższych wielokątów (*pqrs...) | ||||
*2223 |
*(23) 2 |
*(24) 2 |
*3 4 |
*4 4 |
*2 5 |
*2 6 |
*2 7 |
*2 8 |
|
*222∞ |
*(2∞) 2 |
*∞ 4 |
* 2 ∞ |
* ∞ |
Kilka pierwszych grup hiperbolicznych, uporządkowanych według ich charakterystyki Eulera, to:
−1/χ | Orbifoldy | Coxeter |
---|---|---|
84 | *237 | [7,3] |
48 | *238 | [8,3] |
42 | 237 | [7,3] + |
40 | *245 | [5,4] |
36–26,4 | *239, *2 3 10 | [9,3], [10,3] |
26,4 | *2 3 11 | [11,3] |
24 | *2 3 12, *246, *334, 3*4, 238 | [12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3 + ,8], [8,3] + |
22,3–21 | *2 3 13, *2 3 14 | [13,3], [14,3] |
20 | *2 3 15, *255, 5*2, 245 | [15,3], [5,5], [5 + ,4], [5,4] + |
19,2 | *2 3 16 | [16,3] |
18+2 ⁄ 3 | *247 | [7,4] |
18 | *2 3 18, 239 | [18,3], [9,3] + |
17,5–16,2 | *2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23 | [19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3] |
16 | *2 3 24, *248 | [24,3], [8,4] |
15 | *2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10 | [30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3 + ,10], [10,3] + |
14+2 / 5 - 13+1 ⁄ 3 | *2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10 | [36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4] |
13+1 ⁄ 5 | *2 3 66, 2 3 11 | [66,3], [11,3] + |
12+8 ⁄ 11 | *2 3 105, *257 | [105,3], [7,5] |
12+4 ⁄ 7 | *2 3 132, *2 4 11... | [132,3], [11,4], ... |
12 | *23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334 | [∞,3] [12,4], [6,6], [6 + ,4], [(6,3,3)], [3 + ,12], [(4,4,3)] , [4 + ,6], [∞,3,∞], [12,3] + , [6,4] + [(4,3,3)] + |
... |
Zobacz też
- Mutacja orbifoldów
- Notacja Fibrifold - rozszerzenie notacji orbifold dla grup przestrzennych 3D
Bibliografia
- John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson i William P. Thurston. O trójwymiarowych Orbifoldach i grupach kosmicznych. Wkład do algebry i geometrii, 42(2):475-507, 2001.
- JH Conway, DH Huson. Notacja Orbifold dla grup dwuwymiarowych. Chemia strukturalna, 13 (3-4): 247-257, sierpień 2002.
- JH Conwaya (1992). „The Orbifold Notation dla grup powierzchniowych”. W: MW Liebeck i J. Saxl (red.), Groups, Combinatorics and Geometry , Proceedings of the LMS Durham Symposium, 5–15 lipca, Durham, Wielka Brytania, 1990; Londyn Matematyka. Soc. Notatki do wykładów Seria 165 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge, Cambridge. s. 438-447
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Symetrie rzeczy 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
- Hughes, Sam (2019), Kohomologia grup fuchsowskich i nieeuklidesowych grup krystalograficznych , arXiv : 1910.00519 , Bibcode : 2019arXiv191000519H
Linki zewnętrzne
- Przewodnik terenowy po orbifoldach (Notatki z zajęć „Geometria i wyobraźnia” w Minneapolis, z Johnem Conwayem, Peterem Doyle'em, Jane Gilman i Billem Thurstonem, 17-28 czerwca 1991. Zobacz także PDF, 2006 )
- Oprogramowanie Tegula do wizualizacji dwuwymiarowych kafelków płaszczyzny, kuli i płaszczyzny hiperbolicznej oraz edytowania ich grup symetrii w notacji orbifold