Pół-prostota - Semi-simplicity

W matematyce, pół-prostota jest powszechnym pojęciem w dyscyplinach takich jak algebry liniowej , algebry abstrakcyjnej , teorii reprezentacji , teorii kategorii i geometrii algebraicznej . Obiekt półprosty to taki, który można rozłożyć na sumę obiektów prostych , a obiekty proste to takie, które nie zawierają nietrywialnych podobiektów własnych. Dokładne definicje tych słów zależą od kontekstu.

Na przykład, jeśli G jest grupą skończoną , wtedy nietrywialna skończenie wymiarowa reprezentacja V nad polem jest uważana za prostą, jeśli jedyne zawarte w niej podreprezentacje to {0} lub V (są one również nazywane reprezentacjami nieredukowalnymi ). Teraz twierdzenie Maschkego mówi, że każda skończenie wymiarowa reprezentacja skończonej grupy jest prostą sumą prostych reprezentacji (pod warunkiem, że charakterystyka pola bazowego nie dzieli porządku grupy). Tak więc w przypadku skończonych grup z tym warunkiem każda skończenie wymiarowa reprezentacja jest półprosta. Zwłaszcza w algebrze i teorii reprezentacji „półprostota” nazywana jest również całkowitą redukowalnością . Na przykład twierdzenie Weyla o całkowitej redukowalności mówi, że skończenie wymiarowa reprezentacja półprostej zwartej grupy Liego jest półprosta.

Macierzą kwadratową (innymi słowy, operator liniowy z V ograniczony wymiarowej Vector) mówi się, że proste , jeśli tylko jego niezmienne podprzestrzeni pod T jest 0} i { V . Jeśli ciało jest algebraicznie domknięte (tak jak liczby zespolone ), to jedyne proste macierze mają rozmiar 1 x 1. Półprosta macierz to taka, która jest podobna do prostej sumy prostych macierzy ; jeśli pole jest algebraicznie domknięte, jest to równoznaczne z byciem diagonalizowalnym . $T:V\doV$

Te pojęcia semi-simplicity można ujednolicić za pomocą języka modułów semi-simple i uogólnić na kategorie semi-simple .

Wstępny przykład przestrzeni wektorowych

Jeśli weźmie się pod uwagę wszystkie przestrzenie wektorowe (ponad dziedzinie , takich jak liczby rzeczywiste), są te, które nie zawierają odpowiednich podprzestrzenie nieszablonowe proste przestrzenie wektorowe. Dlatego jednowymiarowe przestrzenie wektorowe są tymi prostymi. Zatem podstawowym wynikiem algebry liniowej jest to, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa jest sumą prostą prostych przestrzeni wektorowych; innymi słowy, wszystkie skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe są półproste.

Matryce półproste

Macierzą kwadratową lub równoważnie, A liniowy operator T o skończonej-wymiarowej przestrzeni wektorowej V nazywa pół proste , jeśli każdy T - niezmienny podprzestrzeń ma komplementarny T -invariant podprzestrzeni. Jest to równoznaczne z minimalnym wielomianu z T bycia kwadratowych darmo.

Na przestrzeni wektorowej ponad się algebraicznie zamkniętym obszarze F , pół-prostota matrycy odpowiada diagonalizability . Dzieje się tak, ponieważ taki operator zawsze ma wektor własny; jeśli jest dodatkowo półprosta, to ma komplementarną niezmienniczą hiperpłaszczyznę , która sama ma wektor własny, a zatem jest diagonalizowalna przez indukcję. Odwrotnie, operatory diagonalizowalne są łatwo postrzegane jako półproste, ponieważ podprzestrzenie niezmiennicze są sumami bezpośrednimi przestrzeni własnych, a każda podstawa własna dla tej podprzestrzeni może zostać rozszerzona do podstawy własnej pełnej przestrzeni.

Półproste moduły i pierścienie

Dla stałego pierścienia R , nietrywialny moduł R M jest prosty, jeśli nie ma innych podmodułów niż 0 i M . R -module M jest pół proste , jeśli każdy R -submodule o M to R -module bezpośrednio do składnika o M (moduł trywialne 0 jest pół-proste, ale nie prosty). Dla modułu R M , M jest półproste wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą prostą prostych modułów (moduł trywialny jest pustą sumą bezpośrednią). Wreszcie, R nazywa się półprostym pierścieniem, jeśli jest półprosty jako moduł R. Jak się okazuje, jest to równoznaczne z wymaganiem, aby każdy skończenie wygenerowany moduł R M był półprosty.

Przykłady półprostych pierścieni obejmują pola i, bardziej ogólnie, skończone iloczyny bezpośrednie pól. Dla skończonej grupy G twierdzenie Maschkego zakłada, że grupa pierścień R [ G ] nad pewnym pierścieniem R jest półprosta wtedy i tylko wtedy, gdy R jest półprosta i | G | jest odwracalny w R . Od teorii modułów R [ G ], jest taka sama jak w teorii reprezentacji z G na R -modules, fakt ten jest ważnym dychotomii, co powoduje, że modułowy teorii reprezentację , czyli przypadek, w którym | G | nie podzielić cechę z R będzie trudniejsze niż przypadku, gdy | G | nie dzieli charakterystyki, w szczególności gdy R jest polem o zerowej charakterystyce. Zgodnie z twierdzeniem Artina-Wedderburna , pojedynczy pierścień artyński R jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest (izomorficzny do) , gdzie każdy jest pierścieniem podziału i jest pierścieniem n -by- n macierzy z wpisami w D . ${\ Displaystyle M_ {n_ {1}} (D_ {1}) \ razy M_ {n_ {2}} (D_ {2}) \ razy \ cdots \ razy M_ {n_ {r}} (D_ {r}) }$ $D_{i}$ ${\ Displaystyle M_ {n} (D)}$

Operator T jest pół-proste w znaczeniu powyżej, jeżeli i tylko jeżeli podalgebrą generowane przez siły (tzn iteracji) z T wewnątrz pierścienia endomorfizm o V jest pół-proste. ${\ Displaystyle F [T] \ subseteq \ Operatorname {Koniec} _ {F} (V)}$

Jak wskazano powyżej, teoria pierścieni półprostych jest znacznie łatwiejsza niż teoria pierścieni ogólnych. Na przykład dowolna krótka dokładna sekwencja

0\do M'\do M\do M''\do 0

modułów na półprostym pierścieniu musi się rozdzielić, tj . . Z punktu widzenia algebry homologicznej oznacza to brak nietrywialnych rozszerzeń . Pierścień Z liczb całkowitych nie jest półprosty: Z nie jest bezpośrednią sumą n Z i Z / n . ${\ Displaystyle M \ cong M '\ oplus M''}$

Kategorie półproste

Wiele z powyższych pojęć pół-prostoty zostało przywróconych przez pojęcie pół-prostej kategorii C . Krótko mówiąc, kategoria jest zbiorem obiektów i map pomiędzy takimi obiektami, przy założeniu, że mapy pomiędzy obiektami zachowują pewną strukturę nieodłączną od tych obiektów. Na przykład, R -moduły i R -liniowe odwzorowania między nimi tworzą kategorię, dla dowolnego pierścienia R .

Kategoria Abelowa C nazywa semi-proste, jeśli nie jest zbiorem prostych obiektów , czyli te, bez podobiektu inny niż przedmiot zerowym 0 i siebie, tak, że każdy obiekt X jest bezpośrednim suma (tj współprodukt lub, równoważnie, iloczyn) skończenie wielu prostych obiektów. Z lematu Schura wynika, że pierścień endomorfizmu ${\ Displaystyle X_ {\ alfa} \ w C}$ ${\ Displaystyle X_ {\ alfa}}$

{\ Displaystyle \ operatorname {koniec} _ {C} (X) = \ operatorname {Hom} _ {C} (X, X)}

w kategorii semi-proste jest iloczynem pierścieni matrycowych przez pierścienie podziału, czyli semi-proste.

Co więcej, pierścień R jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy kategoria skończenie generowanych modułów R jest półprosta.

Przykładem z teorii Hodge'a jest kategoria polaryzowalnych czystych struktur Hodge'a , tj. czystych struktur Hodge'a wyposażonych w odpowiednią dodatnio określoną postać dwuliniową . Obecność tej tak zwanej polaryzacji powoduje, że kategoria polaryzowalnych struktur Hodge'a jest półprosta. Innym przykładem z geometrii algebraicznej jest kategoria czystych pobudek o gładkich odmian rzutowych nad polem k modulo się odpowiednią relacją równoważności . Jak przypuszczał Grothendieck i wykazał Jannsen , kategoria ta jest na wpół prosta wtedy i tylko wtedy, gdy relacja równoważności jest równoważnością liczbową . Fakt ten stanowi pojęciowy kamień węgielny w teorii motywów. ${\ Displaystyle \ Operatorname {Mot} (k) _ {\ SIM}}$ $\sim$

Semiproste kategorie abelowe również powstają z połączenia struktury t i (odpowiednio powiązanej) struktury wagowej w kategorii triangulacyjnej .

Semi-prostota w teorii reprezentacji

Można zapytać, czy kategoria skończenie wymiarowych reprezentacji grupy lub algebry Liego jest półprosta, to znaczy, czy każda skończenie wymiarowa reprezentacja rozkłada się jako prosta suma reprezentacji nieredukowalnych. Ogólnie rzecz biorąc, odpowiedź brzmi nie. Na przykład reprezentacja danego przez ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ Pi (x) = {\ zacząć {pmatrix} 1 i x \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}

nie jest bezpośrednią sumą nieredukowalnych. (Nie ma dokładnie jeden nietrywialna niezmienna podprzestrzeń rozpiętość pierwszego podstawa elementu ). Z drugiej strony, jeśli jest zwarty , wówczas każda reprezentacja skończonej wymiarowej od przyznaje wewnętrzny produkt , co do których jest jednolity, wykazując, że rozkłada się jako suma nieredukowalnych. Podobnie, jeśli jest złożoną półprostą algebrą Liego, każda skończenie wymiarowa reprezentacja jest sumą nieredukowalnych. Pierwotny dowód Weyla na to wykorzystywał unitarną sztuczkę : Każda taka jest złożonością algebry Liego prostej połączonej zwartej grupy Liego . Ponieważ jest po prostu połączony, istnieje zależność jeden do jednego między skończenie wymiarowymi reprezentacjami i . Stosuje się zatem wspomniany wcześniej wynik dotyczący reprezentacji grup zwartych. Możliwe jest również udowodnienie półprostoty reprezentacji bezpośrednio za pomocą środków algebraicznych, jak w rozdziale 10.3 książki Halla. $e_{1}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ Pi}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ Pi}$ ${\ Displaystyle \ Pi}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Zobacz też: Kategoria Fusion (które są półproste).

Zobacz też

Półprosty Lie algebra jest algebra Lie że jest bezpośrednim suma prostych algebr Liego.
Półprosty grupa algebraiczna jest liniową grupą algebraiczna których rodnik elementu osobistego jest trywialne.
Algebra półprosta
Półprosta reprezentacja

Bibliografia

Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, Algebry Liego i reprezentacje: Wprowadzenie elementarne , Teksty podyplomowe z matematyki, 222 (wyd. 2), Springer

Languages

In other projects