Podprzestrzeń niezmiennicza — Invariant subspace

W matematyce An niezmienna podprzestrzeń z liniowego odwzorowania T : V → V z pewnego miejsca wektora V do siebie, to podprzestrzeń W z V , które jest konserwowane przez T ; czyli T ( W ) . W .

Ogólny opis

Rozważ mapowanie liniowe ${\ Displaystyle T}$

{\ Displaystyle T: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}.

Niezmienna podprzestrzeń z ma tę właściwość, że wszystkie wektory są transformowane przez do wektorów także zawartych w . Można to określić jako ${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ w W}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle W}$

{\ Displaystyle \ mathbf {v} \ w W \ implikuje T (\ mathbf {v} ) \ w W.}

Trywialne przykłady niezmienniczych podprzestrzeni

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ : Ponieważ odwzorowuje każdy wektor w pod ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$
${\ Displaystyle \ {0 \}}$ : Ponieważ mapa liniowa musi się mapować ${\ Displaystyle 0 \ mapsto 0.}$

1-wymiarowa podprzestrzeń niezmiennicza U

Podstawa z 1-wymiarowej przestrzeni jest po prostu niezerowy wektor . W związku z tym każdy wektor może być reprezentowany jako gdzie jest skalarem. Jeśli reprezentujemy przez macierz, to aby była podprzestrzeń niezmiennicza musi ona spełniać $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ w U}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle U}$

{\ Displaystyle \ forall \ mathbf {x} \ w U \; \ istnieje \ alfa \ w \ mathbb {R}: A \ mathbf {x} = \ alfa \ mathbf {v}}.

Wiemy to z . ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ w U \ strzałka w prawo \ mathbf {x} = \ beta \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ beta \ w \ mathbb {R}}$

Dlatego warunek istnienia jednowymiarowej podprzestrzeni niezmiennej wyraża się wzorem:

{\ Displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}

Gdzie jest skalarem (w podstawowym obszarze przestrzeni wektorowej.

{\ Displaystyle \ lambda}

Należy zauważyć, że jest to typowy preparat o wartości własnych problemów, co oznacza, że każdy wektor własny z postaci 1-wymiarowe niezmienne w podprzestrzeni . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle T}$

Opis formalny

Niezmienna podprzestrzeń z liniowego odwzorowania

T:V\doV

z jakiejś przestrzeni wektorowej V na sobie jest podprzestrzeń W o V tak, że koszulka ( W ) jest zawarta w W . Niezmienniczą podprzestrzeń T również mówi się, że jest T niezmienna .

Jeśli W jest T -niezmiennicze, możemy ograniczyć T do W, aby uzyskać nowe odwzorowanie liniowe

{\ Displaystyle T | _ {W}: W \ do W.}

To odwzorowanie liniowe nazywa się ograniczeniem T na W i jest zdefiniowane przez

{\ Displaystyle T | _ {W} (\ mathbf {x} ) = T (\ mathbf {x} ) {\ tekst {dla wszystkich}} \ mathbf {x} \ w W.}

Następnie podajemy kilka bezpośrednich przykładów podprzestrzeni niezmienniczych.

Z pewnością samo V i podprzestrzeń {0} są trywialnie niezmienniczymi podprzestrzeniami dla każdego operatora liniowego T : V → V . Dla pewnych operatorów liniowych nie istnieje nietrywialna podprzestrzeń niezmiennicza; rozważmy na przykład obrót dwuwymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej.

Niech v być wektorem własnym z T , czyli T v = λ v . Wtedy W = span { v } jest T- niezmiennicze. W konsekwencji fundamentalnego twierdzenia algebry każdy operator liniowy na niezerowej, skończenie wymiarowej złożonej przestrzeni wektorowej ma wektor własny. Dlatego każdy taki operator liniowy ma nietrywialną podprzestrzeń niezmienniczą. Wymagany jest tutaj fakt, że liczby zespolone są ciałem algebraicznie domkniętym . W porównaniu z poprzednim przykładem widać, że podprzestrzenie niezmiennicze przekształcenia liniowego są zależne od pola bazowego V .

Niezmienny wektor (tj stałym punktem na T ), innych niż 0, zajmującego podprzestrzeń niezmienny wymiar 1. niezmienna podprzestrzeni wymiar 1, będzie działał przez T przez skalarne i składa się z wektorów niezmienniczych wtedy i tylko wtedy, gdy skalarne wynosi 1.

Jak wskazują powyższe przykłady, niezmiennicze podprzestrzenie danej transformacji liniowej T rzucają światło na strukturę T . Gdy V jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem algebraicznie domkniętym, przekształcenia liniowe działające na V charakteryzują się (do podobieństwa) postacią kanoniczną Jordana , która rozkłada V na niezmiennicze podprzestrzenie T . Wiele fundamentalnych pytań dotyczących T można przełożyć na pytania o niezmiennicze podprzestrzenie T .

Bardziej ogólnie, podprzestrzenie niezmiennicze są definiowane dla zbiorów operatorów jako podprzestrzenie niezmienne dla każdego operatora w zbiorze. Niech L ( V ) oznacza algebrę przekształceń liniowych na V , a Lat( T ) będzie rodziną podprzestrzeni niezmienników pod T ∈ L ( V ). (Zapis "Lat" odnosi się do faktu, że Lat( T ) tworzy kratę ; patrz dyskusja poniżej.) Biorąc pod uwagę niepusty zbiór Σ ⊂ L ( V ), uważa się, że podprzestrzenie niezmiennicze są niezmienne pod każdym T ∈ Σ. W symbolach,

{\ Displaystyle \ Operatorname {Lat} (\ Sigma) = \ Bigcap _ {T \ w \ Sigma} \ Operator {Lat} (T).}

Na przykład jasne jest, że jeśli Σ = L ( V ), to Lat(Σ) = { {0}, V }.

Z uwagi na przedstawienie się z grupy G na przestrzeni wektorowej V mamy transformacji liniowej T ( g ): V → V dla każdego elementu g z G . Jeżeli podprzestrzeń W od V jest niezmienna względem wszystkich tych przekształceń, to jest podreprezentacją i grupa G działa na W w sposób naturalny.

Jako inny przykład niech T ∈ L ( V ) i Σ będzie algebrą wygenerowaną przez {1, T }, gdzie 1 jest operatorem tożsamości. Wtedy Lat( T ) = Lat(Σ). Ponieważ T leży w Σ trywialnie, Lat(Σ) ⊂ Lat( T ). Z drugiej strony, Σ składa się z wielomianów w 1 i T , a zatem zachodzi również odwrotne włączenie.

Reprezentacja macierzowa

Przez przestrzeń skończonej wymiarowy wektor każdy liniowy przekształcenie T : V → V można przedstawić za pomocą matrycy raz podstawę z V został wybrany.

Załóżmy teraz, że W jest podprzestrzenią T- niezmienniczą. Wybierz bazę C = { v ₁ , ..., v _k } z W i uzupełnij ją do bazy B z V . Wówczas, w odniesieniu do tej podstawy, macierzowa reprezentacja T przyjmuje postać:

{\ Displaystyle T = {\ zacząć {bmatrix} T_ {11} i T_ {12} \ \ 0 i T_ {22} \ koniec {bmatrix}}}

gdzie górny lewy blok T ₁₁ jest ograniczenie T do W .

Innymi słowy, mając niezmienną podprzestrzeń W od T , V można rozłożyć na sumę prostą

{\ Displaystyle V = W \ oplus W '.}

Wyświetlanie T jako macierzy operatorów operator

{\ Displaystyle T = {\ zacząć {bmatrix} T_ {11} i T_ {12} \\ T_ {21} i T_ {22} \ koniec {bmatrix}}: {\ zacząć {matrix} W \ \ \ oplus \ \ W '\end{macierz}}\rightarrow {\begin{macierz}W\\\oplus \\W'\end{macierz}},}

jasne jest, że T ₂₁ : W → W' musi wynosić zero.

Ustalenie, czy dana podprzestrzeń W jest niezmienna w T, jest pozornie problemem natury geometrycznej. Reprezentacja macierzowa pozwala na algebraiczne sformułowanie tego problemu. Operatora występ P na W jest zdefiniowana przez P ( wagowo + w ' ) = W , gdzie wag ∈ W i W' ∈ W” . Rzut P ma reprezentację macierzową

{\ Displaystyle P = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}: {\ zacząć {macierz} W \ \ \ oplus \ \ W '\ koniec {macierz}} \ rightarrow {\ zacząć {macierz} }W\\\oplus \\W'\end{macierz}}.}

Proste obliczenia pokazują, że W = przebiegł P , zakres P , jest niezmienny w T wtedy i tylko wtedy, gdy PTP = TP . Innymi słowy, podprzestrzeń W będąca elementem Lat( T ) jest równoważna odpowiadającej projekcji spełniającej relację PTP = TP .

Jeśli P jest projekcją (tj. P ² = P ), to tak samo jest 1 − P , gdzie 1 jest operatorem tożsamości. Z powyższego wynika, że TP = PT wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno przebieg P , jak i przebieg (1 − P ) są niezmienne względem T . W takim przypadku T ma reprezentację macierzową

{\ Displaystyle T = {\ rozpocznij {bmatrix} T_ {11} i 0 \ \ 0 i T_ {22} \ koniec {bmatrix}}: {\ rozpocznij {macierz} \ operatorname {ran} P \ \ \ oplus \\ \ operatorname { Ran} (1-P)\end{macierz}}\rightarrow {\begin{macierz}\operatorname {Ran} P\\\oplus \\\operatorname {Ran} (1-P)\end{macierz}}\ ;.}

Potocznie rzut, który dojeżdża do T, „diagonizuje” T .

Niezmienny problem podprzestrzenny

Niezmienniczy problem podprzestrzeni dotyczy przypadku, w którym V jest separowalną przestrzenią Hilberta nad liczbami zespolonymi o wymiarze > 1 , a T jest operatorem ograniczonym . Problem polega na tym, czy każdy taki T ma nietrywialną, zamkniętą, niezmienniczą podprzestrzeń. Ten problem nie został rozwiązany od 2021 roku.

W bardziej ogólnym przypadku, w którym założono, że V jest przestrzenią Banacha , istnieje przykład operatora bez podprzestrzeni niezmiennej za sprawą Per Enflo (1976). Przykład beton od operatora bez niezmiennego podprzestrzeni wytworzono w 1985 roku przez Charles Read .

Niezmiennicza sieć podprzestrzenna

Mając niepusty zbiór Σ ⊂ L ( V ), podprzestrzenie niezmienne pod każdym elementem Σ tworzą kratę , czasami nazywaną siecią niezmienniczą-podprzestrzeni Σ i oznaczaną przez Lat(Σ).

Operacje kratowe są definiowane w sposób naturalny: dla Σ′ ⊂ Σ operacja spełniania jest określona przez defined

{\ Displaystyle \ bigwedge _ {W \ w Sigma '} W = \ bigcap _ {W \ w Sigma '} W}

podczas gdy operacja łączenia jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \ bigvee _ {W \ w \ Sigma '} W = \ operatorname {rozpiętość} \ bigcup _ {W \ w \ Sigma '} W.}

Minimalny element w Lat(Σ) jest uważany za minimalną podprzestrzeń niezmienniczą .

Podstawowe twierdzenie algebry nieprzemiennej

Tak jak podstawowe twierdzenie algebry zapewnia, że każda transformacja liniowa działająca na skończenie wymiarowej złożonej przestrzeni wektorowej ma nietrywialną podprzestrzeń niezmienniczą, tak podstawowe twierdzenie algebry nieprzemiennej zakłada, że Lat(Σ) zawiera elementy nietrywialne dla pewnego Σ.

Twierdzenie (Burnside) Załóżmy, że V jest złożoną przestrzenią wektorową o skończonym wymiarze. Dla każdej właściwej podalgebry Σ L ( V ) Lat(Σ) zawiera element nietrywialny.

Twierdzenie Burnside'a ma fundamentalne znaczenie w algebrze liniowej . Jedną z konsekwencji jest to, że każda rodzina dojeżdżająca w L ( V ) może być jednocześnie z triangularyzacją górną.

O niepustym zbiorze Σ ( L ( V ) mówimy, że jest triangularyzowalny, jeśli istnieje baza { e ₁ , ..., e _n } V taka, że

\operatorname {span} \{e_{1},\ldots,e_{k}\}\in \operatorname {Lat} (\Sigma)\ {\text{dla wszystkich}}\k\geq 1\ ;.

Innymi słowy, Σ jest triangularyzowalne, jeśli istnieje taka baza, że każdy element Σ ma w tej bazie reprezentację macierzy górnego trójkąta. Z twierdzenia Burnside'a wynika, że każda algebra przemienna Σ w L ( V ) jest triangularyzowana. Stąd każda rodzina dojeżdżająca w L ( V ) może być jednocześnie ztrójkątna górna.

Lewe ideały

Jeśli A jest algebrą , można zdefiniować lewostronną reprezentację regularną Φ na A : Φ( a ) b = ab jest homomorfizmem od A do L ( A ), algebrą przekształceń liniowych na A

Niezmiennicze podprzestrzenie Φ są dokładnie lewymi ideałami A . Lewy ideał M z A daje podreprezentację A na M .

Jeśli M jest lewa idealny od A potem w lewo na regularne Φ reprezentacja M teraz schodzi do cp reprezentacja”na iloraz wektora przestrzeni A / M . Jeśli [ b ] oznacza klasę równoważności w A / M , Φ'( a ) [ b ] = [ ab ]. Jądrem reprezentacji Φ' jest zbiór { a ∈ A | ab ∈ M dla wszystkich b }.

Reprezentacja Φ' jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy M jest maksymalnym ideałem lewostronnym, ponieważ podprzestrzeń V ⊂ A / M jest niezmiennikiem pod {Φ'( a ) | a ∈ A } wtedy i tylko wtedy, gdy jego przedobraz pod mapą ilorazu, V + M , jest ideałem lewostronnym w A .

Prawie niezmiennicze półprzestrzenie

Z podprzestrzeniami niezmienniczymi związane są tak zwane półprzestrzenie prawie niezmiennicze ( AIHS ). Mówi się, że zamknięta podprzestrzeń przestrzeni Banacha jest prawie niezmienna pod operatorem, jeśli dla jakiejś skończenie wymiarowej podprzestrzeni ; równoważnie, jest prawie niezmienniczy pod , jeśli istnieje operator skończonego rzędu taki, że , tj. jest niezmienniczy (w zwykłym sensie) pod . W tym przypadku minimalny możliwy wymiar (lub ranga ) nazywany jest defektem . ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle T \ w {\ mathcal {B}} (X)}$ ${\ Displaystyle TY \ podzbiór Y + E}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle F \ w {\ mathcal {B}} (X)}$ ${\ Displaystyle (T + F) Y \ subseteq Y}$ ${\ Displaystyle Y}$ $T+F$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle F}$

Oczywiście każda podprzestrzeń skończenie wymiarowa i skończenie wymiarowa podprzestrzeń jest prawie niezmienna pod każdym operatorem. Tak więc, aby uczynić rzeczy nietrywialnymi, mówimy, że jest to półprzestrzeń, ilekroć jest to zamknięta podprzestrzeń o nieskończonym wymiarze i nieskończonym kowymiarze. ${\ Displaystyle Y}$

Problem AIHS to pytanie, czy każdy operator dopuszcza AIHS. W złożonej oprawie zostało to już rozwiązane; to znaczy, jeśli jest złożoną nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, a następnie dopuszcza AIHS defektu co najwyżej 1. Obecnie nie wiadomo, czy to samo dotyczy if jest rzeczywistą przestrzenią Banacha. Jednak pewne wyniki częściowe zostały ustalone: na przykład każdy operator samosprzężony na nieskończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni Hilberta dopuszcza AIHS, podobnie jak każdy ściśle pojedynczy (lub zwarty) operator działający na rzeczywistej nieskończenie wymiarowej przestrzeni refleksyjnej. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle T \ w {\ mathcal {B}} (X)}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle X}$

Zobacz też

Rozmaitość niezmiennicza

Bibliografia

Abramowicz, Jurij A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). Zaproszenie do teorii operatora . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-2146-6.

Beauzamy Bernard (1988). Wprowadzenie do teorii operatorów i podprzestrzeni niezmienniczych . Północna Holandia.

Enflo, na ; Łomonosow, Wiktor (2001). „Niektóre aspekty niezmiennego problemu podprzestrzeni”. Podręcznik geometrii przestrzeni Banacha . ja . Amsterdam: Holandia Północna. s. 533-559.

Gohberg, Izrael; Lancaster, Piotr; Rodman, Lejba (2006). Niezmiennicze podprzestrzenie macierzy z aplikacjami . Klasyka matematyki stosowanej. 51 (Przedruk, z listą errat i nową przedmową, z 1986 Wiley ed.). Towarzystwo Matematyki Przemysłowej i Stosowanej (SIAM). s. xxii+692. Numer ISBN 978-0-89871-608-5.

Lubicz, Jurij I. (1988). Wprowadzenie do teorii reprezentacji grup Banacha (przetłumaczone z red. rosyjskojęzycznego z 1985 r.). Charków, Ukraina: Birkhäuser Verlag.

Radżawi, Hejdar; Rosenthal, Piotr (2003). Podprzestrzenie niezmiennicze (Aktualizacja z 1973 Springer-Verlag ed.). Publikacje Dovera. Numer ISBN 0-486-42822-2.

Languages

In other projects