Pozytywne liczby rzeczywiste - Positive real numbers

W matematyce , zbiór dodatnich liczb rzeczywistych , to podzbiór tych liczb rzeczywistych , które są większe od zera. W nieujemnych liczb rzeczywistych , także zero. Chociaż symbole i są niejednoznacznie używane dla każdego z nich, notacja lub for i lub for była również szeroko stosowana, jest dostosowana do praktyki algebry oznaczania wykluczenia elementu zerowego przez gwiazdę i powinna być zrozumiała dla większości praktykujący matematycy. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0} = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} \ mid x> 0 \ po prawej \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0} = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ po prawej \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {*} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} \ mid x> 0 \ po prawej \}}$

W złożonej płaszczyźnie , jest identyfikowany z dodatnim osi rzeczywistej , a zwykle jest pokazana jako pozioma promień . Promień ten jest używany jako odniesienie w postaci biegunowej liczby zespolonej . Rzeczywista oś dodatnia odpowiada liczbom zespolonym z argumentem${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ Displaystyle Z = | z | \ operatorname {e} ^ {\ operatorname {i} \ varphi},}$ ${\ Displaystyle \ varphi = 0.}$

Nieruchomości

Zbiór jest zamykany na dodawanie, mnożenie i dzielenie. Dziedziczy topologię z linii rzeczywistej, a zatem ma strukturę multiplikatywnej grupy topologicznej lub addytywnej półgrupy topologicznej . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$

Dla danej dodatniej liczby rzeczywistej sekwencja jego integralnych uprawnień ma trzy różne losy: Kiedy granica wynosi zero; gdy sekwencja jest stała; i gdy sekwencja jest nieograniczona . ${\displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ lewo \ {x ^ {n} \ prawo \}}$${\displaystyle x\w (0,1)}$${\displaystyle x=1,}$${\displaystyle x>1,}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0} = (0,1) \ filiżanka \ {1 \} \ filiżanka (1, \ infty)}$a multiplikatywna funkcja odwrotna wymienia interwały. FUNKCJE, podłogi , a nadmiar , zostały użyte do opisania elementu w postaci ułamka , który jest ciągiem liczb całkowitych uzyskanych z funkcji posadzki nadmiar jest ruchem posuwisto-zwrotnym. Dla racjonalnych sekwencja kończy się dokładnym ułamkowym wyrażeniem , a dla kwadratowej irracjonalnej sekwencja staje się okresowym ułamkiem ciągłym . ${\displaystyle \operatorname {piętro}:[1,\infty)\to \mathbb {N},\,x\mapsto \lpiętro x\rpiętro,}$${\displaystyle \operatorname {nadmiar}:[1,\infty)\to (0,1),\,x\mapsto x-\lpodłoga x\rpodłoga,}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\displaystyle \w lewo [n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \w prawo],}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Uporządkowany zestaw tworzy porządek całkowity, ale nie jest uporządkowanym zestawem . Podwójnie nieskończony postęp geometryczny , w którym jest liczbą całkowitą , leży w całości i służy do sekcji niego za dostęp. tworzy skalę ilorazową , najwyższy poziom pomiaru . Elementy można zapisać w notacji naukowej jako gdzie i jest liczbą całkowitą w podwójnie nieskończonym postępie i nazywa się dekadą . W badaniu wielkości fizycznych, rząd dekad dostarcza dodatnich i ujemnych liczb porządkowych odnoszących się do skali porządkowej ukrytej w skali ilorazowej. ${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} _ {> 0},> \ po prawej)}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} _ {> 0},> \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$${\ Displaystyle a \ razy 10 ^ {n}}$${\displaystyle 1\leq a<10}$${\displaystyle b}$

W badaniu z udziałem grup klasycznych , dla każdego determinantą podaje mapę z matryc w ciągu liczb rzeczywistych dla liczb rzeczywistych: Ograniczenie do odwracalnych macierzy daje mapę z ogólnej grupy liniowego do nie zerowych liczb rzeczywistych: Ograniczenie do matryc z dodatnim determinanty daje mapę ; interpretując obraz jako grupę ilorazową przez normalną podgrupę zwaną specjalną grupą liniową , wyrażamy dodatnie liczby rzeczywiste jako grupę Liego . ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N} ,}$${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle \ operatorname {M} (n \ mathbb {R}) \ do \ mathbb {R}}.$${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n \ mathbb {R}) \ do \ mathbb {R} ^ {\ razy}.}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} (n \ mathbb {R}) \ do \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (n \ mathbb {R}) \ trójkąt w lewo \ operatorname {GL} ^ {+} (n \ mathbb {R})}$

Skala współczynnika

Wśród poziomów pomiaru skala proporcji zapewnia najdrobniejsze szczegóły. Funkcja dzielenia przyjmuje wartość jeden (1), gdy licznik i mianownik są równe. Inne współczynniki są porównywane do jednego przez logarytm, często logarytm wspólny przy podstawie 10. Skala współczynnika dzieli się następnie według rzędów wielkości stosowanych w nauce i technice, wyrażonych w różnych jednostkach miary .

Wczesne wyrażenie skali proporcjonalnej zostało wyrażone geometrycznie przez Eudoxusa : „to... w języku geometrycznym rozwinęła się ogólna teoria proporcji Eudoxusa, która jest odpowiednikiem teorii dodatnich liczb rzeczywistych”.

Miara logarytmiczna

Jeśli jest przedziałem , to określa miarę na pewnych podzbiorach odpowiadających cofnięciu zwykłej miary Lebesgue'a na liczbach rzeczywistych pod logarytmem: jest to długość w skali logarytmicznej . W rzeczywistości jest to miara niezmienna w odniesieniu do mnożenia przez a, tak jak miara Lebesgue'a jest niezmienna przy dodawaniu. W kontekście grup topologicznych miara ta jest przykładem miary Haara . ${\ Displaystyle [a, b] \ subseteq \ mathbb {R} _ {> 0}}$${\ Displaystyle \ mu ([a, b]) = \ log (b / a) = \ log b - \ log a}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0},}$${\displaystyle [a,b]\do [az,bz]}$${\ Displaystyle Z \ w \ mathbb {R} _ {> 0}}$

Użyteczność tej miary jest pokazana w jej zastosowaniu do opisu wielkości gwiazdowych i poziomów hałasu w decybelach , między innymi w skali logarytmicznej . Dla celów międzynarodowych norm ISO 80000-3 ilości bezwymiarowe określa się jako poziomy .

Aplikacje

Nieujemne liczby rzeczywiste służą jako obraz dla metryk , norm i miar w matematyce.

Wraz z 0, zbiór ma strukturę półpierścieniową (0 jest identycznością addytywną ), znaną jako półpierścień prawdopodobieństwa ; logarytmowanie (z wyborem podstawy dającej jednostkę logarytmiczną ) daje izomorfizm z półpierścieniem logarytmicznym (z 0 odpowiadającym ), a jego jednostki (liczby skończone, z wyłączeniem ) odpowiadają dodatnim liczbom rzeczywistym. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$

Kwadrat

Niech pierwsza ćwiartka płaszczyzny kartezjańskiej. Sam kwadrant jest podzielony na cztery części przez linię i standardową hiperbolę${\ Displaystyle Q = \ mathbb {R} _ {> 0} \ razy \ mathbb {R} _ {> 0}}$${\displaystyle L=\{(x,y):x=y\}}$${\ Displaystyle H = \ {(x, y): xy = 1 \}.}$

Forma trójząb jest punktem centralnym. Jest to element tożsamości dwóch grup jednoparametrowych, które się tam przecinają: ${\ Displaystyle L \ filiżanka H}$${\ Displaystyle L \ czapka H = (1,1)}$

Ponieważ jest grupą , jest bezpośrednim produktem grup . Podgrupy jednoparametrowe L i H w Q profilują aktywność w produkcie i stanowią rozwiązanie typów działania grupowego. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle L \ razy H}$

Sfera biznesu i nauki obfituje w wskaźniki, a każda zmiana wskaźników zwraca uwagę. Badanie odnosi się do współrzędnych hiperbolicznych w Q . Ruch w kierunku osi L wskazuje na zmianę średniej geometrycznej, podczas gdy zmiana wzdłuż H wskazuje na nowy kąt hiperboliczny . ${\displaystyle {\sqrt {xy}},}$

Zobacz też

• Semifield  – jedno z dwóch uogólnień pól, albo rozluźniając asocjatywność i przemienność mnożenia, albo rozluźniając istnienie odwrotności addytywnych
• Znak (matematyka)

Bibliografia

Bibliografia

• Kist, Józef; Leetsma, Sanford (1970). „Dodatkowe półgrupy dodatnich liczb rzeczywistych”. Matematyka Annalen . 188 (3): 214-218. doi : 10.1007/BF01350237 .