Miara (matematyka) - Measure (mathematics)
Miara jest podstawowym pojęciem matematyki . Miary zapewniają matematyczną abstrakcję dla popularnych pojęć, takich jak masa , odległość / długość , powierzchnia , objętość , prawdopodobieństwo zdarzeń i — po pewnych korektach — ładunek elektryczny . Te pozornie odrębne pojęcia są z natury bardzo podobne i w wielu przypadkach mogą być traktowane jako matematycznie nie do odróżnienia. Miary są podstawą teorii prawdopodobieństwa . Daleko idące uogólnienia miary są szeroko stosowane w fizyce kwantowej i ogólnie fizyce.
Intuicja stojąca za tą koncepcją sięga starożytnej Grecji, kiedy Archimedes próbował obliczyć pole koła. Ale dopiero pod koniec XIX i na początku XX wieku teoria miary stała się gałęzią matematyki. Podstawy nowoczesnej teorii miary zostały położone między innymi w pracach Émile'a Borela , Henri Lebesgue'a , Johanna Radona , Constantina Carathéodory'ego i Maurice'a Frécheta .
Definicja
Niech X będzie zbiorem i Σ σ -algebra nad X . Funkcja μ od Σ do rozszerzonej linii liczb rzeczywistych nazywana jest miarą, jeśli spełnia następujące właściwości:
- Nieujemność : dla wszystkich E w Σ mamy μ ( E ) ≥ 0 .
- Pusty zestaw pusty : .
-
Addytywność policzalna (lub σ -additivity ): Dla wszystkich policzalnych zbiorów parami rozłącznych zbiorów w Σ,
Jeśli przynajmniej jeden zbiór ma miarę skończoną, to wymaganie, które jest spełnione automatycznie. Rzeczywiście, przez policzalną addycję,
i dlatego
Jeśli warunek nieujemności zostanie pominięty, ale drugi i trzeci z tych warunków są spełnione, a μ przyjmuje co najwyżej jedną z wartości ±∞ , wówczas μ nazywa się miarą ze znakiem .
Para ( X , Σ) nazywana jest przestrzenią mierzalną , elementy Σ nazywane są zbiorami mierzalnymi . Jeśli i to dwa wymierne obowiązuje, wówczas funkcja nazywana jest mierzalna , jeśli dla każdego Y -measurable zestaw The obraz odwrotny jest X -measurable - tj . W tej konfiguracji kompozycja mierzalnych funkcji jest mierzalna, co sprawia, że mierzalne przestrzenie i mierzalne funkcje są kategorią , z mierzalnymi przestrzeniami jako obiektami, a zestaw mierzalnych funkcji jako strzałkami. Zobacz także Funkcja mierzalna § Warianty użytkowania terminów dotyczące innej konfiguracji.
Potrójne ( X , Σ, μ ) nazywamy przestrzeń miarą . Środek prawdopodobieństwo jest środek o całkowitej jednego środka - to znaczy μ ( X ) = 1 . Przestrzeń prawdopodobieństwo jest miarą przestrzeni z miarą prawdopodobieństwa.
Dla przestrzeni miar, które są również przestrzeniami topologicznymi , można umieścić różne warunki zgodności dla miary i topologii. Większość miar spotykanych w praktyce w analizie (a w wielu przypadkach także w rachunku prawdopodobieństwa ) to miary Radona . Środki radonu mają alternatywną definicję w kategoriach funkcjonałów liniowych na lokalnie wypukłej przestrzeni z funkcji ciągłych o zwartym nośniku . Takie podejście przyjmuje Bourbaki (2004) i szereg innych źródeł. Więcej informacji można znaleźć w artykule o miarach Radon .
Instancje
Poniżej wymieniono niektóre ważne środki.
- Środki zliczania jest określona ľ ( S ) = liczba elementów S .
- Lebesgue'a na ℝ jest pełna translacyjnie niezmienna ilości na σ -algebra zawierającą przedziały w ℝ tak, że μ ([0, 1]) = 1 ; a każda inna miara o tych własnościach rozszerza miarę Lebesgue'a.
- Okrągła miara kąta jest niezmienna w przypadku rotacji , a hiperboliczna miara kąta jest niezmienna w przypadku mapowania ściśnięcia .
- Środek Haar na lokalnie zwartej grupie topologicznej uogólnieniem środka Lebesgue'a (a także środek liczenia i obwodowych środka w pionie) i ma podobne właściwości niepowtarzalność.
- Środek Hausdorff uogólnieniem środka Lebesgue'a do zestawów o wymiarze niż całkowita, w szczególności, wstęga zestawy.
- Z każdej przestrzeni prawdopodobieństwa powstaje miara, która przyjmuje wartość 1 na całej przestrzeni (a zatem przyjmuje wszystkie jej wartości w przedziale jednostkowym [0, 1]). Taka miara nazywana jest miarą prawdopodobieństwa . Zobacz aksjomaty prawdopodobieństwa .
- Diraca środek δ a (por Diraca funkcji delta ) jest podana δ ( S ) = χ S (a), gdzie χ S jest funkcją wskaźnik z S . Miarą zbioru jest 1, jeśli zawiera punkt a i 0 w przeciwnym wypadku.
Inne „o nazwie” środki stosowane w różnych teorii to: miara borelowska , Miara Jordana , ergodyczny miarą , Euler miara , miara Gaussa , Baire miara , miara radona , Młody miarą , a Loeb miarą .
W fizyce przykładem miary jest przestrzenny rozkład masy (patrz np. potencjał grawitacyjny ) lub inna nieujemna właściwość ekstensywna , zachowana (patrz prawo zachowania, aby zapoznać się z ich listą) lub nie. Wartości ujemne prowadzą do podpisanych środków, patrz „uogólnienia” poniżej.
- Miara Liouville'a , znana również jako naturalna forma objętości na rozmaitości symplektycznej, jest użyteczna w klasycznej mechanice statystycznej i hamiltonowskiej.
- Miara Gibbsa jest szeroko stosowana w mechanice statystycznej, często pod nazwą zespół kanoniczny .
Podstawowe właściwości
Niech μ będzie miarą.
Monotoniczność
Jeśli E 1 i E 2 są zbiorami mierzalnymi z E 1 ⊆ E 2 to
Miara sumy policzalnych i przecięć
Subaddytywność
Dla dowolnego policzalnego ciągu E 1 , E 2 , E 3 , ... (niekoniecznie rozłącznych) zbiorów mierzalnych E n w Σ:
Ciągłość od dołu
Jeżeli E 1 , E 2 , E 3 , ... są zbiorami mierzalnymi i dla wszystkich n , to suma zbiorów E n jest mierzalna, a
Ciągłość z góry
Jeżeli E 1 , E 2 , E 3 , ... są zbiorami mierzalnymi i dla wszystkich n , to przecięcie zbiorów E n jest mierzalne; ponadto, jeśli co najmniej jeden z E n ma skończoną miarę, wtedy
Ta własność jest fałszywa bez założenia, że przynajmniej jeden z E n ma skończoną miarę. Na przykład, dla każdego n ∈ N , niech E n = [ n , ∞) ⊂ R , które wszystkie mają nieskończoną miarę Lebesgue'a, ale przecięcie jest puste.
Inne właściwości
Kompletność
Mierzalny zbiór X nazywany jest zbiorem zerowym, jeśli μ ( X ) = 0 . Podzbiór zerowego zbioru nazywany jest nieistotnym zbiorem . Zbiór nieistotny nie musi być mierzalny, ale każdy mierzalny zbiór nieistotny jest automatycznie zbiorem zerowym. Miarę nazywamy kompletną, jeśli każdy nieznaczny zbiór jest mierzalny.
Środek można rozszerzyć do pełnej jednego rozważając Ď-algebraiczne podzbiorów Y , które różnią się w nieznacznym zestawu z mierzalną zbioru X , to jest tak, że symetryczne różnice z X i Y jest zawarty w zestawie zerowej. Jeden definiuje μ ( Y ) jako równy μ ( X ) .
μ{x : f(x)≥t}=μ{x : f(x)>t} (ae)
Jeśli funkcja -measurable przyjmuje wartości on to
dla prawie wszystkich w odniesieniu do miary Lebesgue'a . Ta właściwość jest używana w połączeniu z całką Lebesgue'a .
Dowód. |
Oba i są monotonicznie nierosnącymi funkcjami, więc obie są prawie wszędzie ciągłe względem miary Lebesgue'a. Jeśli dla wszystkich , to przez addytywność i nieujemność, jako wymagane. Jeśli wręcz przeciwnie, dla niektórych istnieje taka unikatowość , że ta funkcja jest nieskończona po lewej stronie (co może się zdarzyć tylko wtedy, gdy i skończone po prawej stronie). Argumentując jak powyżej, kiedy Dla puszczeniu się monotonicznie długoterminowe, sekwencja konwergencję The non monotonicznie rosnącej kolejności z -measurable zestawów ma co najmniej jedną skończoną -measurable elementem i Ciągłość z góry pokazuje, że Prawa strona jest wtedy równa if jest punktem ciągłości. |
Addytywność
Wymagane jest, aby środki były przeliczalnie addytywne. Warunek można jednak wzmocnić w następujący sposób. Dla dowolnego zestawu i dowolnego zestawu nieujemnych określ:
Oznacza to, że definiujemy sumę jako najwyższą ze wszystkich sum skończenie wielu z nich.
Miara na jest -dodatkowa, jeśli dla dowolnej i dowolnej rodziny rozłącznych ustawia następujące wstrzymanie:
Zauważ, że drugi warunek jest równoważny stwierdzeniu, że ideałem zbiorów zerowych jest -kompletność.
Miary skończone sigma
Przestrzeń miary ( X , Σ , μ ) nazywana jest skończoną, jeśli μ ( X ) jest skończoną liczbą rzeczywistą (a nie ∞). Niezerowe miary skończone są analogiczne do miar prawdopodobieństwa w tym sensie, że każda skończona miara μ jest proporcjonalna do miary prawdopodobieństwa . Miara μ nazywana jest σ-skończoną, jeśli X można rozłożyć na przeliczalne sumy mierzalnych zbiorów miary skończonej. Analogicznie mówi się, że zbiór w przestrzeni miary ma miarę σ-skończoną, jeśli jest przeliczalną sumą zbiorów o skończonej mierze.
Na przykład liczby rzeczywiste ze standardową miarą Lebesgue'a są σ-skończone, ale nie skończone. Rozważ domknięte przedziały [ k , k +1] dla wszystkich liczb całkowitych k ; takich interwałów jest przeliczalnie wiele, każdy ma takt 1, a ich sumą jest cała linia rzeczywista. Alternatywnie rozważmy liczby rzeczywiste za pomocą miary liczenia , która przypisuje każdemu skończonemu zbiorowi liczb rzeczywistych liczbę punktów w zbiorze. Ta przestrzeń miarowa nie jest σ-skończona, ponieważ każdy zbiór o skończonej mierze zawiera tylko skończenie wiele punktów, a pokrycie całej prostej rzeczywistej wymagałoby niezliczonej ilości takich zbiorów. Przestrzenie miar σ-skończonych mają pewne bardzo wygodne własności; σ-skończoność można porównać pod tym względem do własności Lindelöfa przestrzeni topologicznych. Można je również traktować jako niejasne uogólnienie idei, że przestrzeń miary może mieć „niepoliczalną miarę”.
miary s-skończone
Mówi się, że miara jest s-skończona, jeśli jest policzalną sumą miar ograniczonych. Miary S-skończone są bardziej ogólne niż miary sigma-skończone i mają zastosowanie w teorii procesów stochastycznych .
Niemierzalne zestawy
Jeśli założymy, że aksjomat wyboru jest prawdziwy, to można dowieść, że nie wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowej są mierzalne według Lebesgue'a ; Przykładami takich zbiorów są zbiór Vitali , oraz zbiory niemierzalne postulowane przez paradoks Hausdorffa i paradoks Banacha–Tarskiego .
Uogólnienia
Do pewnych celów przydatne jest posiadanie „miary”, której wartości nie są ograniczone do nieujemnych liczb rzeczywistych lub nieskończoności. Na przykład przeliczalnie addytywna funkcja zbioru z wartościami w (ze znakiem) liczbach rzeczywistych nazywana jest miarą ze znakiem , podczas gdy taka funkcja z wartościami w liczbach zespolonych nazywana jest miarą zespoloną . Miary, które przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha były szeroko badane. Miara, która przyjmuje wartości w zbiorze samosprzężonych projekcji na przestrzeń Hilberta, nazywana jest miarą o wartości projekcji ; są one używane w analizie funkcjonalnej dla twierdzenia spektralnego . Gdy konieczne jest odróżnienie zwykłych miar, które przyjmują wartości nieujemne od uogólnień, stosuje się termin miara dodatnia . Miary dodatnie są zamykane pod kombinacją stożkową, ale nie ogólną kombinacją liniową , podczas gdy miary ze znakiem są liniowym zamknięciem miar dodatnich.
Innym uogólnieniem jest miara skończenie addytywna , znana również jako zawartość . To to samo, co miara, z tym wyjątkiem, że zamiast wymagać policzalnej addytywności, potrzebujemy tylko addytywności skończonej . Historycznie ta definicja była używana jako pierwsza. Okazuje się, że generalnie miary skończenie addytywne związane są z pojęciami takimi jak granice Banacha , dualizm L ∞ i zagęszczenie Stone–Čech . Wszystkie one są w taki czy inny sposób powiązane z aksjomatem wyboru . Treści pozostają przydatne w niektórych problemach technicznych teorii miary geometrycznej ; to jest teoria miar Banacha .
Opłata jest uogólnieniem w obu kierunkach: jest skończenie dodatek podpisany akt.
Zobacz też
- Algebra Abeliana von Neumanna
- Prawie wszędzie
- Twierdzenie Carathéodory'ego o rozszerzeniu
- Treść (teoria miary)
- Twierdzenie Fubiniego
- Lemat Fatou
- Teoria miary rozmytej
- Teoria miary geometrycznej
- Miara Hausdorffa
- Środek wewnętrzny
- Integracja Lebesgue'a
- Miara Lebesgue'a
- Przestrzeń Lorentza
- Teoria podnoszenia
- Mierzalny kardynał
- Wymierna funkcja
- Treść Minkowskiego
- Miara zewnętrzna
- Miara produktu!
- Środek pushforward
- Regularna miara
- Miara wektorowa
- Wycena (teoria miary)
- Formularz objętości
Bibliografia
Bibliografia
- Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure , Wiley Interscience.
- Bauer, H. (2001), Teoria miary i integracji , Berlin: de Gruyter, ISBN 978-3110167191
- Niedźwiedź, HS (2001), Primer integracji Lebesgue'a , San Diego: Academic Press, ISBN 978-0120839711
- Bogachev, VI (2006), Teoria miary , Berlin: Springer, ISBN 978-3540345138
- Bourbaki, Nicolas (2004), Integracja I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 Rozdział III.
- RM Dudley, 2002. Analiza rzeczywista i prawdopodobieństwo . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
- Folland, Gerald B. (1999), Analiza rzeczywista: nowoczesne techniki i ich zastosowania , John Wiley and Sons, ISBN 0471317160 Druga edycja.
- Federera, Herberta. Teoria miary geometrycznej. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., Nowy Jork 1969 xiv+676 s.
- DH Fremlin, 2000. Teoria miary . Torresa Fremlina.
- Jech, Thomas (2003), Teoria mnogości: wydanie trzecie tysiąclecie, poprawione i rozszerzone , Springer Verlag , ISBN 3-540-44085-2
- R. Duncan Luce i Louis Narens (1987). „pomiar, teoria”, The New Palgrave: A Dictionary of Economics , t. 3, s. 428–32.
- ME Munroe, 1953. Wprowadzenie do pomiaru i integracji . Addisona Wesleya.
- KPS Bhaskara Rao i M. Bhaskara Rao (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures , Londyn: Academic Press, pp. x + 315, ISBN 0-12-095780-9
- Shilov, GE i Gurevich, BL, 1978. Integral, Measure and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, przeł. Publikacje Dovera. ISBN 0-486-63519-8 . Podkreśla całkę Daniella .
- Teschl, Gerald , Tematy w analizie rzeczywistej i funkcjonalnej , (notatki do wykładów)
- Tao, Terence (2011). Wprowadzenie do teorii miary . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 9780821869192.
- Tkacz, Nik (2013). Teoria miary i analiza funkcjonalna . Światowy Naukowy . Numer ISBN 9789814508568.
Zewnętrzne linki
- „Miara” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- Samouczek: Teoria miary dla manekinów