e (stała matematyczna) - e (mathematical constant)

Wykres równania y = 1/ x . Tutaj e jest unikalną liczbą większą niż 1, która sprawia, że ​​zacieniony obszar jest równy 1.

Część serii artykułów na temat
stała matematyczna e
Nieruchomości
Naturalny logarytm Funkcja wykładnicza
Aplikacje
procent składany Tożsamość Eulera Wzór Eulera okresy półtrwania wykładniczy wzrost i rozpad
Definiowanie e
dowód, że e jest irracjonalne reprezentacje e Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa
Ludzie
John Napier Leonhard Euler
powiązane tematy
przypuszczenie Schanuela
v T mi

Liczba e , znana również jako liczba Eulera , jest stałą matematyczną w przybliżeniu równą 2,71828 i można ją scharakteryzować na wiele sposobów. To jest podstawa z logarytmu naturalnego . To ograniczenie od (1 + 1 / n ) ⁿ a n zbliża się do nieskończoności, wyrażenie, które powstaje w badaniu związek zainteresowania . Można go również obliczyć jako sumę szeregu nieskończonego

${\ Displaystyle e = \ suma \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n!}} = 1 + {\ Frac {1} {1}} + {\ Frac {1 }{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Jest to również unikalna liczba dodatnia a taka, że ​​wykres funkcji y = a ^x ma nachylenie 1 przy x = 0 .

(naturalna) funkcja wykładnicza f ( x ) = e ^x jest unikalną funkcją f, która jest równa jej własnej pochodnej i spełnia równanie f (0) = 1 ; stąd można również zdefiniować e jako f (1) . Logarytm naturalny lub logarytm o podstawie e jest funkcją odwrotną do naturalnej funkcji wykładniczej. Logarytm naturalny liczby k > 1 można zdefiniować bezpośrednio jako pole pod krzywą y = 1/ x pomiędzy x = 1 i x = k , w którym to przypadku e jest wartością k, dla której ta powierzchnia jest równa jeden (patrz obraz). Istnieje wiele innych charakterystyk .

e jest czasami nazywane liczbą Eulera , od szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera (nie mylić z γ , stałą Eulera-Mascheroni , czasami nazywaną po prostu stałą Eulera ) lub stałą Napiera . Mówi się jednak, że wybór Eulera dotyczący symbolu e został zachowany na jego cześć. Stała została odkryta przez szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego podczas badania procentu składanego.

Liczba e ma ogromne znaczenie w matematyce, obok 0, 1, π i i . Wszystkie pięć pojawiają się w jednym sformułowaniu tożsamości Eulera i odgrywają ważne i powtarzające się role w matematyce. Podobnie jak stała π , e jest irracjonalne (to znaczy nie może być reprezentowane jako stosunek liczb całkowitych) i transcendentalne (to znaczy nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o wymiernych współczynnikach). Do 50 miejsc po przecinku wartość e wynosi:

Historia

Pierwsze wzmianki o stałej zostały opublikowane w 1618 roku w tabeli aneksu do pracy Johna Napiera o logarytmach . Nie zawierało to jednak samej stałej, ale po prostu listę logarytmów obliczonych ze stałej. Przyjmuje się, że tablicę napisał William Oughtred .

Odkrycie samej stałej przypisuje się Jacobowi Bernoulliemu w 1683 roku, który próbował znaleźć wartość następującego wyrażenia (które jest równe e ):

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {1} {n}} \ po prawej) ^ {n}.}$

Pierwsze znane użycie stałej, reprezentowanej przez literę b , miało miejsce w korespondencji Gottfrieda Leibniza do Christiaana Huygensa w 1690 i 1691 roku. Leonhard Euler wprowadził literę e jako podstawę logarytmów naturalnych, pisząc w liście do Christiana Goldbacha 25 Listopad 1731. Euler zaczął używać litery e jako stałej w 1727 lub 1728 roku w niepublikowanym artykule o siłach wybuchowych w armatach, podczas gdy pierwsze pojawienie się e w publikacji miało miejsce w Euler's Mechanica (1736). Chociaż niektórzy badacze używali litery c w kolejnych latach, litera e była bardziej powszechna i ostatecznie stała się standardem.

W matematyce standardem jest zapisanie stałej jako „ e ”, kursywą; ISO 80000-2 : 2019 norma zaleca nabieranie stałe w wyprostowanej stylu, ale nie zostało to potwierdzone przez społeczność naukową.

Aplikacje

Odsetki składane

Efekt uzyskiwania 20% rocznych odsetek od początkowej inwestycji o wartości 1000 USD przy różnych częstotliwościach kapitalizacji

Jacob Bernoulli odkrył tę stałą w 1683 roku, badając pytanie o procent składany:

Konto zaczyna się od 1,00 USD i płaci 100 procent odsetek rocznie. Jeżeli odsetki są naliczane jednorazowo, na koniec roku wartość rachunku na koniec roku wyniesie 2,00 USD. Co się stanie, jeśli odsetki są naliczane i kredytowane częściej w ciągu roku?

Jeśli odsetki są naliczane dwa razy w roku, stopa procentowa za każde 6 miesięcy wyniesie 50%, więc początkowy 1 USD jest pomnożony dwukrotnie przez 1,5, co daje 1,00 USD × 1,5 ² = 2,25 USD na koniec roku. Składanie kwartalnych zysków 1,00 × 1,25 ⁴ = 2,4414 $... i składanie miesięcznych zysków 1,00 $ × (1 + 1/12) ¹² = 2,613035… Jeśli istnieje n przedziałów kapitalizacji , odsetki dla każdego przedziału wyniosą 100%/ n, a wartość na koniec roku wyniesie 1,00 $ ×  (1 + 1/ n ) ⁿ .

Bernoulli zauważył, że ciąg ten zbliża się do granicy ( siły zainteresowania ) z większym n, a zatem mniejszymi przedziałami składania . Cotygodniowe składanie ( n = 52 ) daje 2,692597 $..., podczas gdy łączenie dzienne ( n = 365 ) daje 2,714567 $... (około dwa centy więcej). Granica, gdy n rośnie, to liczba znana jako e . Oznacza to, że przy ciągłym kapitalizacji wartość konta osiągnie 2,718281828 USD...

Bardziej ogólnie, konto, które zaczyna się od 1 USD i oferuje roczną stopę procentową R , po t latach przyniesie e ^Rt dolarów z ciągłą kapitalizacją.

(Zauważ, że R jest dziesiętnym odpowiednikiem stopy procentowej wyrażonej w procentach , więc dla 5% odsetek, R = 5/100 = 0,05 .)

Próby Bernoulliego

Wykresy prawdopodobieństwa P o nie obserwując zdarzenia niezależne od każdego z prawdopodobieństwem 1 / n po n prób Bernoulliego i 1 - P   vs N  ; można zaobserwować, że wraz ze wzrostem n , prawdopodobieństwo, że zdarzenie 1/ n -przypadku nigdy się nie pojawi po n próbach, szybko zbliża się do 1/ e .

Sama liczba e ma również zastosowanie w teorii prawdopodobieństwa , w sposób, który nie jest oczywiście związany ze wzrostem wykładniczym. Załóżmy, że gracz gra na automacie, który wypłaca z prawdopodobieństwem jeden na n i gra n razy. Wtedy dla dużego n prawdopodobieństwo, że gracz przegra każdy zakład, wynosi około 1/ e . Dla n = 20 jest to już około 1/2,79.

To jest przykład procesu badawczego Bernoulliego . Za każdym razem gdy gracz odgrywa szczeliny, jest jednym z n szansę na wygraną. Granie n razy jest modelowane przez rozkład dwumianowy , który jest ściśle powiązany z twierdzeniem dwumianowym i trójkątem Pascala . Prawdopodobieństwo wygrania k razy z n prób wynosi:

${\ Displaystyle {\ Binom {n} {k}} \ po lewej ({\ Frac {1} {n}} \ prawej) ^ {k} \ po lewej (1-{\ Frac {1} {n}} \ prawej) )^{nk}.}$

W szczególności prawdopodobieństwo wygranej zero razy ( k = 0 ) wynosi

${\ Displaystyle \ lewo (1-{\ Frac {1} {n}} \ po prawej) ^ {n}.}$

Granica powyższego wyrażenia, jako że n dąży do nieskończoności, wynosi dokładnie 1/ e .

Standardowy rozkład normalny

Rozkład normalny ze średnią zerową i jednostkowym odchyleniem standardowym jest znany jako standardowy rozkład normalny , określony przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa

${\ Displaystyle \ phi (x) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ Frac {1} {2}} x ^ {2}}.}$

Ograniczenie wariancji jednostkowej (a tym samym również odchylenia standardowego jednostki) powoduje, że 1/2w wykładniku, a ograniczenie całkowitej powierzchni jednostki pod krzywą skutkuje współczynnikiem . ^[dowód] Funkcja ta jest symetryczna wokół x = 0 , gdzie osiąga swoją maksymalną wartość i ma punkty przegięcia w x = ±1 . ${\ Displaystyle \ phi (x)}$${\ Displaystyle \ textstyle 1/{\ sqrt {2 \ pi}}}$${\ Displaystyle \ textstyle 1/{\ sqrt {2 \ pi}}}$

Zaburzenia

Inne zastosowanie e , również częściowo odkryte przez Jacoba Bernoulliego wraz z Pierre'em Remondem de Montmort , dotyczy problemu derangements , znanego również jako problem sprawdzania kapelusza : n goście są zapraszani na przyjęcie, a przy drzwiach wszyscy goście sprawdź ich kapelusze u kamerdynera, który z kolei wkłada je do n pudełek, każdy oznaczony imieniem jednego gościa. Ale kamerdyner nie pytał o tożsamość gości, więc wkłada kapelusze do losowo wybranych pudełek. Problemem de Montmorta jest znalezienie prawdopodobieństwa, że żaden z kapeluszy nie zostanie włożony do właściwego pudełka. Prawdopodobieństwo to, oznaczone przez , wynosi: ${\displaystyle p_{n}\!}$

${\ Displaystyle p_ {n} = 1- {\ Frac {1} {1!}} + {\ Frac {1} {2!}} - {\ Frac {1} {3!}} + \ cdots + { \frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Ponieważ liczba n gości dąży do nieskończoności, p _n zbliża się do 1/ e . Co więcej, liczba sposobów, w jakie kapelusze mogą być umieszczone w polach, tak aby żaden z kapeluszy nie znajdował się w prawym polu, wynosi n !/ e ( zaokrąglone do najbliższej liczby całkowitej dla każdego dodatniego  n ).

Optymalne problemy z planowaniem

Kij o długości L jest podzielony na n równych części. Wartość n, która maksymalizuje iloczyn długości, to albo

${\ Displaystyle n = \ lewo \ l podłoga {\ Frac {L} {e}} \ prawo \ r podłoga}$ lub ${\ Displaystyle \ lewo \ l podłoga {\ Frac {L} {e}} \ prawo \ r podłoga +1.}$

Podany wynik jest następujący, ponieważ maksymalna wartość występuje w ( problem Steinera , omówiony poniżej ). Ilość jest miarą informacji zebranych ze zdarzenia zachodzącego z prawdopodobieństwem , tak że zasadniczo ten sam optymalny podział pojawia się w optymalnych problemach planowania, takich jak problem sekretarki . ${\ Displaystyle x ^ {-1} \ ln x}$${\displaystyle x=e}$${\ Displaystyle x ^ {-1} \ ln x}$${\displaystyle 1/x}$

Asymptotyka

Liczba e występuje naturalnie w związku z wieloma problemami asymptotycznymi . Przykładem jest wzór Stirlinga dla asymptotyka w funkcji silni , w którym zarówno numery e i gatunku pojawiają:

${\ Displaystyle n! \ Sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ lewo ({\ Frac {n} {e}} \ po prawej) ^ {n}.}$

W konsekwencji,

${\ Displaystyle e = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n} {\ sqrt [{n}] {n!}}}.}$

W rachunku różniczkowym

Wykresy funkcji x ↦ a ^x są pokazane dla a = 2 (kropkowane), a = e (niebieskie) i a = 4 (przerywane). Wszystkie one przechodzić przez punkt (0,1) , a linia czerwona (która ma nachylenie 1 ) jest styczna tylko E ^x tam.

Wartość funkcji logarytmu naturalnego dla argumentu e , tj. ln e , jest równa 1.

Główną motywację do wprowadzania numerów e , zwłaszcza w rachunku , jest wykonanie różnicowego i całkowego z funkcji wykładniczych i logarytmicznych . Ogólna funkcja wykładnicza y = a ^x ma pochodną określoną przez granicę :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {d} {dx}} a ^ {x} i = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {a ^ {x + h} -a ^ { x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x }\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

Granica w nawiasie po prawej stronie jest niezależna od zmiennej x . Jego wartość okazuje się być logarytmem a do podstawy e . Tak więc, gdy wartość jest ustawiony na e , granica ta jest równa się 1 , a więc dochodzi się następującym prostym tożsamości:

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.}$

W konsekwencji funkcja wykładnicza o podstawie e jest szczególnie odpowiednia do prowadzenia rachunku różniczkowego. Wybranie e (w przeciwieństwie do jakiejś innej liczby jako podstawy funkcji wykładniczej) znacznie upraszcza obliczenia dotyczące pochodnych.

Kolejna motywacja wynika z rozważenia pochodnej podstawy - logarytmu (tj. log _a x ), dla  x > 0 :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {d} {dx}} \ log _ {a} x & = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {\ log _ {a} (x + h )-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\ cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1} {u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

gdzie dokonano podstawienia u = h / x . Podstawa - logarytm e wynosi 1, jeśli a jest równe e . Tak symbolicznie,

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ log _ {e} x = {\ Frac {1} {x}}.}$

Logarytm o tej specjalnej podstawie nazywa się logarytmem naturalnym i jest oznaczony jako ln ; zachowuje się dobrze przy różnicowaniu, ponieważ nie ma nieokreślonego limitu do przeprowadzenia obliczeń.

Tak więc istnieją dwa sposoby wyboru takich liczb specjalnych a . Jednym sposobem jest ustawienie pochodną funkcji wykładniczej a ^x równa się w ^X i rozwiązania dla . Inny sposób polega na ustawieniu zależnych od podstawy do logarytmów 1 / x i rozwiązania dla . W każdym przypadku dochodzi się do dogodnego wyboru podstawy do robienia rachunku różniczkowego. Okazuje się, że te dwa rozwiązania dla a są właściwie takie same : liczba e .

Charakterystyki alternatywne

Pięć kolorowych regionów ma równy obszar i określa jednostki kąta hiperbolicznego wzdłuż hiperboli ${\displaystyle xy=1.}$

Możliwe są również inne charakterystyki e : jedna jest granicą ciągu , druga jest sumą szeregu nieskończonego, a jeszcze inne opierają się na rachunku całkowym . Do tej pory wprowadzono dwie (równoważne) właściwości:

1. Liczba e jest unikalną dodatnią liczbą rzeczywistą taką, że .${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} e ^ {t} = e ^ {t}}$
2. Liczba e jest unikalną dodatnią liczbą rzeczywistą taką, że .${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ log _ {e} t = {\ Frac {1} {t}}}$

Można udowodnić, że następujące cztery charakterystyki są równoważne :

Nieruchomości

Rachunek różniczkowy

Podobnie jak w motywacji, funkcja wykładnicza e ^x jest ważna po części dlatego, że jest to unikalna nietrywialna funkcja, która jest swoją własną pochodną (aż do pomnożenia przez stałą):

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}}$

a zatem również jego własna pierwotna :

${\ Displaystyle \ int e ^ {x} \ dx = e ^ {x} + C}$

Nierówności

Funkcje wykładnicze y = 2 ^x i y = 4 ^x przecinają wykres odpowiednio y = x + 1 , przy x = 1 i x = -1/2 . Liczba e jest unikalną podstawą taką, że y = e ^x przecina się tylko w x = 0 . Możemy wnioskować, że e leży między 2 a 4.

Liczba e jest unikalną liczbą rzeczywistą taką, że

${\ Displaystyle \ lewo (1 + {\ Frac {1} {x}} \ po prawej) ^ {x} < e < \ lewo (1 + {\ Frac {1} {x}} \ po prawej) ^ {x + 1}}$

dla wszystkich dodatnich x .

Mamy też nierówność

${\ Displaystyle e ^ {x} \ geq x + 1}$

dla wszystkich rzeczywistych x , z równością wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 . Co więcej, e jest unikalną bazą wykładnika, dla której nierówność a ^x ≥ x + 1 obowiązuje dla wszystkich x . Jest to graniczny przypadek nierówności Bernoulliego .

Funkcje typu wykładniczego

Globalnym maksimum o ^x √ x zachodzi przy x = e .

Zadanie Steinera polega na znalezieniu globalnego maksimum funkcji

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {\ Frac {1} {x}}.}$

To maksimum występuje dokładnie w x = e .

Wartość tego maksimum wynosi 1.4446 6786 1009 7661 3365... (z dokładnością do 20 miejsc po przecinku).

Na dowód, nierówność , od góry, oceniona i uproszczona daje . Więc dla wszystkich dodatnich x . ${\ Displaystyle e ^ {y} \ geq y + 1}$${\ Displaystyle y = (xe)/e}$${\ Displaystyle e ^ {x / e} \ geq x}$${\ Displaystyle e ^ {1/e} \ geq x ^ {1/x}}$

Podobnie, x = 1/ e jest tam, gdzie dla funkcji występuje minimum globalne

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {x}}$

zdefiniowany dla dodatniego x . Bardziej ogólnie, dla funkcji

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {x ^ {n}}}$

globalne maksimum dla dodatniego x występuje przy x = 1/ e dla dowolnego n < 0 ; a minimum globalne występuje przy x = e- ^{1/ n} dla dowolnego n > 0 .

Nieskończona tetracja

${\ Displaystyle x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}}}$ lub ${\ Displaystyle {^ {\ infty}} x}$

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} (lub w przybliżeniu między 0,0660 a 1,4447), dzięki twierdzeniu Leonharda Eulera .

Teoria liczb

Liczba rzeczywista e jest niewymierna . Euler udowodnił to, pokazując, że jego proste rozwinięcie ułamka ciągłego jest nieskończone. (Zobacz też dowód Fouriera , że e jest niewymierne .)

Ponadto, zgodnie z twierdzeniem Lindemanna-Weierstrassa , e jest transcendentalne , co oznacza, że ​​nie jest rozwiązaniem żadnego niestałego równania wielomianowego o wymiernych współczynnikach. Była to pierwsza liczba, która okazała się transcendentalna bez specjalnego skonstruowania w tym celu (porównaj z liczbą Liouville'a ); dowód dał Charles Hermite w 1873 roku.

Przypuszcza się, że e jest normalne , co oznacza, że ​​gdy e jest wyrażone w dowolnej podstawie, możliwe cyfry w tej podstawie są równomiernie rozłożone (występują z równym prawdopodobieństwem w dowolnej sekwencji o danej długości).

Liczby zespolone

Funkcję wykładniczą e ^x można zapisać jako szereg Taylora

${\ Displaystyle e ^ {x} = 1 + {x \ ponad 1!} + {x ^ {2} \ ponad 2!} + {x ^ {3} \ ponad 3!} + \ cdots = \ suma _ { n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Ponieważ szereg ten jest zbieżny dla każdej wartości zespolonej x , jest powszechnie używany do rozszerzenia definicji e ^x na liczby zespolone. To, wraz z szeregiem Taylora dla sin i cos x , pozwala wyprowadzić wzór Eulera :

${\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}$

który obowiązuje dla każdego kompleksu x . Szczególny przypadek z x = π to tożsamość Eulera :

${\ Displaystyle e ^ {i \ pi} +1 = 0,}$

z czego wynika, że ​​w głównej gałęzi logarytmu,

${\ Displaystyle \ ln (-1) = ja \ pi .}$

Ponadto, używając praw do potęgowania,

${\ Displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {n} = \ lewo (e ^ {ix} \ prawej) ^ {n} = e ^ {inx} = \ cos (nx) + i \ sin ( nx),}$

co jest formułą de Moivre'a .

Ekspresja

${\displaystyle \cos x+i\sin x}$

jest czasami określany jako cis( x ) .

Wyrażenia sin x i cos x w postaci funkcji wykładniczej można wywnioskować:

${\ Displaystyle \ sin x = {\ Frac {e ^ {ix} -e ^ {-IX}} {2i}}, \ qquad \ cos x = {\ Frac {e ^ {ix} + e ^ {-IX }}{2}}.}$

Równania różniczkowe

Rodzina funkcji

${\ Displaystyle y (x) = Ce ^ {x}}$

gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą, jest rozwiązaniem równania różniczkowego

${\displaystyle y'=y.}$

Reprezentacje

Liczba e może być przedstawiony w różnych sposobów: jako nieskończona serii , w produkcie nieskończonym , a ułamka albo granicy sekwencji . Dwie z tych reprezentacji, często używane we wprowadzających kursach z rachunku różniczkowego , to granica

${\ Displaystyle e = \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {1} {n}} \ prawej) ^ {n}}$

podane powyżej, a seria

${\ Displaystyle e = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n!}}}$

uzyskany poprzez ocenę przy x = 1 powyższej reprezentacji szeregu potęgowego e ^x .

Mniej powszechna jest frakcja ciągła

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$

jak wygląda napisane

${\ Displaystyle e = 2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} { 4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}.}$

Ta ciągła frakcja dla e zbiega się trzy razy szybciej:

${\ Displaystyle e = 1 + {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {1} {10 + {\ cfrac {1} {14 + {\ cfrac {1} { 18+{\cfrac {1}{22+{\cfrac {1}{26+\ddots }}}}}}}}}}}}}.}$

Udowodniono wiele innych szeregów, sekwencji, ułamków łańcuchowych i iloczynów nieskończonych e .

Reprezentacje stochastyczne

Oprócz dokładnych wyrażeń analitycznych do reprezentacji e istnieją stochastyczne techniki szacowania e . Jedno z takich podejść zaczyna się od nieskończonej sekwencji niezależnych zmiennych losowych X ₁ , X ₂ ..., wyprowadzonych z rozkładu jednostajnego na [0, 1]. Niech V będzie najmniejszą liczbą n taką, że suma pierwszych n obserwacji przekracza 1:

${\ Displaystyle V = \ min \ lewo \ {n \ średni X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}> 1 \ po prawej \}.}$

Następnie wartość oczekiwana z V jest e : e ( V ) = e .

Znane cyfry

Liczba znanych cyfr e znacznie wzrosła w ciągu ostatnich dziesięcioleci. Wynika to zarówno ze zwiększonej wydajności komputerów, jak i udoskonaleń algorytmicznych.

Od około 2010 r. rozpowszechnienie nowoczesnych, szybkich komputerów stacjonarnych umożliwiło większości amatorów obliczanie bilionów cyfr e w akceptowalnym czasie. Obecnie obliczono go na 31 415 926 535 897 cyfr.

W kulturze komputerowej

W okresie rozwoju kultury internetowej osoby i organizacje czasami składały hołd liczbie e .

We wczesnym przykładzie informatyk Donald Knuth pozwolił, by numery wersji jego programu Metafont zbliżyły się do e . Wersje to 2, 2.7, 2.71, 2.718 i tak dalej.

W innym przypadku, IPO zgłoszenia do Google w 2004 roku, a nie typowa ilość okrągłym ilość pieniędzy, firma ogłosiła zamiar podnieść 2,718,281,828 USD , czyli e miliard dolarów w zaokrągleniu do najbliższej dolara.

Google był również odpowiedzialny za billboard, który pojawił się w sercu Doliny Krzemowej , a później w Cambridge w stanie Massachusetts ; Seattle, Waszyngton ; i Austin w Teksasie . Było to "{pierwsza 10-cyfrowa liczba pierwsza znaleziona w kolejnych cyfrach e }.com". Pierwsza 10-cyfrowa liczba pierwsza w e to 7427466391, która zaczyna się od 99. cyfry. Rozwiązanie tego problemu i odwiedzenie reklamowanej (nieistniejącej już) strony doprowadziło do jeszcze trudniejszego do rozwiązania problemu, który polegał na znalezieniu piątego terminu w ciągu 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Okazało się, że ciąg składał się z 10- Numery cyfr znalezione w kolejnych cyfrach e, których cyfry sumują się do 49. Piąty wyraz w ciągu to 5966290435, który rozpoczyna się na 127. cyfrze. Rozwiązanie tego drugiego problemu ostatecznie doprowadziło do powstania strony internetowej Google Labs, na której odwiedzający został zaproszony do przesłania CV.

Uwagi

Dalsza lektura

• Maor, Eli; e : Historia liczby , ISBN  0-691-05854-7
• Komentarz do przypisu końcowego 10 książki Prime Obsession dla kolejnego stochastycznego przedstawienia
• McCartin, Brian J. (2006). „e: Mistrz wszystkich” (PDF) . Inteligencja matematyczna . 28 (2): 10–21. doi : 10.1007/bf02987150 .

Zewnętrzne linki

• Liczba e do 1 miliona miejsc oraz NASA.gov 2 i 5 milionów miejsc
• e Przybliżenia  – Wolfram MathWorld
• Najwcześniejsze użycie symboli dla stałych 13 stycznia 2008 r.
• „Historia e ” , Robin Wilson, Gresham College , 28 lutego 2007 (dostępne do pobrania audio i wideo)
• e Wyszukiwarka 2 miliardy przeszukiwalnych cyfr e , π i √ 2