Nilpotentna macierz - Nilpotent matrix

W liniowym Algebra , A macierz nilpotentna jest macierzą kwadratową N w taki sposób,

${\ Displaystyle N ^ {k} = 0 \}$

dla jakiejś dodatniej liczby całkowitej . Najmniejsze takie nazywa się indeks z , czasami stopnia z . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

Bardziej ogólnie, nilpotent transformacja jest liniową transformację z miejscem wektora tak, że dla pewnego dodatnia (i tym samym dla wszystkich ). Oba te pojęcia są szczególnymi przypadkami bardziej ogólnego pojęcia nilpotencji, które stosuje się do elementów pierścieni . ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L ^ {k} = 0}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle L ^ {j} = 0}$${\displaystyle j\geq k}$

Przykłady

Przykład 1

Macierz

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

jest nilpotentny z indeksem 2, ponieważ . ${\ Displaystyle A ^ {2} = 0}$

Przykład 2

Mówiąc bardziej ogólnie, dowolna dwuwymiarowa macierz trójkątna z zerami wzdłuż głównej przekątnej jest nilpotentna, z indeksem . Na przykład macierz ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ leq n}$

${\ Displaystyle B = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 2 i 1 i 6 \ \ 0 i 0 i 1 i 2 \ \ 0 i 0 i 0 i 3 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

jest nilpotentny, z

${\ Displaystyle B ^ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 0 i 2 i 7 \ \ 0 i 0 i 0 i 3 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}; \ B ^ {3} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 i 6 \\ 0 i 0 i 0 i 0 \ \0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Indeks wynosi zatem 4. ${\ Displaystyle B}$

Przykład 3

Chociaż powyższe przykłady mają dużą liczbę wpisów zerowych, typowa macierz nilpotent nie. Na przykład,

${\ Displaystyle C = {\ zacząć {bmatrix} 5 i 3 i 2 \ \ 15 i 9 i 6 \ \ 10 i 6 i 4 \ koniec {bmatrix}} \ qquad C ^ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 \\ 0&0&0\koniec{bmatrycy}}}$

chociaż macierz nie ma wpisów zerowych.

Przykład 4

Dodatkowo wszelkie macierze postaci

${\displaystyle {\zaczynać{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots&a_{2}\\\vdots &\vdots &\ ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$

Jak na przykład

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 5 i 5 i 5 \ \ 6 i 6 i 6 \ \ 11 i 11 i 11 \ koniec {bmatrix}}}$

lub

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 i 1 i 1 \ \ 2 i 2 i 2 i 2 \ \ 4 i 4 i 4 i 4 \ \ 7 i 7 i 7 i 7 \ koniec {bmatrycy}}}$

kwadrat do zera.

Przykład 5

Być może jednymi z najbardziej uderzających przykładów macierzy nilpotent są macierze kwadratowe postaci: ${\displaystyle n\razy n}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 2 & 2 & 2 & \ cdots & 1-n \ \ n 2 & 1 i 1 & \ cdots &-n \ \ 1 & n 2 & 1 & \ cdots &-n \ \ 1 & 1 & n+2 & \ cdots &-n \ \ \ vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$

Kilka pierwszych z nich to:

${\displaystyle {\rozpocząć{bmatrix}2&-1\\4&-2\koniec{bmatrix}}\qquad {\rozpocząć{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\koniec {bmatrix}} \qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&1&-4\\1&6&1&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&2&4\\7&1&1&1&1&-5\\ 1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&1&7&-5\end{bmatryca}}\qquad \ldots }$

Te macierze są nilpotentne, ale nie ma wpisów zerowych w żadnej z ich potęg mniejszych niż indeks.

Charakteryzacja

W przypadku macierzy kwadratowej z wpisami rzeczywistymi (lub zespolonymi ) równoważne są następujące elementy: ${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle N}$

• ${\ Displaystyle N}$ jest nilpotentny.
• Wielomian charakterystyczny dla jest .${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ DET \ lewo (xI-N \ prawy) = x ^ {n}}$
• Minimalny wielomian na to jakiegoś dodatnia .${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x ^ {k}}$${\displaystyle k\leq n}$
• Jedyną złożoną wartością własną dla jest 0.${\ Displaystyle N}$

Ostatnie twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy nad dowolnym ciałem o charakterystyce 0 lub wystarczająco dużej charakterystyce. (por . tożsamości Newtona )

Twierdzenie to ma kilka konsekwencji, w tym:

• Indeks macierzy nilpotent jest zawsze mniejszy lub równy . Na przykład każda nilpotentna macierz równa się zero.${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle 2\razy 2}$
• Determinantą i śledzenia z macierz nilpotentna zawsze zero. W konsekwencji nilpotentna macierz nie może być odwracalna .
• Jedyną nilpotentną macierzą diagonalizowalną jest macierz zerowa.

Klasyfikacja

Rozważ macierz zmian : ${\displaystyle n\razy n}$

${\ Displaystyle S = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 i 0 i \ ldots & 0 \ \ 0 i 0 i 1 i \ ldots & 0 \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 i 0 i 0 i \ ldots i 1 \ \ 0 i 0 i 0 i \ ldots & 0 \ koniec{bmatrix}}.}$

Ta macierz ma jedynki wzdłuż superprzekątnej i zera wszędzie indziej. Jako transformacja liniowa, macierz przesunięcia „przesuwa” składowe wektora o jedną pozycję w lewo, przy czym zero pojawia się na ostatniej pozycji:

${\ Displaystyle S (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = (x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, 0).}$

Ta macierz jest nilpotentna ze stopniem i jest kanoniczną macierzą nilpotentną. ${\ Displaystyle n}$

W szczególności, jeśli jest dowolną macierzą nilpotentną, to jest ona podobna do macierzy przekątnej blokowej postaci ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} S_ {1}& 0 & \ ldots & 0 \ \ 0 & S_ {2} & \ ldots & 0 \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 i 0 & \ ldots & S_ {r} \ koniec{bmatryca}}}$

gdzie każdy z bloków jest macierzą przesunięcia (być może o różnych rozmiarach). Forma ta jest szczególnym przypadkiem formy kanonicznej Jordana dla macierzy. ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots,S_{r}}$

Na przykład każda niezerowa macierz 2 × 2 nilpotent jest podobna do macierzy

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}.}$

To znaczy, jeśli jest dowolną niezerową macierzą nilpotentną 2 × 2, to istnieje baza b ₁ ,  b ₂ taka, że N b ₁  = 0 i N b ₂  =  b ₁ . ${\ Displaystyle N}$

To twierdzenie o klasyfikacji obowiązuje dla macierzy nad dowolnym ciałem . (Nie jest konieczne, aby pole było algebraicznie domknięte.)

Flaga podprzestrzeni

Nilpotentne przekształcenie na naturalnie określa flagę podprzestrzeni ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ {0 \} \ podzbiór \ ker L \ podzbiór \ ker L ^ {2} \ podzbiór \ ldots \ podzbiór \ ker L ^ {q-1} \ podzbiór \ ker L ^ {q} = \ mathbb { R} ^{n}}$

i podpis

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\słabe \ker L^ {i}.}$

Sygnatura charakteryzuje się odwracalną transformacją liniową . Ponadto zaspokaja nierówności ${\ Displaystyle L}$

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{dla wszystkich}}j=1,\ldots,q-1.}$

I odwrotnie, każda sekwencja liczb naturalnych spełniająca te nierówności jest sygnaturą nilpotentnej transformacji.

Dodatkowe właściwości

Uogólnienia

Operator liniowy jest lokalnie nilpotent jeśli dla każdego wektora , istnieje , tak że ${\ Displaystyle T}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle k \ w \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle T ^ {k} (v) = 0. \! \,}$

Dla operatorów na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej, lokalna nilpotencja jest równoważna nilpotencji.

Uwagi

Bibliografia

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Pierwszy kurs algebry liniowej: z opcjonalnym wprowadzeniem do grup, pierścieni i pól , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, IN (1975), Tematy w algebrze (2nd ed.), John Wiley & Sons
• Nering, Evar D. (1970), Algebra Liniowa i Teoria Macierzy (2nd ed.), New York: Wiley , LCCN  76091646

Linki zewnętrzne

• Nilpotent matrix i nilpotent transformacje na PlanetMath .