Wielomian, którego pierwiastki są wartościami własnymi macierzy
Artykuł dotyczy charakterystycznego wielomianu macierzy lub endomorfizmu przestrzeni wektorowych. Dla charakterystycznego wielomianu matroidu, zobacz
Matroid . Aby uzyskać informacje o posecie stopniowanym, zobacz
Poseta stopniowana .
W liniowym Algebra The charakterystyczne wielomianu o kwadratowej macierzy jest wielomianem niezmienna przy podobieństwa osnowy i ma wartości własne jak korzenie . Ma wyznacznik i ślad macierzy wśród swoich współczynników. Charakterystyczne wielomianu o endomorfizm skończonej-wymiarowej przestrzeni wektorowej jest cechą wielomianem matrycy tego endomorfizm na płycie montażowej (to znaczy wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru w oparciu ). Charakterystyczne równanie , znany również jako wyznacznikowa równania jest równanie otrzymano zrównując charakterystyczny wielomianu zero.
W teorii spektralnej wykres The wielomian charakterystyczny z wykresu jest cechą wielomianem jego matrycy przylegania .
Motywacja
Mając macierz kwadratową , chcemy znaleźć wielomian, którego zera są wartościami własnymi. Dla macierzy diagonalnej wielomian charakterystyczny może być zdefiniowany przez: jeśli wpisy diagonalne są itd., to wielomian charakterystyczny będzie następujący:
Działa to, ponieważ wpisy diagonalne są również wartościami własnymi tej macierzy.
W przypadku ogólnej macierzy można postępować następująco. Skalar jest wartością własną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wektor zwany wektorem własnym , tak że
lub równoważnie
gdzie jest
macierz tożsamości . Ponieważ musi być niezerowe, oznacza to, że macierz ma niezerowe jądro . Zatem ta macierz nie jest odwracalna i dlatego jej wyznacznikiem musi być zero. Zatem wartości własne są korzenie z którym jest wielomianem
Formalna definicja
Rozważ macierz Wielomian charakterystyczny oznaczony przez jest wielomianem określonym przez
gdzie oznacza macierz tożsamości .
Niektórzy autorzy definiują wielomian charakterystyczny jako. Wielomian różni się od wielomianu zdefiniowanego tutaj przez znak, więc nie ma znaczenia dla właściwości takich jak posiadanie jako pierwiastek wartości własnych ; jednak powyższa definicja zawsze podaje
wielomian moniczny , podczas gdy definicja alternatywna jest moniczna tylko wtedy, gdy jest parzysta.
Przykłady
Aby obliczyć wielomian charakterystyczny macierzy
wyznacznik z poniższych jest obliczana:
i okazało się, że jest charakterystycznym wielomianem
Innym przykładem zastosowań hiperboliczne funkcje o hiperbolicznej kąta cp. Dla matrycy weź
Jego charakterystycznym wielomianem jest
Nieruchomości
Charakterystyczną wielomian z matrycy jest Monic (jego wiodącym współczynnik jest ) i jego stopień jest najbardziej ważny fakt o wielomian charakterystyczny już wspomniano w akapicie motywacyjny: te wartości własne są dokładnie te
korzenie z (dotyczy to również na minimalnym wielomianu stanowi jednak jego stopień może być mniejsza niż ). Wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są wyrażeniami wielomianowymi we wpisach macierzy. W szczególności współczynnik stały jest współczynnik wynosi jeden, a współczynnik jest TR (- ) = -tr ( ) , gdzie tR ( ) jest ślad z (Oznaczenia podane odpowiadają formalnym definicji podanej w poprzedniej sekcji; dla alternatywnej definicji byłyby to zamiast tego odpowiednio i (−1) n – 1 tr( A ) .)
Dla macierzy wielomian charakterystyczny jest zatem dany przez
Używając języka algebry zewnętrznej , charakterystyczny wielomian macierzy można wyrazić jako
gdzie jest ślad z th siły zewnętrznej z którym ma wymiar ten ślad może być obliczana jako suma wszystkich Principal nieletnich o wielkości Rekurencyjne Faddeev-Leverrier algorytm oblicza współczynniki te bardziej efektywnie.
Gdy charakterystyczne w zakresie współczynników jest każdy taki ślad alternatywnie może być obliczana jako pojedynczej determinancie, że w matrycy
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona stwierdza, że zastąpienie przez w charakterystycznym wielomianu (interpretując uzyskane moce jako potęgi macierzy, a stały termin jako razy macierz tożsamości) daje macierz zerową. Mówiąc nieformalnie, każda macierz spełnia swoje własne równanie charakterystyczne. Stwierdzenie to jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że
minimalny wielomian od dzieli wielomian charakterystyczny
Dwie podobne macierze mają ten sam wielomian charakterystyczny. Odwrotna sytuacja nie jest jednak generalnie prawdziwa: dwie macierze z tym samym wielomianem charakterystycznym nie muszą być podobne.
Macierz i jej
transpozycja mają ten sam wielomian charakterystyczny. jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny można całkowicie rozłożyć na czynniki liniowe (to samo dotyczy wielomianu minimalnego zamiast wielomianu charakterystycznego). W tym przypadku jest to podobne do macierzy w postaci normalnej Jordana .
Wielomian charakterystyczny iloczynu dwóch macierzy
Jeśli i są dwiema macierzami kwadratowymi , to charakterystyczne wielomiany i pokrywają się:
Kiedy jest
niesingularne wynik ten wynika z faktu, że i są podobne :
W przypadku, gdy oba i są pojedyncze, pożądaną identycznością jest równość między wielomianami w i współczynnikami macierzy. Tak więc, aby udowodnić tę równość, wystarczy udowodnić, że jest ona weryfikowana na niepustym
otwartym podzbiorze (dla zwykłej topologii lub ogólniej dla topologii Zariskiego ) przestrzeni wszystkich współczynników. Ponieważ macierze nieosobliwe tworzą taki otwarty podzbiór przestrzeni wszystkich macierzy, potwierdza to wynik.
Bardziej ogólnie, jeśli jest macierzą porządku i jest macierzą porządku, to jest i jest macierzą, a jeden ma
Aby to udowodnić, można założyć, że wymieniając w razie potrzeby, a następnie, granicząc od dołu rzędami zer, a po prawej, kolumnami zer, otrzymuje się dwie macierze i takie, że i jest równe graniczące z wiersze i kolumny zer. Wynik wynika z przypadku macierzy kwadratowych, porównując wielomiany charakterystyczne i
Wielomian charakterystyczny A k
Jeśli jest wartością własną macierzy kwadratowej z wektorem własnym, to wyraźnie jest wartością własną
Można wykazać, że krotności również się zgadzają, a to uogólnia na dowolny wielomian zamiast :
Oznacza to, że krotność algebraiczna in równa się sumie krotności algebraicznych in przez ponad takie, że
W szczególności, i
Tutaj wielomian na przykład, jest oceniany na macierzy po prostu jako
Twierdzenie dotyczy macierzy i wielomianów nad dowolnym polem lub pierścieniem przemiennym . Jednak założenie, które ma rozkład na czynniki liniowe, nie zawsze jest prawdziwe, chyba że macierz znajduje się nad
ciałem algebraicznie domkniętym, takim jak liczby zespolone.
Dowód
|
Ten dowód dotyczy tylko macierzy i wielomianów nad liczbami zespolonymi (lub dowolnym ciałem algebraicznie domkniętym). W takim przypadku wielomian charakterystyczny dowolnej macierzy kwadratowej może być zawsze faktoryzowany jako
gdzie są wartości własne, które mogą być powtórzone. Co więcej, twierdzenie o rozkładzie Jordana gwarantuje, że każda macierz kwadratowa może być rozłożona tak, jak gdzie jest macierzą odwracalną i jest górną trójkątną
z na przekątnej (z każdą wartością własną powtarzaną zgodnie z jej wielokrotnością algebraiczną). (Forma normalna Jordana ma silniejsze właściwości, ale one są wystarczające; alternatywnie można zastosować mniej popularny, ale nieco łatwiejszy do udowodnienia rozkład Schura ).
Niech
wtedy
W przypadku górnej trójkątnej macierzy z przekątną macierz jest górną trójkątną z przekątną in,
a zatem jest górną trójkątną z przekątną.
Dlatego wartości własne to
Ponieważ są podobne do nich, mają takie same wartości własne, z takimi samymi krotnościami algebraicznymi.
|
Funkcja sekularna i równanie sekularne
Funkcja świecka
Termin funkcja sekularna został użyty dla tego, co obecnie nazywa się wielomianem charakterystycznym (w niektórych publikacjach termin funkcja sekularna jest nadal używany). Termin ten wynika z faktu, że wielomian charakterystyczny był używany do obliczania perturbacji świeckich (w skali stulecia, czyli powolnego w porównaniu do ruchu rocznego) orbit planet, zgodnie z teorią oscylacji Lagrange'a .
Równanie świeckie
Równanie świeckie może mieć kilka znaczeń.
- W algebrze liniowej jest czasem używany zamiast równania charakterystycznego.
- W astronomii jest to algebraiczny lub liczbowy wyraz wielkości nierówności w ruchu planety, które pozostają po dopuszczeniu nierówności w krótkim okresie.
- W obliczeniach orbitali molekularnych dotyczących energii elektronu i jego funkcji falowej jest on również używany zamiast równania charakterystycznego.
Dla ogólnych algebr asocjacyjnych
Powyższa definicja wielomianu charakterystycznego macierzy z wpisami w polu uogólnia bez zmian przypadek, gdy jest to tylko
pierścień przemienny . Garibaldi (2004) definiuje wielomian charakterystyczny dla elementów dowolnej algebry skończenie wymiarowej ( asocjacyjnej , ale niekoniecznie przemiennej) nad ciałem i udowadnia standardowe własności wielomianu charakterystycznego w tej ogólności.
Zobacz też
Bibliografia
- TS Blyth i EF Robertson (1998) Podstawowa Algebra Liniowa , s. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 .
- John B. Fraleigh i Raymond A. Beauregard (1990) Algebra Liniowa Wydanie 2, s. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 .
-
Garibaldi, Skip (2004), „Wielomian charakterystyczny i wyznacznik nie są konstrukcjami ad hoc”, American Mathematical Monthly , 111 (9): 761-778, arXiv : math/0203276 , doi : 10.2307/4145188 , JSTOR 4145188 , MR 2104048
- Werner Greub (1974) Algebra Liniowa Wydanie 4, s. 120-5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
- Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra wydanie 3, s. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 .
-
Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications, wydanie trzecie, s. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .