Niezmienniki tensorów - Invariants of tensors

W matematyce , w dziedzinach algebry wieloliniowej i teorii reprezentacji , głównymi niezmiennikami tensora drugiego rzędu są współczynniki wielomianu charakterystycznego${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle \ p (\ lambda) = \ det (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I})}$ ,

gdzie jest operatorem tożsamości i reprezentuje wartości własne wielomianu . ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in \ mathbb {C}}$

Mówiąc szerzej, każda funkcja o wartościach skalarnych jest niezmiennikiem wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich ortogonalnych . Oznacza to, że wzór wyrażający niezmiennik w postaci składników da ten sam wynik dla wszystkich baz kartezjańskich. Na przykład, nawet jeśli poszczególne składowe diagonalne będą się zmieniać wraz ze zmianą podstawy, suma składowych diagonalnych nie ulegnie zmianie. ${\ displaystyle f (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle f (\ mathbf {Q} \ mathbf {A} \ mathbf {Q} ^ {T}) = f (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Nieruchomości

Główne niezmienniki nie zmieniają się wraz z obrotami układu współrzędnych (są obiektywne lub w nowszej terminologii spełniają zasadę materialnej obojętności na ramkę ), a każda funkcja głównych niezmienników jest również obiektywna.

Obliczanie niezmienników tensorów rzędu drugiego

W większości zastosowań inżynierskich poszukuje się głównych niezmienników tensorów (rzędu drugiego) wymiaru trzeciego, takich jak te dla prawego tensora odkształcenia Cauchy'ego-Greena .

Główne niezmienniki

Dla takich tensorów główne niezmienniki są podane wzorem:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} I_ {1} & = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A}) = A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} \\ I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ left ((\ mathrm {tr} \ left (\ mathbf {A} \ right )) ^ {2} - \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} ^ {2}) \ right) = A_ {11} A_ {22} + A_ {22} A_ {33} + A_ {11} A_ {33} -A_ {12} A_ {21} -A_ {23} A_ {32} -A_ {13} A_ {31} = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} + \ lambda _ {1} \ lambda _ {3} + \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} \\ I_ {3} & = \ det (\ mathbf {A}) = - A_ {13} A_ {22} A_ {31} + A_ {12} A_ {23} A_ {31} + A_ {13} A_ {21} A_ {32} -A_ {11} A_ {23} A_ {32} -A_ {12} A_ {21} A_ { 33} + A_ {11} A_ {22} A_ {33} = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} \ end {aligned}}}$

W przypadku tensorów symetrycznych te definicje są zredukowane.

Zgodność między głównymi niezmiennikami i charakterystycznym wielomianem tensora, w połączeniu z twierdzeniem Cayleya-Hamiltona ujawnia, że

${\ Displaystyle \ \ mathbf {A} ^ {3} -I_ {1} \ mathbf {A} ^ {2} + I_ {2} \ mathbf {A} -I_ {3} \ mathbf {I} = 0}$

gdzie jest tensor tożsamości drugiego rzędu. ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

Główne niezmienniki

Oprócz głównych niezmienników wymienionych powyżej można również wprowadzić pojęcie głównych niezmienników

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J_ {1} & = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} = I_ {1} \\ J_ {2} & = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = I_ {1} ^ {2} -2I_ {2} \\ J_ {3} & = \ lambda _ {1} ^ {3} + \ lambda _ {2} ^ {3} + \ lambda _ {3} ^ {3} = I_ {1} ^ {3} -3I_ {1} I_ { 2} + 3I_ {3} \ end {aligned}}}$

które są funkcjami głównych niezmienników powyżej.

Mieszane niezmienniki

Ponadto można również zdefiniować niezmienniki mieszane między parami tensorów rzędu drugiego.

Obliczanie niezmienników rzędu dwóch tensorów wyższego wymiaru

Można je uzyskać, oceniając bezpośrednio wielomian charakterystyczny , na przykład przy użyciu algorytmu Faddeev-LeVerrier .

Obliczanie niezmienników tensorów wyższego rzędu

Można również określić niezmienniki tensorów rzędu trzeciego, czwartego i wyższego rzędu.

Zastosowania inżynieryjne

Funkcja skalarna, która całkowicie zależy od głównych niezmienników tensora, jest obiektywna, tj. Niezależna od obrotów układu współrzędnych. Ta właściwość jest powszechnie używana przy formułowaniu wyrażeń w postaci zamkniętej dla gęstości energii odkształcenia lub energii swobodnej Helmholtza materiału nieliniowego o symetrii izotropowej. ${\ displaystyle f}$

Technika ta została po raz pierwszy wprowadzona do izotropowych turbulencji przez Howarda P. Robertsona w 1940 r., Gdzie był w stanie wyprowadzić równanie Kármána-Howartha z zasady niezmiennej. George Batchelor i Subrahmanyan Chandrasekhar wykorzystali tę technikę i opracowali rozszerzoną metodę leczenia turbulencji osiowo-symetrycznej.

Niezmienniki niesymetrycznych tensorów

Rzeczywisty tensor w 3D (tj. Taki z macierzą składową 3x3) ma aż sześć niezależnych niezmienników, z których trzy są niezmiennikami jego części symetrycznej, a trzy charakteryzują orientację wektora osiowego części skośno-symetrycznej względem głównej kierunki części symetrycznej. Na przykład, jeśli składniki kartezjańskie są ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle [A] = {\ rozpocząć {bmatrix} 931 i 5480 i -717 \\ - 5120 i 1650 i 1090 \\ 1533 i -610 i 1169 \ koniec {bmatrix}},}$

pierwszym krokiem byłaby ocena wektora osiowego związanego z częścią skośno-symetryczną. W szczególności wektor osiowy ma komponenty ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} w_ {1} & = {\ Frac {A_ {32} -A_ {23}} {2}} = - 850 \\ w_ {2} i = {\ Frac {A_ { 13} -A_ {31}} {2}} = - 1125 \\ w_ {3} & = {\ frac {A_ {21} -A_ {12}} {2}} = - 5300 \ end {aligned}} }$

Następnym krokiem jest znalezienie głównych wartości symetrycznej części . Mimo że wartości własne rzeczywistego tensora niesymetrycznego mogą być złożone, wartości własne jego części symetrycznej zawsze będą rzeczywiste i dlatego można je uporządkować od największej do najmniejszej. Odpowiednie główne kierunki ortonormalnych baz mogą być przypisane czuciom, aby zapewnić, że wektor osiowy będzie wskazywał w obrębie pierwszego oktantu. W odniesieniu do tej szczególnej podstawy składniki są ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle [A '] = {\ rozpocząć {bmatrix} 1875 i -2500 i 3125 \\ 2500 i 1250 i -3750 \\ - 3125 i 3750 i 625 \ koniec {bmatrix}},}$

Pierwsze trzy niezmienniki są diagonalnymi składowymi tej macierzy: (równe uporządkowanym wartościom głównym części symetrycznej tensora). Pozostałe trzy elementy są niezmienniki osiowego wektor w tej podstawie: . Uwaga: wielkość wektora osiowego jest jedynym niezmiennikiem części skośnej , podczas gdy te trzy odrębne niezmienniki charakteryzują (w pewnym sensie) „wyrównanie” między częściami symetrycznymi i skośnymi . Nawiasem mówiąc, mitem jest, że tensor jest dodatnio określony, czy jego wartości własne są dodatnie. Zamiast tego jest dodatnio określone wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne jego symetrycznej części są dodatnie. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle a_ {1} = A '_ {11} = 1875, a_ {2} = A' _ {22} = 1250, a_ {3} = A '_ {33} = 625}$${\ Displaystyle w '_ {1} = A' _ {32} = 3750, w '_ {2} = A' _ {13} = 3125, w '_ {3} = A' _ {21} = 2500 }$${\ displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {w}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Zobacz też

• Wielomian symetryczny
• Elementarny wielomian symetryczny
• Tożsamości Newtona
• Teoria niezmienna

Bibliografia