Skurcz tensora - Tensor contraction

W multilinear algebry , o skurcz tensor to operacja na tensora że wynika z naturalnego parowania z finite- wymiarowej przestrzeni wektorowej i jego podwójny . W składowych wyrażona jest jako suma iloczynów składowych skalarnych tensora(ów) wywołanych przez zastosowanie konwencji sumowania do pary fikcyjnych indeksów, które są ze sobą powiązane w wyrażeniu. Skrócenie pojedynczego tensora mieszanego występuje, gdy para indeksów dosłownych (jeden w indeksie dolnym, a drugi w indeksie górnym) tego tensora jest równa sobie i zsumowana. W notacji Einsteina to podsumowanie jest wbudowane w notację. Rezultatem jest kolejny tensor z zamówieniem pomniejszonym o 2.

Skrócenie tensora można traktować jako uogólnienie śladu .

Sformułowanie abstrakcyjne

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem k . Sednem operacji skrócenia i najprostszym przypadkiem jest naturalne parowanie V z jego podwójną przestrzenią wektorową V ^∗ . Parowanie to przekształcenie liniowe z iloczynu tensorowego tych dwóch przestrzeni do ciała k :

${\ Displaystyle C: V \ otimes V ^ {*} \ rightarrow k}$

odpowiadające formie dwuliniowej

${\ Displaystyle \ langle f, v \ rangle = f (v)}$

gdzie f jest w V ^∗ i v jest w V . Mapa C definiuje operację skracania na tensorze typu (1, 1) , który jest elementem . Zauważ, że wynikiem jest skalar (element k ). Wykorzystując naturalny izomorfizm pomiędzy i przestrzenią przekształceń liniowych od V do V , uzyskuje się bezpodstawową definicję śladu . ${\ Displaystyle V ^ {*} \ czasami V}$${\ Displaystyle V \ czasami V ^ {*}}$

Ogólnie rzecz biorąc, tensor typu ( m , n ) (przy m ≥ 1 i n ≥ 1 ) jest elementem przestrzeni wektorowej

${\ Displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ {*}}$

(gdzie jest m czynników V i n czynników V ^∗ ). Stosując naturalne sparowanie do k- tego czynnika V i l- tego V ^∗ oraz używając identyczności na wszystkich innych czynnikach, definiujemy operację skracania ( k , l ), która jest liniową mapą, która daje tensor typu ( m − 1, n − 1) . Analogicznie do przypadku (1, 1) , operacja ogólnego skrócenia jest czasami nazywana śladem.

Skurcz w notacji indeksowej

W notacji indeksów tensorów podstawowe skrócenie wektora i wektora dualnego oznacza się przez

${\ Displaystyle {\ tylda {f}} ({\ vec {v}}) = f_ {\ gamma} v ^ {\ gamma}}$

co jest skrótem dla jawnego sumowania współrzędnych

${\ Displaystyle f_ {\ gamma} v ^ {\ gamma} = f_ {1} v ^ {1} + f_ {2} v ^ {2} + \ cdots + f_ {n} v ^ {n}}$

(gdzie v ⁱ są składnikami V w szczególności podstawa i f _i są składnikami F w odpowiadającym podwójnej podstawy).

Ponieważ ogólny mieszany tensor dwudniowy jest kombinacją liniową rozkładalnych tensorów postaci , jawna formuła dla przypadku dwumianowego jest następująca: niech ${\displaystyle f\otimes v}$

${\ Displaystyle \ mathbf {T} = T ^ {i} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j}}$

być mieszanym tensorem dwudźwiękowym. Wtedy jego skurcz jest

${\ Displaystyle T ^ {i} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = T ^ {i} {} _ {j} \ delta _ { i}{}^{j}=T^{j}{}_{j}=T^{1}{}_{1}+\cdots +T^{n}{}_{n}}$.

Ogólne skrócenie jest oznaczane przez oznaczenie jednego indeksu kowariantnego i jednego indeksu kontrawariantnego tą samą literą, przy czym sumowanie nad tym indeksem wynika z konwencji sumowania . Powstały skurczony tensor dziedziczy pozostałe indeksy pierwotnego tensora. Na przykład skrócenie tensora T typu (2,2) na drugim i trzecim indeksie w celu utworzenia nowego tensora U typu (1,1) jest zapisane jako

${\ Displaystyle T ^ {ab} _ {BC} = \ suma _ {b} {T ^ {} {} _ {BC}} = T ^ {a1} {} _ {1 c} + T ^ { a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}$

Natomiast niech

${\ Displaystyle \ mathbf {T} = \ mathbf {e} ^ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j}}$

być niezmieszanym tensorem diad. Ten tensor się nie kurczy; jeśli jego wektory bazowe są kropkowane, wynikiem jest tensor metryki kontrawariantnej ,

${\ Displaystyle g ^ {ij} = \ mathbf {e} ^ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j}}$,

którego ranga to 2.

Skurcz metryczny

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, skrócenie pary indeksów, które są albo kontrawariantne, albo obie kowariantne, nie jest ogólnie możliwe. Jednak w obecności iloczynu skalarnego (znanego również jako metryka ) g , takie skurcze są możliwe. Używa się metryki, aby podnieść lub obniżyć jeden ze wskaźników, w zależności od potrzeb, a następnie stosuje się zwykłą operację skurczu. Połączona operacja nazywana jest skróceniem metryki .

Zastosowanie do pól tensorowych

Skrócenie jest często stosowane do pól tensorowych nad przestrzeniami (np. przestrzeń euklidesowa , rozmaitości lub schematy ). Ponieważ skrócenie jest działaniem czysto algebraicznym, można je zastosować punktowo do pola tensorowego, np. jeśli T jest (1,1) polem tensorowym w przestrzeni euklidesowej, to w dowolnych współrzędnych jego skrócenie (pole skalarne) U w punkcie x jest podane przez

${\ Displaystyle U (x) = \ suma _ {i} T_ {i} ^ {i} (x)}$

Ponieważ rola x nie jest tutaj skomplikowana, często jest pomijana, a zapis pól tensorowych staje się identyczny z zapisem dla tensorów czysto algebraicznych.

W rozmaitości Riemanna dostępna jest metryka (pole iloczynów wewnętrznych), a dla teorii kluczowe znaczenie mają zarówno skurcze metryczne, jak i niemetryczne. Na przykład tensor Ricciego jest niemetrycznym skróceniem tensora krzywizny Riemanna , a krzywizna skalarna jest unikalnym metrycznym skróceniem tensora Ricciego.

Można również zobaczyć skrócenie pola tensorowego w kontekście modułów nad odpowiednim pierścieniem funkcji na rozmaitości lub w kontekście snopów modułów nad snopem konstrukcji; zobacz dyskusję na końcu tego artykułu.

Rozbieżność tensorowa

Jako zastosowanie skrócenia pola tensorowego, niech V będzie polem wektorowym na rozmaitości riemannowskiej (na przykład przestrzeni euklidesowej ). Pozwolić być pochodna kowariantna z V (w niektórych wyboru współrzędnych). W przypadku współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni euklidesowej można napisać ${\ Displaystyle V ^ {\ alfa} {} _ {\ beta}}$

${\ Displaystyle V ^ {\ alfa} {} _ {\ beta} = {\ częściowy V ^ {\ alfa} \ ponad \ częściowy x ^ {\ beta}}.}$

Następnie zmiana indeksu β na α powoduje, że para indeksów wiąże się ze sobą tak, że instrument pochodny kontraktuje się ze sobą, aby uzyskać następującą sumę:

${\ Displaystyle V ^ {\ alfa} {} _ {\ alfa} = V ^ {0}{} _ {0} + \ cdots + V ^ {n} _ {n}}$

czyli dywergencja div V . Następnie

${\ Displaystyle \ Operatorname {div} V = V ^ {\ alfa} {} _ {\ alfa} = 0}$

jest równaniem ciągłości dla V .

Ogólnie można zdefiniować różne operacje dywergencji na polach tensorowych wyższego rzędu w następujący sposób. Jeśli T jest polem tensorowym z co najmniej jednym indeksem kontrawariantnym, wzięcie różniczki kowariantnej i skondensowanie wybranego indeksu kontrawariantnego z nowym indeksem kowariantnym odpowiadającym różniczce daje w wyniku nowy tensor o randze o jeden niższy niż T .

Skurcz pary tensorów

Operację skracania rdzenia (wektor z wektorem dualnym) można uogólnić w nieco inny sposób, biorąc pod uwagę parę tensorów T i U . Produkt tensor jest nowy napinacz, który, jeżeli ma co najmniej jeden kowariantna i jeden indeks kontrawariantny, może zostać zawarte. Przypadek, w którym T jest wektorem, a U jest wektorem dualnym, jest dokładnie podstawową operacją opisaną jako pierwsza w tym artykule. ${\ Displaystyle T \ czasy U}$

W notacji indeksów tensorów, aby skondensować ze sobą dwa tensory, umieszcza się je obok siebie (zestawiane) jako czynniki tego samego wyrazu. To implementuje iloczyn tensorowy, dając złożony tensor. Skrócenie dwóch indeksów w tym złożonym tensorze realizuje pożądane skrócenie dwóch tensorów.

Na przykład macierze mogą być reprezentowane jako tensory typu (1,1), gdzie pierwszy indeks jest kontrawariantny, a drugi kowariantny. Niech będą składnikami jednej macierzy i niech będą składnikami drugiej macierzy. Następnie ich mnożenie jest podane przez następujące skrócenie, przykład skrócenia pary tensorów: ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {\ alfa} {} _ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ operatorname {M} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma}}$

${\ Displaystyle \ Lambda ^ {\ alfa} {} _ {\ beta} \ operatorname {M} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma} = \ operatorname {N} ^ {\ alfa} {} _ {\ gamma }}$.

Również iloczyn wewnętrzny wektora o postaci różniczkowej jest szczególnym przypadkiem skrócenia się dwóch tensorów.

Bardziej ogólne konteksty algebraiczne

Niech R będzie pierścieniem przemiennym i niech M będzie modułem skończenie swobodnym nad R . Wtedy skrócenie działa na pełnej (mieszanej) algebrze tensorów M dokładnie tak samo jak w przypadku przestrzeni wektorowych nad ciałem. (Kluczowym faktem jest to, że w tym przypadku naturalne parowanie jest nadal idealne).

Bardziej ogólnie, niech O _X być zwitek o przemiennych pierścieni nad topologicznej przestrzeni X , na przykład O _X może być snop struktury o skomplikowanej rury rozgałęźnej , analitycznego powierzchni , lub programu . Niech M będzie lokalnie wolne snop modułów nad O _X o skończonej rangi. Wtedy podwójna M nadal zachowuje się dobrze i operacje skurczowe mają sens w tym kontekście.

Zobacz też

• Produkt tensorowy
• Ślad częściowy
• Produkt do wnętrz
• Podnoszenie i obniżanie indeksów
• Izomorfizm muzyczny
• rachunek Ricciego

Uwagi

Bibliografia

• Biskup Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1980). Analiza tensorów na rozmaitościach . Nowy Jork: Dover. Numer ISBN 0-486-64039-6.
• Menzel, Donald H. (1961). Fizyka Matematyczna . Nowy Jork: Dover. Numer ISBN 0-486-60056-4.