Punkt stały (matematyka) - Fixed point (mathematics)

W matematyce , A stałym punktem (czasami skracane do fixpoint , znany również jako niezmiennego punktu ) substancji funkcja jest elementem funkcji w dziedzinie , który jest odwzorowany na siebie przez funkcję. To znaczy, c jest stałym punktem funkcji f, jeśli f ( c ) = c . Oznacza to f ( f (... f ( c ) ...)) = f ⁿ ( c ) = c , ważny czynnik kończący przy obliczaniu rekurencyjnym f . Zestaw stałych punktów nazywa się czasem stały zestaw . 

Na przykład, jeśli f jest zdefiniowane na liczbach rzeczywistych przez

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} -3 x + 4,}$

wtedy 2 jest punktem stałym f , ponieważ f (2) = 2.

Nie wszystkie funkcje mają punkty stałe: na przykład f ( x ) = x  + 1 nie ma punktów stałych, ponieważ x nigdy nie jest równe x  + 1 dla żadnej liczby rzeczywistej. W warunkach graficzne, stały punkt x oznacza punkt ( x , f ( x )), ma na linii y  =  x , czyli innymi słowy wykres z f ma punkt wspólny z tej linii.

Punkty, które wracają do tej samej wartości po skończonej liczbie iteracji funkcji, nazywamy punktami okresowymi . Punkt stały to punkt okresowy z okresem równym jeden. W geometrii rzutowej stały punkt rzutowania nazwano punktem podwójnym .

W teorii Galois , zbiór stałych punktach zbioru automorfizmy polowych to pole nazywa się pole o stałej zbioru automorfizmy.

Przyciąganie stałych punktów

Przyciągania punkt stały z funkcją F jest punktem stałym x ₀ o C tak, że dla każdej wartości x w dziedzinie, który jest na tyle blisko x ₀ , w powtarzanych funkcji sekwencji

${\ Displaystyle x, \ f (x), \ f (f (x)), \ f (f (f (x))), \ kropki }$

zbiega się do x ₀ . Wyrazem przesłanek i dowodem istnienia takiego rozwiązania jest twierdzenie Banacha o punkcie stałym .

Naturalna funkcja cosinusa („naturalna” oznacza w radianach , a nie w stopniach lub innych jednostkach) ma dokładnie jeden ustalony punkt, który przyciąga. W tym przypadku „wystarczająco blisko” wcale nie jest rygorystycznym kryterium — aby to zademonstrować, zacznij od dowolnej liczby rzeczywistej i kilkakrotnie naciśnij klawisz cos na kalkulatorze (sprawdzając najpierw, czy kalkulator jest w trybie „radianów”). Ostatecznie zbiega się do około 0,739085133, co jest punktem stałym. W tym miejscu wykres funkcji cosinus przecina prostą . ${\displaystyle y=x}$

Nie wszystkie stałe punkty się przyciągają. Na przykład x = 0 jest stałym punktem funkcji f ( x ) = 2 x , ale iteracja tej funkcji dla dowolnej wartości innej niż zero szybko się rozchodzi. Jeśli jednak funkcja f jest w sposób ciągły różniczkowalna w otwartym sąsiedztwie punktu stałego x ₀ i , przyciąganie jest gwarantowane. ${\displaystyle |f\,'(x_{0})|<1}$

Przyciąganie punktów stałych jest szczególnym przypadkiem szerszej matematycznej koncepcji atraktorów .

Mówi się, że przyciągający punkt stały jest stabilnym punktem stałym, jeśli jest również stabilny przez Lapunowa .

Mówi się, że punkt stały jest neutralnie stabilnym punktem stałym, jeśli jest stabilny przez Lapunowa, ale nie przyciąga. Środek liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu jest przykładem neutralnie stabilnego punktu stałego.

W ustalonym zestawie przyciągania można zebrać wiele punktów przyciągania .

Aplikacje

W wielu dziedzinach równowaga lub stabilność to podstawowe pojęcia, które można opisać za pomocą punktów stałych. Oto kilka przykładów.

• W ekonomii , A równowaga Nasha z gry jest stałym punktem w grze najlepszych korespondencji odpowiedzi . John Nash wykorzystał twierdzenie Kakutaniego o punkcie stałym w swojej przełomowej pracy, która przyniosła mu nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii.

• W fizyce , a dokładniej w teorii przejść fazowych , linearyzacja w pobliżu niestabilnego punktu stałego doprowadziła do nagrodzonej nagrodą Nobla pracy Wilsona wynalezienia grupy renormalizacji oraz do matematycznego wyjaśnienia terminu „ zjawisko krytyczne ”.

• Kompilatory języka programowania używają obliczeń stałoprzecinkowych do analizy programów, na przykład w analizie przepływu danych , która jest często wymagana do optymalizacji kodu . Są one również podstawowym pojęciem używanym przez abstrakcyjną interpretację ogólnej metody analizy programu .

• W teorii typu The stałoprzecinkowych syntezator umożliwia określenie cyklicznych funkcji w bez typu rachunku lambda .

• Wektor wartości PageRank wszystkich stron internetowych jest stałym punktem transformacji liniowej wyprowadzonej ze struktury linków sieci WWW .

• Stacjonarny rozkład łańcucha Markowa jest stałym punktem jednostopniowej funkcji prawdopodobieństwa przejścia.

• Logik Saul Kripke posługuje się punktami stałymi w swojej wpływowej teorii prawdy. Pokazuje, jak można wygenerować częściowo zdefiniowany predykat prawdy (taki, który pozostaje niezdefiniowany dla zdań problematycznych, takich jak „ To zdanie nie jest prawdziwe ”), poprzez rekurencyjne definiowanie „prawdy” zaczynając od segmentu języka, który nie zawiera żadnych wystąpień tego słowa, i kontynuuj, aż proces przestanie dawać nowe, dobrze zdefiniowane zdania. (Zajmuje to policzalną nieskończoność kroków.) To znaczy, dla języka L, niech L′ (czytaj "L-pierwszy") będzie językiem wygenerowanym przez dodanie do L, dla każdego zdania S w L zdanie " S jest prawda. " Stały punkt zostaje osiągnięty, gdy L′ jest L; w tym momencie zdania takie jak „ To zdanie nie jest prawdziwe ” pozostają niezdefiniowane, więc według Kripkego teoria jest odpowiednia dla języka naturalnego, który zawiera własny predykat prawdy.

Topologiczna właściwość punktu stałego

Topologiczna przestrzeń mówi się, że mają właściwości stałoprzecinkowe (FPP), jeśli dla każdej funkcji ciągłej${\ Displaystyle X}$

${\displaystyle f\okrężnica X\do X}$

istnieje takie, że . ${\displaystyle x\wX}$${\ Displaystyle f (x) = x}$

FPP jest topologicznym niezmiennikiem , tzn. jest zachowany przez dowolny homeomorfizm . FPP jest również zachowany przez jakiekolwiek wycofanie .

Według Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym , każdy zwarty i wypukły podzbiór z przestrzeni euklidesowej ma FPP. Sama zwartość nie oznacza FPP, a wypukłość nie jest nawet właściwością topologiczną, więc warto zapytać, jak topologicznie scharakteryzować FPP. W 1932 roku Borsuk zapytał, czy zwartość połączona z kurczliwością może być warunkiem koniecznym i wystarczającym do utrzymania FPP. Problem był otwarty przez 20 lat, dopóki przypuszczenie nie zostało obalone przez Kinoshitę, który znalazł przykład zwartej kurczliwej przestrzeni bez FPP.

Uogólnienie na rozkazy częściowe: prefixpoint i postfixpoint

Pojęcie i terminologia są uogólnione do porządku częściowego . Niech ≤ będzie porządkiem częściowym nad zbiorem X i niech f : X → X będzie funkcją nad X . Następnie prefixpoint (pisane także prefixpoint I) f jest dowolną P tak, że p ≤ f ( P ). Analogicznie, A postfixpoint (lub postfixpoint I) f jest dowolną P tak, że f ( P ) ≤ s . Jednym ze sposobów wyrażenia twierdzenia Knastera-Tarskiego jest powiedzenie, że funkcja monotoniczna na pełnej sieci ma najmniejszy punkt stały, który pokrywa się z jej najmniejszym postfiksem (i podobnie, jego największy punkt stały pokrywa się z największym przedrostkiem). Prefiksy i postfixpointy mają zastosowanie w informatyce teoretycznej .

Zobacz też

Uwagi

Zewnętrzne linki

• Eleganckie rozwiązanie do rysowania punktu stałego