Operator ograniczony - Bounded operator

${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ | L \ |.}$

Operator ograniczony między przestrzeniami unormowanymi jest ciągły i odwrotnie.

Koncepcja została rozszerzona na pewne „dobrze zachowane” topologiczne przestrzenie wektorowe.

W znormalizowanych przestrzeniach wektorowych

Jako funkcja abstrakcyjna, ograniczony operator liniowy nie jest ograniczony, chyba że jest Rather, taki operator jest

${\ Displaystyle 0.}$

${\ Displaystyle 0.}$

Równoważność ograniczoności i ciągłości

Operator liniowy pomiędzy znormalizowanymi przestrzeniami jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły .

Dowód

Załóżmy, że jest ograniczony. Wtedy dla wszystkich wektorów o wartości niezerowej mamy ${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x,h\wX}$${\ Displaystyle h}$ $${\ Displaystyle \ | L (x + h) -L (x) \ | = \ | L (h) \ | \ leq M \ | h \ |.}$$ Odejście do zera pokazuje, że jest ciągła w Ponadto, ponieważ stała nie zależy od tego pokazuje, że w rzeczywistości jest jednostajnie ciągła , a nawet ciągła Lipschitz . ${\displaystyle {\mathit {h}}\,}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x.}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle L}$ Odwrotnie, z ciągłości w wektorze zerowym wynika, że ​​istnieje taka, że dla wszystkich wektorów z Tak, dla wszystkich niezerowych ma ${\ Displaystyle \ delta > 0}$${\ Displaystyle \ | L (h) \ | = \ | L (h) -L (0) \ | \ leq 1}$${\displaystyle h\w X}$${\displaystyle \|h\|\leq \delta.}$${\displaystyle x\wX}$ $${\ Displaystyle \ | Lx \ | = \ lewo \ Vert {\ | x \ | \over \delta }L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|x\|.}$$ To dowodzi, że jest to ograniczone. ${\ Displaystyle L}$${\displaystyle \blacksquare}$

W topologicznych przestrzeniach wektorowych

Operator liniowy pomiędzy dwiema

${\displaystyle F:X\do Y}$

${\displaystyle B\subseteq X}$

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle F (B)}$

${\ Displaystyle Y.}$

Każdy sekwencyjnie ciągły operator liniowy między TVS jest operatorem ograniczonym. Oznacza to, że każdy ciągły operator liniowy jest ograniczony. Jednak na ogół ograniczony operator liniowy między dwoma TVS nie musi być ciągły.

To sformułowanie pozwala na zdefiniowanie operatorów ograniczonych pomiędzy ogólnymi topologicznymi przestrzeniami wektorowymi jako operatora, który przenosi zbiory ograniczone do zbiorów ograniczonych. W tym kontekście nadal jest prawdą, że każda ciągła mapa jest ograniczona, jednak odwrotność zawodzi; operator ograniczony nie musi być ciągły. Oczywiście oznacza to również, że w tym kontekście ograniczoność nie jest już równoznaczna z ciągłością Lipschitza.

Jeśli domena jest bornological przestrzeń (np pseudometrizable TVS , wykorzystując przestrzeń frécheta , A Normed spacja ), a następnie liniowym operatorzy na inny lokalnie wypukłych miejsc jest ograniczona, jeżeli i tylko wtedy, gdy jest ciągła. Dla przestrzeni LF obowiązuje słabsza odwrotność; każda ograniczona mapa liniowa z przestrzeni LF jest sekwencyjnie ciągła .

Przestrzenie Bornologiczne

Przestrzenie Bornologiczne to dokładnie te przestrzenie lokalnie wypukłe, dla których każdy ograniczony operator liniowy do innej przestrzeni lokalnie wypukłej jest z konieczności ciągły. Oznacza to, że lokalnie wypukły TVS jest przestrzenią bornologiczną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego lokalnie wypukłego TVS operator liniowy jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F:X\do Y}$

Każda unormowana przestrzeń jest bornologiczna.

Charakterystyki ograniczonych operatorów liniowych

Niech będzie operatorem liniowym między TVS (niekoniecznie Hausdorffa). Poniższe są równoważne: ${\displaystyle F:X\do Y}$

1. ${\ Displaystyle F}$ jest (lokalnie) ograniczona;
2. (Definicja): mapuje ograniczone podzbiory swojej domeny na ograniczone podzbiory swojej przeciwdomeny;${\ Displaystyle F}$
3. ${\ Displaystyle F}$mapuje ograniczone podzbiory swojej domeny na ograniczone podzbiory swojego obrazu ;${\ Displaystyle \ Operatorname {Im} F: = F (X)}$
4. ${\ Displaystyle F}$ mapuje każdą sekwencję zerową na sekwencję ograniczoną;
   • Sekwencja zerowa jest z definicji, że sekwencja jest zbieżny do pochodzenia.
   • Zatem każda mapa liniowa, która jest sekwencyjnie ciągła w punkcie początkowym, jest z konieczności ograniczoną mapą liniową.
5. ${\ Displaystyle F}$ mapuje każdą zbieżną sekwencję zerową Mackeya do ograniczonego podzbioru ${\ Displaystyle Y.}$
   • Sekwencja mówi się

${\ Displaystyle x_ {\ pocisk} = \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle R_ {\ pocisk} = \ lewo (R_ {i} \ prawo) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ do \ infty}$

${\ Displaystyle R_ {\ pocisk} = \ lewo (r_ {i} x_ {i} \ prawej) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle X.}$

a jeśli dodatkowo i są

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle Y}$

6. ${\ Displaystyle F}$mapuje dyski ograniczone na dyski ograniczone.
7. ${\ Displaystyle F ^ {-1}}$Plany bornivorous dysków w na dyskach bornivorous w${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X.}$

a jeśli dodatkowo jest przestrzenią bornologiczną i jest lokalnie wypukła, to do tej listy można dodać: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

8. ${\ Displaystyle F}$ jest sekwencyjnie ciągła.
9. ${\ Displaystyle F}$ jest sekwencyjnie ciągła w początku.

Przykłady

• Dowolny operator liniowy pomiędzy dwoma skończenie wymiarowymi przestrzeniami unormowanymi jest ograniczony i taki operator może być postrzegany jako mnożenie przez pewną ustaloną macierz .
• Każdy operator liniowy zdefiniowany na skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej jest ograniczony.
• Na przestrzeni sekwencji ewentualnie zerowych ciągów liczb rzeczywistych, rozpatrywanej z normą, operator liniowy do liczb rzeczywistych, który zwraca sumę ciągu, jest ograniczony, z operatorem norma 1. Jeżeli ta sama przestrzeń jest rozpatrywana z normą, ten sam operator nie jest ograniczony.${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty}}$
• Wiele przekształceń całkowych to ograniczone operatory liniowe. Na przykład, jeśli
  $${\ Displaystyle K: [a, b] \ razy [c, d] \ do \ mathbb {R} }$$

  
  jest funkcją ciągłą, to operator zdefiniowany na przestrzeni funkcji ciągłych na obdarzony

${\displaystyle \ell ^{2}}$

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {0}, x_ {2}, x_ {2}, \ ldots \ po prawej)}$

${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty,\,}$

$${\ Displaystyle L (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ kropki) = \ lewo (0, x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ po prawej) \ ,}$$

${\ Displaystyle 1.}$

Nieograniczone operatory liniowe

Pozwolić być przestrzeń wszystkich

${\ Displaystyle X}$

${\displaystyle [-\pi ,\pi],}$

${\ Displaystyle \ | P \ | = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \! | P (x) | \ dx.}$

Operator odwzorowujący wielomian na jego

${\ Displaystyle L: X \ do X}$

${\ Displaystyle V_ {n} = e ^ {inx}}$

${\displaystyle n=1,2,\ldots,}$

${\ Displaystyle \ | v_ {n} \ | = 2 \ pi,}$

${\ Displaystyle \ | L (v_ {n}) \ | = 2 \ pi n \ do \ infty}$

${\displaystyle n\do \infty,}$

${\ Displaystyle L}$

Własności przestrzeni ograniczonych operatorów liniowych

• Przestrzeń wszystkich ograniczonych operatorów liniowych od do jest oznaczona i jest unormowaną przestrzenią wektorową.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle B (X, Y)}$
• Jeśli jest Banach, to też jest${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle B(X,Y).}$
• z czego wynika, że podwójne przestrzenie to Banach.
• Dla dowolnego jądra jest zamkniętą liniową podprzestrzenią${\ Displaystyle A \ w B (X, Y)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X.}$
• Jeśli to Banach i jest nietrywialny, to jest Banachem.${\ Displaystyle B (X, Y)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Zobacz też

• Zbiór ograniczony (topologiczna przestrzeń wektorowa)
• Nieciągła mapa liniowa
• Ciągły operator liniowy
• Norma (matematyka)  – Długość w przestrzeni wektorowej
• Znormalizowana przestrzeń
• Algebra operatorów  – Oddział analizy funkcjonalnej
• Norma operatora  – Miara „rozmiaru” operatorów liniowych
• Teoria operatora
• Półnorma
• Operator bez ograniczeń
• Topologiczna przestrzeń  wektorowa –

Bibliografia

Bibliografia

• „Operator ograniczony” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Kreyszig, Erwin: Wstępna analiza funkcjonalna z aplikacjami , Wiley, 1989
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .