Pasek Möbiusa -Möbius strip

Pasek Möbiusa wykonany z papieru i taśmy klejącej

W matematyce , pasek Möbiusa , zespół Möbiusa lub pętla Möbiusa to powierzchnia , którą można uformować przez dołączenie końców paska papieru razem z półskrętem. Jako obiekt matematyczny został odkryty przez Johanna Benedicta Listinga i Augusta Ferdinanda Möbiusa w 1858 roku, ale pojawił się już w rzymskich mozaikach z III wieku n.e. Pasek Möbiusa jest powierzchnią, której nie można orientować , co oznacza, że ​​w jej obrębie nie można konsekwentnie odróżnić skrętów zgodnych z ruchem wskazówek zegara i przeciwnych do ruchu wskazówek zegara. Każda nieorientowana powierzchnia zawiera pasek Möbiusa.

Jako abstrakcyjna przestrzeń topologiczna , pasek Möbiusa może być osadzony w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na wiele różnych sposobów: półskręt zgodny z ruchem wskazówek zegara różni się od półskrętu przeciwnego do ruchu wskazówek zegara, a także może być osadzony z nieparzystą liczbą skrętów większą niż jeden lub z zawiązaną linią środkową. Dowolne dwa osadzenia z tym samym węzłem dla linii środkowej oraz taką samą liczbą i kierunkiem skrętów są topologicznie równoważne . Wszystkie te osadzenia mają tylko jedną stronę, ale po osadzeniu w innych przestrzeniach pasek Möbiusa może mieć dwie strony. Ma tylko jedną krzywą graniczną .

Kilka geometrycznych konstrukcji listwy Möbiusa nadaje jej dodatkową strukturę. Może być przeciągana jako powierzchnia rządzona przez segment linii obracający się w płaszczyźnie obrotowej, z samoprzecinaniem się lub bez niego. Cienki pasek papieru z końcami połączonymi w pasek Möbiusa można gładko wyginać jako rozwijającą się powierzchnię lub składać na płasko ; spłaszczone paski Möbiusa zawierają trihexaflexagon . Sudański pasek Möbiusa to minimalna powierzchnia w hipersferze , a pasek Meeksa Möbiusa to samoprzecinająca się minimalna powierzchnia w zwykłej przestrzeni euklidesowej. Zarówno sudański pas Möbiusa, jak i inny samoprzecinający się pas Mobiusa, czapka krzyżowa, mają okrągłą granicę. Wstęga Möbiusa bez granic, zwana otwartym paskiem Möbiusa, może tworzyć powierzchnie o stałej krzywiźnie . Pewne wysoce symetryczne przestrzenie, których punkty reprezentują linie na płaszczyźnie, mają kształt wstęgi Möbiusa.

Wiele zastosowań pasków Möbiusa obejmuje mechaniczne pasy , które zużywają się równomiernie po obu stronach, dwutorowe kolejki górskie, których wagoniki poruszają się naprzemiennie między dwoma torami, oraz mapy świata drukowane w taki sposób, że antypody pojawiają się naprzeciwko siebie. Paski Möbiusa pojawiają się w molekułach i urządzeniach o nowych właściwościach elektrycznych i elektromechanicznych i zostały wykorzystane do udowodnienia niemożliwości wyników w teorii wyboru społecznego . W kulturze popularnej paski Möbiusa pojawiają się w pracach MC Eschera , Maxa Billa i innych oraz w projekcie symbolu recyklingu . Wiele koncepcji architektonicznych zostało zainspirowanych pasem Möbiusa, w tym projekt budynku Galerii Sław NASCAR . Wykonawcy, w tym Harry Blackstone Sr. i Thomas Nelson Downs , oparli magiczne sztuczki sceniczne na właściwościach paska Möbiusa. Kanony JS Bacha zostały przeanalizowane za pomocą pasków Möbiusa . Wiele dzieł literatury spekulatywnej zawiera paski Möbiusa; bardziej ogólnie, struktura fabuły oparta na wstążce Möbiusa, wydarzeń, które powtarzają się z niespodzianką, jest powszechna w fikcji.

Historia

Mozaika ze starożytnego Sentinum przedstawiająca Aiona trzymającego pasek Möbiusa

Pompa łańcuchowa z łańcuchem napędowym Möbiusa firmy Ismail al-Jazari (1206)

Odkrycie wstęgi Möbiusa jako obiektu matematycznego przypisuje się niezależnie niemieckim matematykom Johannowi Benedictowi Listingowi i Augustowi Ferdinandowi Möbiusowi w 1858 roku. Jednak był on znany od dawna, zarówno jako obiekt fizyczny, jak i w przedstawieniach artystycznych; w szczególności można go zobaczyć na kilku rzymskich mozaikach z III wieku n.e. W wielu przypadkach przedstawiają one jedynie zwinięte wstążki jako granice. Gdy liczba zwojów jest nieparzysta, te wstążki są paskami Möbiusa, ale dla parzystej liczby zwojów są one topologicznie równoważne nieskręconym pierścieniom . Dlatego to, czy wstążka jest paskiem Möbiusa, może być raczej przypadkowym, niż świadomym wyborem. W co najmniej jednym przypadku wstążka o różnych kolorach po różnych stronach została narysowana z nieparzystą liczbą zwojów, zmuszając artystę do niezgrabnego mocowania w miejscu, w którym kolory się nie zgadzają. Inna mozaika z miasta Sentinum (przedstawiona) przedstawia zodiak , trzymany przez boga Aiona , jako wstęgę z tylko jednym skrętem. Nie ma wyraźnych dowodów na to, że jednostronność tej wizualnej reprezentacji czasu niebieskiego była zamierzona; mógł być wybrany jedynie po to, by wszystkie znaki zodiaku pojawiły się na widocznej stronie paska. Niektóre inne starożytne przedstawienia Ourobouros lub dekoracje w kształcie ósemki mają również przedstawiać paski Möbiusa, ale nie jest jasne , czy miały one przedstawiać płaskie paski dowolnego typu .

Niezależnie od tradycji matematycznej, mechanicy od dawna wiedzą, że mechaniczne pasy zużywają się o połowę szybciej, gdy tworzą paski Möbiusa, ponieważ wykorzystują całą powierzchnię pasa, a nie tylko wewnętrzną powierzchnię pasa nieskręconego. Dodatkowo taki pasek może być mniej podatny na zwijanie się na boki. Wczesny pisemny opis tej techniki pochodzi z 1871 roku, czyli po pierwszych publikacjach matematycznych dotyczących wstęgi Möbiusa. Dużo wcześniej obraz pompy łańcuchowej w dziele Ismaila al-Jazariego z 1206 roku przedstawia konfigurację paska Möbiusa dla łańcucha napędowego. Innym zastosowaniem tej powierzchni były szwaczki w Paryżu (w nieokreślonym terminie): inicjowały nowicjuszy, wymagając od nich przyszycia paska Möbiusa jako kołnierza do ubrania.

Nieruchomości

Dwuwymiarowy obiekt przechodzący raz wokół paska Möbiusa powraca w formie lustrzanej

Pasek Möbiusa ma kilka ciekawych właściwości. Jest to powierzchnia nie dająca się orientować : jeśli asymetryczny, dwuwymiarowy obiekt przesunie się jeden raz wokół paska, powraca do swojej pozycji wyjściowej jako swoje lustrzane odbicie. W szczególności zakrzywiona strzałka skierowana zgodnie z ruchem wskazówek zegara (↻) powróci jako strzałka skierowana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (↺), co oznacza, że ​​w obrębie paska Möbiusa niemożliwe jest konsekwentne zdefiniowanie, co to znaczy być zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jest to najprostsza powierzchnia nie dająca się orientować: każda inna powierzchnia nie nadaje się do orientowania wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór paska Möbiusa. W związku z tym, gdy jest osadzony w przestrzeni euklidesowej , pasek Möbiusa ma tylko jedną stronę. Trójwymiarowy obiekt, który przesuwa się raz po powierzchni paska, nie jest odbijany w lustrze, lecz powraca do tego samego punktu paska po tym, co lokalnie wydaje się być jego drugą stroną, pokazując, że obie pozycje są w rzeczywistości częścią jednej strony . To zachowanie różni się od znanych powierzchni, które można orientować w trzech wymiarach, takich jak te modelowane przez płaskie arkusze papieru, cylindryczne słomki do picia lub puste kulki, w przypadku których jedna strona powierzchni nie jest połączona z drugą. Jest to jednak właściwość jego osadzenia w przestrzeni, a nie wewnętrzna właściwość samego paska Möbiusa: istnieją inne przestrzenie topologiczne, w których pasek Möbiusa może być osadzony tak, aby miał dwie strony. Na przykład, jeśli przednia i tylna ściana sześcianu są sklejone ze sobą z lustrzanym odbiciem lewo-prawo, to powstaje trójwymiarowa przestrzeń topologiczna ( iloczyn kartezjański wstęgi Möbiusa z interwałem), w której wierzchołek a dolne połówki sześcianu można oddzielić od siebie dwustronnym paskiem Möbiusa . W przeciwieństwie do dysków, kul i cylindrów, dla których możliwe jest jednoczesne osadzenie w trójwymiarowej przestrzeni niezliczonego zestawu rozłącznych kopii , tylko policzalna liczba pasków Möbiusa może być jednocześnie osadzona.

Ścieżka wzdłuż krawędzi paska Möbiusa, śledzona, aż powróci do punktu początkowego na krawędzi, obejmuje wszystkie punkty graniczne paska Möbiusa w jednej ciągłej krzywej. W przypadku paska Möbiusa utworzonego przez sklejenie i skręcenie prostokąta, ma on dwukrotnie większą długość od linii środkowej paska. W tym sensie pasek Möbiusa różni się od nieskręconego pierścienia i jak okrągły dysk mający tylko jedną granicę. Wstęgi Möbiusa w przestrzeni euklidesowej nie można przesuwać ani rozciągać do jej lustrzanego odbicia; jest to obiekt chiralny z prawo- lub leworęcznością. Paski Möbiusa o nieparzystej liczbie półskrętów większych niż jeden lub które są zawiązane przed sklejeniem, różnią się jako osadzone podzbiory trójwymiarowej przestrzeni, mimo że wszystkie są równoważne jako dwuwymiarowe powierzchnie topologiczne. Dokładniej, dwa paski Möbiusa są równoważnie osadzone w przestrzeni trójwymiarowej, gdy ich linie środkowe wyznaczają ten sam węzeł i mają taką samą liczbę skręceń jak siebie . Przy parzystej liczbie skręceń uzyskuje się jednak inną powierzchnię topologiczną, zwaną pierścieniem .

Pasek Möbiusa można w sposób ciągły przekształcać w jego linię środkową, zmniejszając go podczas ustalania punktów na linii środkowej. Ta transformacja jest przykładem wycofania deformacji , a jej istnienie oznacza, że ​​pasek Möbiusa ma wiele takich samych właściwości jak jego linia środkowa, która topologicznie jest kołem. W szczególności jego podstawowa grupa jest taka sama jak podstawowa grupa koła, nieskończona grupa cykliczna . Dlatego ścieżki na pasku Möbiusa, które zaczynają się i kończą w tym samym punkcie, można rozróżnić topologicznie (aż do homotopii ) tylko na podstawie liczby zapętleń wokół paska.

Cięcie linii środkowej daje dwustronny (nie Möbius) pasek

Pojedyncze wycięcie poza środkiem oddziela pasek Möbiusa (fioletowy) od paska dwustronnego

Cięcie paska Möbiusa wzdłuż linii środkowej za pomocą nożyczek daje jeden długi pasek z dwoma półskrętami, a nie dwa oddzielne paski. Rezultatem nie jest pasek Möbiusa, ale topologicznie równoważny cylindrowi. Ponowne przecięcie tego podwójnie skręconego paska wzdłuż jego linii środkowej daje dwa połączone podwójnie skręcone paski. Jeśli zamiast tego pasek Möbiusa jest cięty wzdłużnie, jedna trzecia jego szerokości, powstaje dwa połączone paski. Jeden z nich to środkowy, cieńszy pasek Möbiusa, podczas gdy drugi ma dwa półskręcenia. Te powiązane ze sobą kształty, utworzone przez podłużne plasterki pasków Möbiusa o różnej szerokości, są czasami nazywane pierścieniami paradromicznymi .

Podział na sześć sąsiadujących ze sobą regionów, ograniczonych wykresem Tietze'a

Rozwiązanie problemu trzech mediów na pasku Möbiusa

Pasek Möbiusa można pociąć na sześć sąsiadujących ze sobą regionów, co pokazuje, że mapy na powierzchni paska Möbiusa mogą czasami wymagać sześciu kolorów, w przeciwieństwie do twierdzenia o czterech kolorach dla płaszczyzny. Sześć kolorów zawsze wystarczy. Wynik ten jest częścią twierdzenia Ringela-Youngsa , które określa, ile kolorów potrzebuje każda powierzchnia topologiczna. Krawędzie i wierzchołki tych sześciu regionów tworzą wykres Tietze'a , który jest podwójnym wykresem na tej powierzchni dla pełnego sześciowierzchołkowego grafu, ale nie można go narysować bez przecinania się na płaszczyźnie . Inną rodziną wykresów, które można osadzić na pasku Möbiusa, ale nie na płaszczyźnie, są drabiny Möbiusa , granice podpodziałów paska Möbiusa na prostokąty stykające się końcami. Należą do nich graf użyteczności, sześciowierzchołkowy pełny dwudzielny graf, którego osadzenie w pasku Möbiusa pokazuje, że w przeciwieństwie do płaszczyzny, problem trzech użyteczności można rozwiązać na przezroczystym pasku Möbiusa . Cechą Eulera dla paska Möbiusa jest zero , co oznacza, że ​​dla dowolnego podziału paska przez wierzchołki i krawędzie na regiony, liczby , i wierzchołki, krawędzie i regiony spełniają . Na przykład wykres Tietze'a ma wierzchołki, krawędzie i regiony; .${\displaystyle V}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle V-E + F = 0}$${\ Displaystyle 12}$${\ Displaystyle 18}$${\ Displaystyle 6}$${\ Displaystyle 12-18 + 6 = 0}$

Konstrukcje

Istnieje wiele różnych sposobów definiowania powierzchni geometrycznych z topologią wstęgi Möbiusa, co daje realizacje z dodatkowymi właściwościami geometrycznymi.

Zamiatanie odcinka linii

Pasek Möbiusa wymiatany przez obracający się segment linii w obracającej się płaszczyźnie

Konoid Plückera wymiatany przez inny ruch odcinka linii

Jednym ze sposobów osadzenia wstęgi Möbiusa w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest usunięcie jej za pomocą segmentu linii obracającego się w płaszczyźnie, która z kolei obraca się wokół jednej z jej linii. Aby powierzchnia omiatana spotkała się ze sobą po półskręcie, odcinek linii powinien obracać się wokół swojego środka z prędkością kątową o połowę mniejszą niż obrót samolotu. Można to opisać jako powierzchnię parametryczną określoną równaniami na współrzędne kartezjańskie jej punktów,

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x (u, v) i = \ lewo (1+ {\ frac {v} {2}} \ cos {\ frac {u} {2}} \ po prawej) \ cos u \\y(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v )&={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}\\\end{wyrównany}}}$$

${\displaystyle 0\leq u<2\pi}$

${\displaystyle -1\leq v\leq 1}$

${\ Displaystyle u}$

${\displaystyle v}$

${\displaystyle xy}$

${\ Displaystyle (0,0,0)}$

Linia lub odcinek linii przesunięty w innym ruchu, obracający się w płaszczyźnie poziomej wokół początku ruchu w górę iw dół, tworzy stożkowaty lub cylindryczny kształt Plückera, algebraiczną powierzchnię rządzoną w formie samoprzecinającego się paska Möbiusa . Ma zastosowanie w projektowaniu kół zębatych .

Powierzchnie wielościenne i płaskie zagięcia

Trihexaflexagon jest zginany

Pasek papieru może utworzyć spłaszczony pasek Möbiusa w płaszczyźnie, składając go pod kątem tak, aby jego linia środkowa leżała wzdłuż trójkąta równobocznego i dołączając końce. Najkrótszy pas, dla którego jest to możliwe, składa się z trzech trójkątów równobocznych, zagiętych na krawędziach, gdzie spotykają się dwa trójkąty. Jego współczynnik kształtu  — stosunek długości paska do jego szerokości — wynosi , a ta sama metoda składania działa dla każdego większego współczynnika kształtu. W przypadku paska dziewięciu trójkątów równobocznych wynikiem jest trihexaflexagon , który można wygiąć, aby odsłonić różne części jego powierzchni. W przypadku pasków zbyt krótkich do bezpośredniego zastosowania tej metody, można najpierw „zagiąć harmonijkowo” pasek w jego szerokim kierunku w tę i z powrotem za pomocą parzystej liczby zgięć. Na przykład przy dwóch zagięciach pasek stałby się złożonym paskiem, którego przekrój ma kształt „N” i pozostałby „N” po półskręcie. Węższy pasek złożony w harmonijkę można następnie złożyć i połączyć w taki sam sposób, jak dłuższy pasek .${\displaystyle 60^{\circ}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}\ok 1,73}$${\displaystyle 1\razy 1}$${\displaystyle 1\razy {\tfrac {1}{3}}}$

Wielościenne i płasko składane paski Möbiusa z pięcioma wierzchołkami

Pasek Möbiusa może być również osadzony jako powierzchnia wielościenna w przestrzeni lub płasko złożony w płaszczyźnie, z tylko pięcioma trójkątnymi ścianami mającymi pięć wierzchołków. W tym sensie jest prostszy niż cylinder , który wymaga sześciu trójkątów i sześciu wierzchołków, nawet jeśli jest reprezentowany bardziej abstrakcyjnie jako kompleks simplicjalny . Pięciokątny pasek Möbiusa może być reprezentowany najbardziej symetrycznie przez pięć z dziesięciu równobocznych trójkątów czterowymiarowego regularnego simpleksu . Ten czterowymiarowy wielościenny pasek Möbiusa jest jedynym ciasnym paskiem Möbiusa, takim, który jest w pełni czterowymiarowy i dla którego wszystkie cięcia hiperpłaszczyznami rozdzielają go na dwie części, które są topologicznie równoważne dyskom lub okręgom.

Inne wielościenne osadzenia pasków Möbiusa obejmują jedno z czterema wypukłymi czworokątami jako ścianami, drugie z trzema niewypukłymi ścianami czworokątnymi i jedno wykorzystujące wierzchołki i punkt środkowy regularnego ośmiościanu z trójkątną granicą. Każda abstrakcyjna triangulacja płaszczyzny rzutowej może być osadzona w 3D jako wielościenny pasek Möbiusa z trójkątną granicą po usunięciu jednej z jej ścian; przykładem jest sześciowierzchołkowa płaszczyzna rzutowa uzyskana przez dodanie jednego wierzchołka do pięciowierzchołkowego paska Möbiusa, połączonego trójkątami z każdą z jego krawędzi granicznych. Jednak nie każdą abstrakcyjną triangulację wstęgi Möbiusa można przedstawić geometrycznie jako powierzchnię wielościenną. Aby było to możliwe do zrealizowania, konieczne i wystarczające jest, aby w triangulacji nie było dwóch rozłącznych niekurczliwych 3-cykli.

Gładko osadzone prostokąty

Prostokątny pasek Möbiusa, wykonany przez przymocowanie końców prostokąta papieru, może być gładko osadzony w trójwymiarowej przestrzeni, gdy jego współczynnik kształtu jest większy niż , taki sam stosunek jak w przypadku płasko złożonej wersji trójkąta równobocznego paska Möbiusa . To płaskie trójkątne osadzenie może unieść się do gładkiego osadzenia w trzech wymiarach, w którym pasek leży płasko w trzech równoległych płaszczyznach pomiędzy trzema cylindrycznymi rolkami, z których każda jest styczna do dwóch płaszczyzn. Matematycznie gładko osadzony arkusz papieru może być modelowany jako powierzchnia rozwijalna , która może się zginać, ale nie może rozciągać. W miarę zmniejszania się jego proporcji w kierunku , wszystkie gładkie osadzania wydają się zbliżać do tej samej trójkątnej formy.${\displaystyle {\sqrt {3}}\ok 1,73}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Wzdłużne fałdy płaskiego paska Möbiusa złożonego w harmonijkę zapobiegają tworzeniu się trójwymiarowego osadzenia, w którym warstwy są od siebie oddzielone i gładko wyginają się bez zgniatania lub rozciągania się od fałd. Zamiast tego, w przeciwieństwie do przypadku składanego na płasko, istnieje dolna granica współczynnika kształtu gładkich prostokątnych pasków Möbiusa. Ich proporcje nie mogą być mniejsze niż , nawet jeśli dozwolone są samoprzecięcia. Samoprzecinające się gładkie paski Möbiusa istnieją dla dowolnego współczynnika kształtu powyżej tej granicy. Bez samoprzecięć współczynnik proporcji musi wynosić co najmniej${\ Displaystyle \ pi /2 \ około 1,57}$

$${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {4-2{\sqrt {3}}}}+4}{{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}+2 {\sqrt {2{ \sqrt {3}}-3}}}}\ok 1.695.}$$

W przypadku współczynników proporcji między tym ograniczeniem a ,${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ nie wiadomo, czy istnieją gładkie osadzenia bez samoprzecinania się . Jeśli wymóg gładkości jest złagodzony, aby umożliwić ciągłe różniczkowanie powierzchni, twierdzenie Nasha-Kuipera sugeruje, że dowolne dwie przeciwległe krawędzie dowolnego prostokąta można skleić, tworząc osadzony pasek Möbiusa, bez względu na to, jak mały staje się współczynnik kształtu. Przypadek graniczny, powierzchnia uzyskana z nieskończonego pasa płaszczyzny pomiędzy dwiema równoległymi liniami, sklejona z przeciwną orientacją do siebie, nazywana jest nieograniczonym pasem Möbiusa lub rzeczywistą wiązką liniową . Chociaż nie ma płynnego osadzenia w trójwymiarowej przestrzeni, może być płynnie osadzony w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej .

Minimalny energetyczny kształt gładkiego paska Möbiusa sklejonego z prostokąta nie ma znanego opisu analitycznego, ale można go obliczyć numerycznie i był przedmiotem wielu badań w teorii płyt od czasu początkowej pracy na ten temat w 1930 roku przez Michaela Sadowski . Możliwe jest również znalezienie powierzchni algebraicznych zawierających prostokątne rozwijalne paski Möbiusa.

Tworzenie granicy kołowej

Klejenie dwóch pasków Möbiusa w celu utworzenia butelki Klein

Projekcja sudańskiego paska Möbiusa

Krawędź lub granica paska Möbiusa jest topologicznie równoważna okręgowi . W powszechnych formach wstęgi Möbiusa ma ona inny kształt niż koło, ale jest nierozwiązana , dzięki czemu cały pasek można rozciągać bez krzyżowania się, aby krawędź była idealnie okrągła. Jeden z takich przykładów opiera się na topologii butelki Kleina , jednostronnej powierzchni bez granic, której nie można osadzić w trójwymiarowej przestrzeni, ale można ją zanurzyć (pozwalając powierzchni przecinać się w pewien ograniczony sposób). Butelka Kleina to powierzchnia, która powstaje, gdy dwa paski Möbiusa są sklejane ze sobą krawędzią do krawędzi, a – odwracając ten proces – butelkę Kleina można pokroić wzdłuż starannie wybranego cięcia, aby uzyskać dwa paski Möbiusa. W przypadku formy butelki Kleina, znanej jako butelka Kleina Lawsona, krzywa, wzdłuż której jest krojona, może być okrągła, w wyniku czego powstają paski Möbiusa z okrągłymi krawędziami.

Butelka Lawsona Kleina jest samoprzecinającą się minimalną powierzchnią w jednostkowej hipersferze przestrzeni 4-wymiarowej, zbiorem punktów formy

$${\displaystyle (\cos \theta \cos \phi,\sin \theta \cos \phi,\cos 2\theta \sin \phi,\sin 2\theta \sin \phi )}$$

${\displaystyle 0\leq \theta <\pi,0\leq \phi <2\pi}$

${\displaystyle 0\leq \phi <\pi}$

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (2)}$

Schematyczne przedstawienie nasadki krzyżowej z otwartym dnem, pokazującej jej zestawy poziomów . Ta powierzchnia przecina się wzdłuż pionowego odcinka linii.

Sudański pas Möbiusa rozciąga się ze wszystkich stron swojego okręgu granicznego, co jest nieuniknione, jeśli powierzchnia ma uniknąć przekraczania siebie. Inna forma paska Möbiusa, zwana cross-cap lub crosscap , również ma okrągłą granicę, ale poza tym pozostaje tylko po jednej stronie płaszczyzny tego koła, dzięki czemu jest wygodniejsza do mocowania na okrągłych otworach w innych powierzchniach. W tym celu krzyżuje się. Można go utworzyć poprzez usunięcie czworokąta ze szczytu półkuli, zorientowanie krawędzi czworokąta w naprzemiennych kierunkach, a następnie sklejenie przeciwległych par tych krawędzi zgodnie z tą orientacją. Dwie części powierzchni utworzonej przez dwie sklejone pary krawędzi przecinają się z punktem szczypania podobnym do parasola Whitneya na każdym końcu segmentu skrzyżowania, ta sama topologiczna struktura widoczna w stożku Plückera.

Powierzchnie o stałej krzywiźnie

Otwarty pasek Möbiusa jest względnym wnętrzem standardowego paska Möbiusa, utworzonym przez pominięcie punktów na jego krawędzi granicznej. Może mieć geometrię Riemanna o stałej dodatniej, ujemnej lub zerowej krzywiźnie Gaussa . Przypadki krzywizny ujemnej i zerowej tworzą geodezyjnie kompletne powierzchnie, co oznacza, że ​​wszystkie geodezyjne ("linie proste" na powierzchni) mogą być rozciągane w nieskończoność w dowolnym kierunku.

Zero krzywizny

Otwarty pas o zerowej krzywiźnie może być skonstruowany poprzez sklejenie przeciwległych stron płaskiego pasa pomiędzy dwiema równoległymi liniami, opisanymi powyżej jako tautologiczna wiązka linii. Wynikowa metryka sprawia, że ​​otwarty pasek Möbiusa staje się (geodezyjną) kompletną płaską powierzchnią (tj. mającą wszędzie zerową krzywiznę Gaussa). Jest to unikalna metryka na pasku Möbiusa, aż do jednolitego skalowania, które jest zarówno płaskie, jak i kompletne. Jest to przestrzeń ilorazowa płaszczyzny przez odbicie poślizgowe i (wraz z płaszczyzną, cylindrem , torusem i butelką Kleina ) jest jedną z zaledwie pięciu dwuwymiarowych kompletnych płaskich rozmaitości .

Krzywizna ujemna

Otwarty pasek Möbiusa dopuszcza również pełną metrykę stałej ujemnej krzywizny. Jednym ze sposobów, aby to zobaczyć, jest rozpoczęcie od modelu górnej połowy płaszczyzny (Poincaré) płaszczyzny hiperbolicznej , geometrii o stałej krzywiźnie, której linie są reprezentowane w modelu przez półkola, które spotykają się z osią - pod kątem prostym. Weź podzbiór górnej półpłaszczyzny między dowolnymi dwoma zagnieżdżonymi półokręgami i zidentyfikuj zewnętrzny półokrąg z odwróceniem lewego i prawego półkola wewnętrznego. Rezultatem jest topologicznie kompletny i niekompaktowy pasek Möbiusa ze stałą krzywizną ujemną. Jest to „niestandardowa” pełna powierzchnia hiperboliczna w tym sensie, że zawiera kompletną półpłaszczyznę hiperboliczną (właściwie dwie, po przeciwnych stronach osi odbicia poślizgu) i jest jedną z zaledwie 13 niestandardowych powierzchni. Ponownie, można to rozumieć jako iloraz płaszczyzny hiperbolicznej przez odbicie poślizgu.${\displaystyle x}$

Pozytywna krzywizna

Pasek Möbiusa o stałej dodatniej krzywiźnie nie może być kompletny, ponieważ wiadomo, że jedynymi pełnymi powierzchniami o stałej dodatniej krzywiźnie są kula i płaszczyzna rzutowa . Jednak w pewnym sensie dzieli go tylko jeden punkt od bycia kompletną powierzchnią, ponieważ otwarty pasek Möbiusa jest homeomorficzny z raz przebitą płaszczyzną rzutową, powierzchnią uzyskaną przez usunięcie dowolnego punktu z płaszczyzny rzutowej.

Minimalne powierzchnie są opisane jako mające stałą zerową średnią krzywiznę zamiast stałej krzywizny Gaussa. Sudański pas Möbiusa został skonstruowany jako minimalna powierzchnia ograniczona wielkim kołem w 3-sferze, ale istnieje również unikalna kompletna (bez granic) minimalna powierzchnia zanurzona w przestrzeni euklidesowej, która ma topologię otwartego pasa Möbiusa. Nazywa się to wstęgą Meeksa Möbiusa , po opisie z 1982 roku autorstwa Williama Hamiltona Meeksa, III . Chociaż jako minimalna powierzchnia jest globalnie niestabilna, małe jej łaty, ograniczone niekurczliwymi krzywiznami wewnątrz powierzchni, mogą tworzyć stabilne, osadzone paski Möbiusa jako powierzchnie minimalne. Zarówno wstęga Meeksa Möbiusa, jak i każda minimalna powierzchnia o wyższym wymiarze z topologią wstęgi Möbiusa, mogą być skonstruowane przy użyciu rozwiązań problemu Björlinga , który definiuje minimalną powierzchnię jednoznacznie z jej krzywej granicznej i płaszczyzn stycznych wzdłuż tej krzywej.

Przestrzenie linii

Rodzinie linii w płaszczyźnie można nadać strukturę gładkiej przestrzeni, przy czym każda linia jest reprezentowana jako punkt w tej przestrzeni. Powstała przestrzeń linii jest topologicznie równoważna otwartemu pasowi Möbiusa . Jednym ze sposobów, aby to zobaczyć, jest rozszerzenie płaszczyzny euklidesowej do rzeczywistej płaszczyzny rzutowej przez dodanie jeszcze jednej linii, linii w nieskończoności . Dzięki dualizmowi rzutowemu przestrzeń linii w płaszczyźnie rzutowej jest równoważna jej przestrzeni punktów, samej płaszczyźnie rzutowej. Usunięcie linii w nieskończoność, aby wytworzyć przestrzeń linii euklidesowych, przebija tę przestrzeń linii rzutowych. Dlatego przestrzeń linii euklidesowych jest przebitą płaszczyzną rzutową, która jest jedną z form otwartego pasa Möbiusa . Przestrzeń linii w płaszczyźnie hiperbolicznej można sparametryzować za pomocą nieuporządkowanych par odrębnych punktów na okręgu, par punktów w nieskończoności każdej linii. Ta przestrzeń ponownie ma topologię otwartego wstęgi Möbiusa .

Te przestrzenie linii są wysoce symetryczne. Symetrie linii euklidesowych obejmują transformacje afiniczne , a symetrie linii hiperbolicznych obejmują transformacje Möbiusa . Transformacje afiniczne i transformacje Möbiusa tworzą zarówno 6-wymiarowe grupy Liego , przestrzenie topologiczne mające kompatybilną strukturę algebraiczną opisującą kompozycję symetrii. Ponieważ każda linia w płaszczyźnie jest symetryczna do każdej innej linii, otwarty pasek Möbiusa jest przestrzenią jednorodną , ​​przestrzenią o symetrii, która przenosi każdy punkt do każdego innego punktu. Jednorodne przestrzenie grup Liego nazywane są solvmanifolds , a pasek Möbiusa może być użyty jako kontrprzykład , pokazując , że nie każdy solvmanifold jest nilmanifold , i że nie każdy solvmanifold może być rozłożony na bezpośredni iloczyn zwartego solvmanifold z . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$Symetrie te zapewniają również inny sposób skonstruowania samego paska Möbiusa, jako modelu grupowego tych grup Liego. Model grupowy składa się z grupy Liego i podgrupy stabilizatora jej działania; skrócenie cosetów podgrupy do punktów daje przestrzeń o tej samej topologii, co leżąca pod nią jednorodna przestrzeń. W przypadku symetrii linii euklidesowych stabilizator osi -składa się ze wszystkich symetrii, które biorą oś do siebie. Każda linia odpowiada coset, zestawowi symetrii, który jest odwzorowany na oś - . Dlatego przestrzeń ilorazowa , przestrzeń, która ma jeden punkt na coset i dziedziczy swoją topologię z przestrzeni symetrii, jest taka sama jak przestrzeń linii i jest ponownie otwartą wstęgą Möbiusa .${\displaystyle x}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle x}$

Aplikacje

Przepływ elektryczny w rezystorze Möbiusa

Poza omówionymi już zastosowaniami taśm Möbiusa do projektowania pasów mechanicznych, które zużywają się równomiernie na całej ich powierzchni, oraz stożka Plückera do projektowania kół zębatych, inne zastosowania taśm Möbiusa obejmują:

• Wstążki grafenowe skręcone w paski Möbiusa o nowych właściwościach elektronicznych, w tym magnetyzmie śrubowym
• Aromatyczność Möbiusa , właściwość organicznych substancji chemicznych , których struktura molekularna tworzy cykl, z orbitalami molekularnymi ustawionymi wzdłuż cyklu we wzorze paska Möbiusa
• Rezystor Möbius , pasek materiału przewodzącego pokrywający jedną stronę paska dielektrycznego Möbiusa, w sposób, który anuluje jego własną indukcyjność
• Rezonatory o zwartej konstrukcji i częstotliwości rezonansowej o połowę mniejszej niż w przypadku identycznie skonstruowanych cewek liniowych
• Wzory polaryzacji w świetle wychodzącym z płyty q
• Dowód na niemożność ciągłych, anonimowych i jednomyślnych dwustronnych reguł agregacji w teorii wyboru społecznego
• Kolejki górskie z pętlą Möbiusa , forma dwutorowej kolejki górskiej, w której dwa tory kręcą się wokół siebie nieparzystą liczbę razy, tak że wózki wracają na inny tor niż ten, na którym rozpoczęły
• Mapy świata rzutowane na pas Möbiusa z wygodnymi właściwościami, że nie ma granic wschód-zachód, a antypoda dowolnego punktu na mapie można znaleźć na drugiej wydrukowanej stronie powierzchni w tym samym punkcie pasa Möbiusa

Naukowcy zbadali również energetykę mydlanych filmów w kształcie pasków Möbiusa, chemiczną syntezę molekuł w kształcie pasków Möbiusa oraz tworzenie większych pasków Möbiusa w nanoskali przy użyciu origami DNA .

W kulturze popularnej

Endless Twist , Max Bill , 1956, z skansenu Middelheim Open Air Sculpture Museum

Dwuwymiarowe dzieła sztuki z paskiem Möbiusa obejmują bez tytułu obraz Corrado Cagliego z 1947 r. (upamiętniony w wierszu Charlesa Olsona ) oraz dwie grafiki MC Eschera : Möbius Band I (1961), przedstawiające trzy złożone płastugi gryzące się nawzajem; oraz Möbius Band II (1963), przedstawiający mrówki pełzające wokół paska Möbiusa w kształcie lemniskaty . Jest również popularnym tematem rzeźby matematycznej , w tym dzieł Maxa Billa ( Niekończąca się wstążka , 1953), José de Rivery ( Nieskończoność , 1967) i Sebastiána . Pasek Möbiusa z węzłem trójliściowym został użyty w Nieśmiertelności Johna Robinsona ( 1982). Kontinuum Charlesa O. Perry'ego (1976) jest jednym z kilku dzieł Perry'ego eksplorujących wariacje wstęgi Möbiusa.

Symbol recyklingu

Logo Dysku Google (2012-2014)

Logo IMPA na znaczku

Ze względu na swoją łatwo rozpoznawalną formę, paski Möbiusa są powszechnym elementem projektowania graficznego . Znane logo recyklingu z trzema strzałkami , zaprojektowane w 1970 roku, opiera się na gładkiej trójkątnej formie paska Möbiusa , podobnie jak logo Expo '74 o tematyce ekologicznej . Niektóre odmiany symbolu recyklingu używają innego osadzenia z trzema półskrętami zamiast jednego, a oryginalna wersja logo Dysku Google wykorzystywała płasko składany pasek Möbiusa z trzema skrętami, podobnie jak inne podobne projekty. Brazylijski Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) używa stylizowanego gładkiego paska Möbiusa jako swojego logo i ma pasującą dużą rzeźbę paska Möbiusa na wystawie w swoim budynku. Pasek Möbiusa znalazł się również w grafice znaczków pocztowych z krajów takich jak Brazylia, Belgia, Holandia i Szwajcaria.

Wejście do Galerii Sław NASCAR

Pasy Möbiusa były częstą inspiracją przy projektowaniu architektonicznym budynków i mostów. Jednak wiele z nich to projekty lub projekty koncepcyjne, a nie skonstruowane obiekty, lub rozciągają swoją interpretację paska Möbiusa poza jego rozpoznawalność jako formę matematyczną lub funkcjonalną część architektury. Przykładem jest Biblioteka Narodowa Kazachstanu , dla której zaplanowano budynek w kształcie pogrubionego pasa Möbiusa, ale po wycofaniu się pierwotnych architektów odnowiono z innym projektem. Jednym z godnych uwagi budynków z pasem Möbiusa jest NASCAR Hall of Fame , który jest otoczony dużą skręconą wstęgą ze stali nierdzewnej, działającą jako fasada i baldachim, i przywołująca zakrzywione kształty torów wyścigowych. W mniejszej skali Krzesło Moebiusa (2006) Pedro Reyesa to zalotna ławka , której podstawa i boki mają formę wstęgi Möbiusa. Jako forma matematyki i sztuki włókienniczej , szaliki były tkane w paski Möbiusa od czasu pracy Elizabeth Zimmermann we wczesnych latach 80-tych. W stylizacji żywności paski Möbiusa były używane do krojenia bajgli , robienia pętelek z bekonu i tworzenia nowych kształtów makaronu .

Chociaż matematycznie wstęga Möbiusa i czwarty wymiar są pojęciami czysto przestrzennymi, często są one przywoływane w fikcji spekulacyjnej jako podstawa pętli czasowej, w której nieostrożne ofiary mogą zostać uwięzione. Przykładami tego tropu są „ Bezstronny profesor” Martina Gardnera (1946), „ Metro nazwane Mobius ” Armina Josepha Deutscha (1950) i oparty na nim film Moebius (1996). Cały świat w kształcie paska Möbiusa to sceneria „Ściany ciemności” Arthura C. Clarke'a (1946), podczas gdy konwencjonalne paski Möbiusa są używane jako sprytne wynalazki w wielu opowiadaniach Williama Hazletta Upsona z lat 40. XX wieku. Inne dzieła literackie zostały przeanalizowane jako mające strukturę przypominającą wstęgę Möbiusa, w której elementy fabuły powtarzają się z niespodzianką; są to między innymi W poszukiwaniu straconego czasu Marcela Prousta (1913–1927), Sześć postaci w poszukiwaniu autora Luigiego Pirandello (1921), To wspaniałe życie Franka Capry (1946), Zagubieni w Johna Bartha The Funhouse (1968), Dhalgren Samuela R. Delany'ego ( 1975) oraz film Donnie Darko (2001).

Jeden z kanonów muzycznych JS Bacha , piąty z 14 kanonów ( BWV 1087 ) odkryty w 1974 roku w egzemplarzu Wariacji Goldbergowskich Bacha , charakteryzuje się symetrią poślizgu, w której każdy głos w kanonie powtarza, z odwróconymi nutami , to samo motyw z dwóch taktów wcześniej. Ze względu na tę symetrię można uznać, że kanon ten ma swoją partyturę zapisaną na pasku Möbiusa. W teorii muzyki dźwięki różniące się o oktawę są ogólnie uważane za dźwięki równoważne, a przestrzeń możliwych nut tworzy okrąg, okrąg chromatyczny . Ponieważ wstęga Möbiusa jest przestrzenią konfiguracyjną dwóch nieuporządkowanych punktów na kole, przestrzeń wszystkich dwudźwiękowych akordów przybiera kształt wstęgi Möbiusa. Ta koncepcja i uogólnienia do większej liczby punktów są znaczącym zastosowaniem orbifoldów w teorii muzyki . Współczesne grupy muzyczne czerpiące swoją nazwę z taśmy Möbius to amerykańskie elektroniczne rockowe trio Mobius Band i norweski zespół rocka progresywnego Ring Van Möbius .

Paski Möbiusa i ich właściwości zostały wykorzystane w projektowaniu magii scenicznej . Jedna z takich sztuczek, znana jako paski afgańskie, wykorzystuje fakt, że pasek Möbiusa pozostaje pojedynczym paskiem po przecięciu wzdłuż. Powstał w latach 80. XIX wieku i był bardzo popularny w pierwszej połowie XX wieku. Istnieje wiele wersji tej sztuczki i były one wykonywane przez znanych iluzjonistów, takich jak Harry Blackstone Sr. i Thomas Nelson Downs .

Zobacz też

• Licznik Möbiusa , rejestr przesuwny, którego bit wyjściowy jest uzupełniany przed powrotem do bitu wejściowego
• Trójkąt Penrose'a , niemożliwa postać, której granica wydaje się owijać wokół niej w pasku Möbiusa
• Teoria wstążki , matematyczna teoria nieskończenie cienkich pasków, które podążają za zawęźlonymi krzywymi przestrzennymi
• Atraktor Smale-Williamsa , fraktal utworzony przez wielokrotne pogrubienie krzywej przestrzennej do paska Möbiusa, a następnie zastąpienie go krawędzią graniczną
• Torus pępkowy , trójwymiarowy kształt z granicą utworzoną przez pasek Möbiusa, sklejony ze sobą wzdłuż jednej krawędzi

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Wstęga Möbiusa” . Matematyka Świat .