Elementy styczne i normalne - Tangential and normal components

Ilustracja składowych stycznych i normalnych wektora do powierzchni.

W matematyce , mając wektor w punkcie na krzywej , ten wektor może być rozłożony jednoznacznie jako suma dwóch wektorów, jednego stycznego do krzywej, zwanego styczną składową wektora, i drugiego prostopadłego do krzywej, zwanego normalny składnik wektora. Podobnie wektor w punkcie na powierzchni można podzielić w ten sam sposób.

Bardziej ogólnie, otrzymuje podrozmaitością N o kolektora M i wektor w przestrzeni stycznej do M w punkcie N , może być rozłożona do składnika stycznego do N i składnik normalne N .

Formalna definicja

Powierzchnia

Bardziej formalnie niech będzie powierzchnią i punktem na powierzchni. Niech będzie wektorem w Wtedy można pisać jednoznacznie jako sumę ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ równoległy} + \ mathbf {v} _ {\ sprawca}}$

gdzie pierwszy wektor sumy jest składową styczną, a drugi składową normalną. Wynika z tego natychmiast, że te dwa wektory są do siebie prostopadłe.

Aby obliczyć składowe styczne i normalne, rozważ jednostkę normalną do powierzchni, czyli wektor jednostkowy prostopadły do w Wtedy, ${\displaystyle {\kapelusz {n}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ sprawca} = (\ mathbf {v} \ cdot {\ kapelusz {n}}) {\ kapelusz {n}}}$

a zatem

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ równoległy} = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ sprawca}}$

gdzie " " oznacza iloczyn skalarny . Inny wzór na składową styczną to ${\displaystyle \cdot}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ równoległy} = - {\ kapelusz {n}} \ razy ({\ kapelusz {n}} \ razy \ mathbf {v}}),}$

gdzie " " oznacza iloczyn krzyżowy . ${\displaystyle \times}$

Zauważ, że te wzory nie zależą od konkretnej użytej normalnej jednostkowej (istnieją dwie normalne jednostkowe do dowolnej powierzchni w danym punkcie, skierowane w przeciwnych kierunkach, więc jedna z normalnych jednostkowych jest ujemna drugiej). ${\displaystyle {\kapelusz {n}}}$

Podrozmaitość

Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę podrozmaitością N z kolektora M i temperaturze , otrzymujemy krótki dokładnej sekwencji z udziałem przestrzenie styczne : ${\displaystyle p\w n}$

${\ Displaystyle T_ {p} N \ do T_ {p} M \ do T_ {p} M / T_ {p} N}$

Przestrzeń ilorazowa jest uogólnioną przestrzenią wektorów normalnych. ${\ Displaystyle T_ {p} M / T_ {p} N}$

Jeśli M jest rozmaitością Riemanna , powyższa sekwencja rozszczepia się , a przestrzeń styczna M w punkcie p rozkłada się jako suma prosta składowej stycznej do N i składowej normalnej do N :

${\ Displaystyle T_ {p} M = T_ {p} N \ oplus N_ {p} N: = (T_ {p} N) ^ {\ sprawca}}$

W ten sposób każdy wektor styczny dzieli się na , gdzie i . ${\ Displaystyle v \ w T_ {p} M}$${\ Displaystyle v = v_ {\ równoległy} + v_ {\ sprawca}}$${\ Displaystyle v_ {\ równoległy} \ w T_ {p} N}$${\ Displaystyle V_ {\ sprawca} \ w N_ {p} N: = (T_ {p} N) ^ {\ sprawca}}$

Obliczenia

Załóżmy, że N jest podane przez niezdegenerowane równania.

Jeśli N jest podane wprost, za pomocą równań parametrycznych (takich jak krzywa parametryczna ), to pochodna daje zbiór rozpinający dla wiązki stycznej (jest to podstawa wtedy i tylko wtedy, gdy parametryzacja jest immersją ).

Jeśli N jest podane niejawnie (jak w powyższym opisie powierzchni lub bardziej ogólnie jako hiperpowierzchnia ) jako zestaw poziomów lub przecięcie powierzchni poziomych dla , wtedy gradienty obejmują przestrzeń normalną. ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$

W obu przypadkach możemy ponownie obliczyć używając iloczynu skalarnego; produkt krzyżowy jest jednak specjalny do 3 wymiarów.

Aplikacje

• Mnożniki Lagrange'a : ograniczone punkty krytyczne to miejsca, w których zanika styczna składowa całkowitej pochodnej .
• Normalna powierzchnia

Bibliografia

• Rojansky, Włodzimierz (1979). Pola i fale elektromagnetyczne . Nowy Jork: Dover Publikacje. Numer ISBN 0-486-63834-0.

• Benjamin Crowell (2003) Światło i materia. ( wersja online ).