Kompleks łańcuchowy - Chain complex

W matematyce , A złożony łańcuch jest algebraiczna struktura , która składa się z szeregu grup abelian (lub modułu ) i sekwencja homomorfizmów pomiędzy kolejnymi grupami tak, że obraz każdego homomorfizmu jest zawarte w jądrze następnego. Z kompleksem łańcuchowym związana jest jego homologia , która opisuje, jak obrazy są zawarte w jądrach.

Kompleks cochain jest podobna do kompleksu łańcucha, chyba że homomorfizmy podążać inną konwencję. Homologia kompleksu koszainów nazywana jest jego kohomologią.

W topologii algebraicznej zespół łańcuchów osobliwych w przestrzeni topologicznej X jest konstruowany przy użyciu ciągłych map od simplex do X, a homomorfizmy kompleksu łańcuchowego pokazują, w jaki sposób te mapy ograniczają się do granicy simplex. Homologia tego kompleksu łańcuchowego nazywana jest homologią osobliwą X i jest powszechnie stosowaną niezmiennikiem przestrzeni topologicznej.

Kompleksy łańcuchowe są badane w algebrze homologicznej , ale są wykorzystywane w kilku obszarach matematyki, w tym w algebrze abstrakcyjnej , teorii Galois , geometrii różniczkowej i geometrii algebraicznej . Można je ogólnie zdefiniować w kategoriach abelowych .

Definicje

Kompleks łańcucha jest sekwencją grupa przemienna lub modułów ... ₀ , ₁ , ₂ , ₃ , ₄ ... połączone homomorfizmów (zwany operatorzy brzegowe lub różnicowe ) d _n : _n → _n₋₁ , tak że kompozycja dowolnych dwóch kolejnych map jest mapą zerową. Jawnie, różniczki spełniają d _n ∘ d _n₊₁ = 0 , lub przy wyłączonych indeksach d ² = 0 . Kompleks można zapisać w następujący sposób. ${\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d _ {\ bullet})}$

{\ displaystyle \ cdots {\ xleftarrow {d_ {0}}} A_ {0} {\ xleftarrow {d_ {1}}} A_ {1} {\ xleftarrow {d_ {2}}} A_ {2} {\ xleftarrow {d_ {3}}} A_ {3} {\ xleftarrow {d_ {4}}} A_ {4} {\ xleftarrow {d_ {5}}} \ cdots}

Kompleks cochain to podwójne pojęcie kompleksu łańcuchowego. Składa się z sekwencji abelowych grup lub modułów ..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ⁴ , ... połączonych homomorfizmami d ⁿ : A ⁿ → A ⁿ⁺¹ spełniające d ⁿ⁺¹ ∘ d ⁿ = 0 . Kompleks koszykowy można wypisać w podobny sposób jak kompleks łańcuchowy. ${\ Displaystyle (A ^ {\ punkt}, d ^ {\ punkt})}$

{\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {d ^ {- 1}}} A ^ {0} {\ xrightarrow {d ^ {0}}} A ^ {1} {\ xrightarrow {d ^ {1}}} A ^ {2} {\ xrightarrow {d ^ {2}}} A ^ {3} {\ xrightarrow {d ^ {3}}} A ^ {4} {\ xrightarrow {d ^ {4}}} \ cdots}

Indeks n w A _n lub A ⁿ jest określany jako stopień (lub wymiar ). Różnica między kompleksami łańcuchowymi i łańcuchowymi polega na tym, że w kompleksach łańcuchowych różnice zmniejszają wymiar, podczas gdy w kompleksach koszainowych zwiększają wymiar. Wszystkie pojęcia i definicje dotyczące kompleksów łańcuchowych mają zastosowanie do kompleksów łańcuchowych, z wyjątkiem tego, że będą one stosować się do tej innej konwencji wymiarów i często terminom będzie nadawany przedrostek co- . W tym artykule zostaną podane definicje kompleksów łańcuchowych, gdy rozróżnienie nie jest wymagane.

Ograniczonym złożony łańcuch jest taka, w której prawie wszystkie _n oznaczają 0; to znaczy skończony kompleks rozciągnięty w lewo i w prawo o 0. Przykładem jest kompleks łańcuchowy definiujący uproszczoną homologię skończonego kompleksu uproszczonego . Kompleks łańcuchowy jest ograniczony powyżej, jeśli wszystkie moduły powyżej pewnego stałego stopnia N mają wartość 0, i jest ograniczony poniżej, jeśli wszystkie moduły poniżej pewnego stałego stopnia mają wartość 0. Oczywiście kompleks jest ograniczony zarówno powyżej, jak i poniżej wtedy i tylko wtedy, gdy kompleks jest ograniczony.

Elementy poszczególnych grup kompleksu (co) łańcuchowego nazywane są (ko) łańcuchami . Elementy w jądrze d nazywane są (co) cyklami (lub elementami zamkniętymi ), a elementy na obrazie d nazywane są (co) granicami (lub dokładnymi elementami). Począwszy od definicji różnicy, wszystkie granice są cyklami. N -ty (ko) grupa homologii H _N ( H ⁿ ) to grupa (CO) cykli modulo (ko) granice w stopniu n , to znaczy

{\ Displaystyle H_ {n} = {\ Frac {\ ker d_ {n}} {{\ mbox {im}} d_ {n + 1}}} \ quad \ lewo (H ^ {n} = {\ Frac { \ ker d ^ {n}} {{\ mbox {im}} d ^ {n-1}}} \ right)}

Dokładne sekwencje

Dokładną sekwencję (lub dokładnie kompleks) jest złożony łańcuch, którego grupy homologii są zerowe. Oznacza to, że wszystkie zamknięte elementy kompleksu są dokładne. Krótki dokładna kolejność jest ograniczony dokładna kolejność, w której tylko grupy _K , _k₊₁ , _k_{+ 2} może być różna od zera. Na przykład następujący kompleks łańcuchowy jest krótką dokładną sekwencją.

{\ Displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {}} \; 0 \; {\ xrightarrow {}} \; \ mathbf {Z} \; {\ xrightarrow {\ razy p}} \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \; {\ xrightarrow {}} \; 0 \; {\ xrightarrow {}} \ cdots}

W środkowej grupie elementami zamkniętymi są elementy p Z ; są to oczywiście dokładne elementy w tej grupie.

Mapy łańcuchowe

Mapa łańcuchowa f między dwoma kompleksami łańcuchowymi i jest sekwencją homomorfizmów dla każdego n, która komutuje z operatorami brzegowymi na dwóch kompleksach łańcuchowych, więc . Jest to opisane na poniższym diagramie przemiennym . ${\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d_ {A, \ bullet})}$ ${\ displaystyle (B _ {\ bullet}, d_ {B, \ bullet})}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle f_ {n}: A_ {n} \ rightarrow B_ {n}}$ ${\ Displaystyle d_ {B, n} \ circ f_ {n} = f_ {n-1} \ circ d_ {A, n}}$

Mapa łańcuchowa wysyła cykle do cykli, a granice do granic, a tym samym indukuje mapę homologii . ${\ displaystyle (f _ {\ punktor}) _ {*}: H _ {\ punkt} (A _ {\ punkt}, d_ {A, \ punktor}) \ rightarrow H _ {\ punkt} (B _ {\ punkt}, d_ {B, \ bullet})}$

Ciągły mapę F pomiędzy pomieszczeniami topologiczne X i Y indukuje mapę łańcucha między pojedynczych zespołów łańcuchów X i Y , a więc wywołuje mapę f _* pomiędzy pojedynczej homologii X i Y , jak również. Kiedy X i Y są równe n- sferze , mapa indukowana na podstawie homologii określa stopień mapy f .

Koncepcja mapy łańcuchowej sprowadza się do koncepcji granicy poprzez konstrukcję stożka mapy łańcuchowej.

Homotopia łańcucha

Homotopia łańcuchowa oferuje sposób powiązania dwóch map łańcuchowych, które indukują tę samą mapę w grupach homologii, nawet jeśli mapy mogą być różne. Biorąc pod uwagę dwa kompleksy łańcuchowe A i B oraz dwie mapy łańcuchowe f , g : A → B , homotopia łańcucha to ciąg homomorfizmów h _n : A _n → B _{n +1} taki, że hd _A + d _B h = f - g . Mapy mogą być zapisane na diagramie w następujący sposób, ale ten diagram nie jest przemienny.

Mapę hd _A + d _B h można łatwo zweryfikować w celu wywołania mapy zerowej homologii dla dowolnego h . Wynika z tego natychmiast, że f i g indukują tę samą mapę homologii. Mówi się, że f i g są łańcuchami homotopicznymi (lub po prostu homotopicznymi ), a ta własność definiuje relację równoważności między mapami łańcuchów.

Niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi. W przypadku homologii osobliwej, homotopia między ciągłymi mapami f , g : X → Y indukuje łańcuchową homotopię między mapami łańcuchów odpowiadającymi f i g . To pokazuje, że dwie mapy homotopiczne indukują tę samą mapę na pojedynczej homologii. Nazwa „łańcuch homotopii” jest motywowana tym przykładem.

Przykłady

Pojedyncza homologia

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Zdefiniuj C _n ( X ), aby naturalne n było wolną grupą abelową, formalnie wygenerowaną przez pojedyncze n-uproszczenia w X , i zdefiniuj mapę granic jako ${\ Displaystyle \ częściowe _ {n}: C_ {n} (X) \ do C_ {n-1} (X)}$

{\ Displaystyle \ częściowe _ {n}: \, (\ sigma: [v_ {0}, \ ldots, v_ {n}] \ do X) \ mapsto \ suma _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} (\ sigma: [v_ {0}, \ ldots, {\ hat {v}} _ {i}, \ ldots, v_ {n}] \ do X)}

gdzie kapelusz oznacza pominięcie wierzchołka . Oznacza to, że granica pojedynczej simplex jest naprzemienną sumą ograniczeń na jej powierzchniach. Można wykazać, że ∂ ² = 0, więc jest to zespół łańcuchowy; pojedynczej homologii jest homologiczna tego kompleksu. ${\ displaystyle (C _ {\ bullet}, \ częściowe _ {\ bullet})}$ ${\ displaystyle H _ {\ bullet} (X)}$

Osobliwa homologia jest użyteczną niezmiennikiem przestrzeni topologicznych aż do równoważności homotopii . Grupa homologii stopień zero wolna grupa przemienna na ścieżkę elementów składowych o X .

de Rham cohomology

Różnica k -forms na każdej gładkiej kolektora M tworzą rzeczywistym przestrzeń wektorową o nazwie Ω ^k ( M ) z dodatkiem. Zewnątrz pochodną d odwzorowuje omów ^k ( M ) do omów ^{k + 1} ( M ), a D ² = 0 następuje zasadniczo z symetrią drugiej pochodnej , a więc miejsca wektora k -forms wraz z zewnętrzną pochodnej są cochain złożone.

{\ Displaystyle \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ do}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ do \ Omega ^ {2} (M) \ do \ Omega ^ {3} (M) \ do \ cdots}

Kohomologii tego kompleksu jest nazywany Kompleks de Rhama z X . Grupa homologii zera wymiar jest izomorficzny przestrzeni wektorowej lokalnie stałych funkcji od M do R . Tak więc, na zwartej rozdzielacza, to jest przestrzeń rzeczywista wektorów, których wymiar stanowi liczbę połączonych elementów M .

Gładkie mapy między rozmaitościami wywołują mapy łańcuchowe, a gładkie homotopie między mapami indukują homotopie łańcuchowe.

Kategoria kompleksów łańcuchowych

Kompleksy łańcuchowe modułów K z mapami łańcuchowymi tworzą kategorię Ch _K , gdzie K jest pierścieniem przemiennym.

Jeśli V = V i W = W są kompleksami łańcuchowymi, ich iloczynem tensorowym jest kompleks łańcuchowy o stopniu n elementów podanym wzorem ${\ displaystyle {} _ {*}}$ ${\ displaystyle {} _ {*}}$ ${\ displaystyle V \ otimes W}$

{\ Displaystyle (V \ otimes W) _ {n} = \ bigoplus _ {\ {i, j | i + j = n \}} V_ {i} \ otimes W_ {j}}

i różnica podana przez

{\ Displaystyle \ częściowe (a \ otimes b) = \ częściowe a \ otimes b + (- 1) ^ {\ lewo | a \ prawo |} a \ otimes \ częściowe b}

gdzie a i b są dowolnymi dwoma jednorodnymi wektorami odpowiednio w V i W i oznacza stopień a . ${\ Displaystyle \ lewo | a \ prawo |}$

Ten produkt tensorowy sprawia, że kategoria Ch _K jest symetryczną kategorią monoidalną . Przedmiotem tożsamości w odniesieniu do tego monoidalnego produktu jest pierścień bazowy K postrzegany jako kompleks łańcuchowy w stopniu 0. Oplot jest podawany na prostych tensorach jednorodnych elementów przez

{\ Displaystyle a \ otimes b \ mapsto (-1) ^ {\ lewo | a \ prawo | \ lewo | b \ prawo |} b \ otimes a}

Znak jest niezbędny, aby oplot był mapą łańcuchową.

Ponadto kategoria kompleksów łańcuchowych modułów K ma również wewnętrzny Hom : dane kompleksy łańcuchowe V i W , wewnętrzny Hom V i W , oznaczony jako Hom ( V , W ), jest kompleksem łańcuchowym o stopniu n elementów danym przez i różnica podana przez ${\ displaystyle \ Pi _ {i} {\ text {Hom}} _ {K} (V_ {i}, W_ {i + n})}$