Wykresy na SO (3) - Charts on SO(3)

W matematyce The specjalną grupę ortogonalne w trzech wymiarach, inaczej znany jako SO grupy obracanie (3) jest naturalnie występującym przykładem kolektora . Różne wykresy w SO(3) tworzą rywalizujące układy współrzędnych : w tym przypadku nie można powiedzieć, że istnieje preferowany zestaw parametrów opisujących obrót. Istnieją trzy stopnie swobody , więc wymiar SO(3) wynosi trzy. W wielu zastosowaniach używany jest jeden lub inny układ współrzędnych i pojawia się pytanie, jak dokonać konwersji z jednego układu na inny.

Przestrzeń obrotów

W geometrii grupa obrót jest grupa wszystkich obrotów o pochodzeniu trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R ^3, w ramach działania kompozycji . Z definicji, obrót o pochodzeniu jest przekształcenie liniowe , który zachowuje długość od wektorów (to jest isometry ) i zachowuje orientację (tj skrętów ) przestrzeni. Transformacja zachowująca długość, która odwraca orientację, nazywana jest nieprawidłowym obrotem . Każdy niewłaściwy obrót trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej to obrót, po którym następuje odbicie w płaszczyźnie przechodzącej przez początek.

Utworzenie dwóch obrotów powoduje kolejny obrót; każdy obrót ma unikalny obrót odwrotny; a mapa tożsamości spełnia definicję rotacji. Ze względu na powyższe właściwości, zestaw wszystkich obrotów jest grupa poniżej kompozycji. Ponadto grupa rotacyjna ma naturalną, wieloraką strukturę, dla której działania grupy są płynne ; więc w rzeczywistości jest to grupa Lie . Grupa rotacyjna jest często oznaczana SO(3) z powodów wyjaśnionych poniżej .

Przestrzeń rotacji jest izomorficzna ze zbiorem operatorów rotacji i zbiorem macierzy ortonormalnych z wyznacznikiem +1. Jest również ściśle związany ( podwójnie pokryty ) ze zbiorem kwaternionów z ich iloczynem wewnętrznym, a także ze zbiorem wektorów rotacji (choć tutaj zależność jest trudniejsza do opisania, patrz niżej), z inną operacją składania wewnętrznego dane przez iloczyn ich macierzy równoważnych.

Notacja wektorów rotacji wywodzi się z twierdzenia Eulera o rotacji, które stwierdza, że ​​każdy obrót w trzech wymiarach można opisać przez obrót o pewien kąt wokół jakiejś osi. Biorąc to pod uwagę, możemy następnie określić oś jednego z tych obrotów za pomocą dwóch kątów i możemy użyć promienia wektora do określenia kąta obrotu . Te wektory przedstawiają kulę w 3D o nietypowej topologii.

Ta bryła 3D jest odpowiednikiem powierzchni sfery 4D, która również jest odmianą 3D. Aby wykonać tę równoważność, będziemy musieli zdefiniować, w jaki sposób będziemy reprezentować obrót za pomocą tej osadzonej w 4D powierzchni.

Hipersfera rotacji

Dwa obroty pod różnymi kątami i różnymi osiami w przestrzeni obrotów. Długość wektora jest związana z wielkością obrotu.

Wizualizacja hipersfery

Interesujące jest rozważenie przestrzeni jako trójwymiarowej sfery S ³ , granicy dysku w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Aby to zrobić, będziemy musieli zdefiniować, jak reprezentujemy obrót za pomocą tej osadzonej w 4D powierzchni.

Sposób, w jaki promień może być użyty do określenia kąta obrotu, nie jest prosty. Można go odnieść do okręgów szerokości geograficznej w kuli z określonym biegunem północnym i jest wyjaśnione w następujący sposób:

Rozpoczynając od bieguna północnego kuli w przestrzeni trójwymiarowej, określamy punkt na biegunie północnym, który ma reprezentować rotację tożsamości. W przypadku obrotu tożsamościowego nie jest określona oś obrotu, a kąt obrotu (zero) nie ma znaczenia. Obrót z jego osią zawartą w płaszczyźnie xy i bardzo małym kątem obrotu można określić za pomocą przekroju kuli równoległej do płaszczyzny xy i bardzo blisko bieguna północnego. Okrąg zdefiniowany przez ten wycinek będzie bardzo mały, odpowiadający małemu kątowi obrotu. Gdy kąty obrotu stają się większe, plasterek przesuwa się na południe, a koła powiększają się, aż do osiągnięcia równika kuli, co odpowiada kątowi obrotu 180 stopni. Kontynuując w kierunku południowym, promienie okręgów stają się teraz mniejsze (co odpowiada bezwzględnej wartości kąta obrotu traktowanego jako liczba ujemna). Wreszcie, gdy dotrzemy do bieguna południowego, okręgi ponownie się kurczą do rotacji tożsamości, która jest również określana jako punkt na biegunie południowym. Zauważ, że na tej wizualizacji można zobaczyć szereg cech charakterystycznych takich rotacji i ich reprezentacji.

Przestrzeń obrotów jest ciągła, każdy obrót ma sąsiedztwo obrotów, które są prawie takie same, a sąsiedztwo to staje się płaskie w miarę kurczenia się sąsiedztwa.

Skróty

Hipersfera obrotów dla obrotów, które mają oś „poziomą” (w płaszczyźnie xy ).

Ponadto każdy obrót jest w rzeczywistości reprezentowany przez dwa antypodalne punkty na kuli, które znajdują się na przeciwnych końcach linii przechodzącej przez środek kuli. Odzwierciedla to fakt, że każdy obrót można przedstawić jako obrót wokół jakiejś osi lub, równoważnie, jako obrót ujemny wokół osi skierowanej w przeciwnym kierunku (tzw. Podwójna pokrywa ). „Szerokość geograficzna” okręgu reprezentującego określony kąt obrotu będzie równa połowie kąta reprezentowanego przez ten obrót, ponieważ gdy punkt jest przesuwany z bieguna północnego na południowy, szerokość geograficzna waha się od zera do 180 stopni, podczas gdy kąt obrotu waha się od 0 do 360 stopni . ("długość" punktu reprezentuje wtedy konkretną oś obrotu.) Zauważ jednak, że ten zestaw obrotów nie jest zamknięty w kompozycji.

Dwa kolejne obroty z osiami w płaszczyźnie xy niekoniecznie dadzą obrót, którego oś leży w płaszczyźnie xy , a zatem nie mogą być reprezentowane jako punkt na kuli. Nie będzie to miało miejsca w przypadku ogólnej rotacji w 3-przestrzeni, które tworzą zamknięty zbiór pod kompozycją.

Ta wizualizacja może zostać rozszerzona do ogólnego obrotu w trójwymiarowej przestrzeni. Obrót tożsamości jest punktem, a mały kąt obrotu wokół jakiejś osi może być reprezentowany jako punkt na kuli o małym promieniu. Wraz ze wzrostem kąta obrotu kula rośnie, aż kąt obrotu osiągnie 180 stopni, w którym to momencie kula zaczyna się kurczyć, stając się punktem, gdy kąt zbliża się do 360 stopni (lub zero stopni od kierunku ujemnego). Ten zestaw rozszerzających się i kurczących się sfer reprezentuje hipersferę w czterowymiarowej przestrzeni (3-kula).

Tak jak w prostszym przykładzie powyżej, każdemu obrotowi reprezentowanemu jako punkt na hipersferze odpowiada jego antypodalny punkt na tej hipersferze. „Szerokość geograficzna” hipersfery będzie równa połowie odpowiedniego kąta obrotu, a sąsiedztwo dowolnego punktu stanie się „bardziej płaskie” (tj. Będzie reprezentowane przez trójwymiarową euklidesową przestrzeń punktów), gdy sąsiedztwo się kurczy.

To zachowanie jest dopasowane przez zestaw jednostek kwaternionów: ogólny kwaternion reprezentuje punkt w przestrzeni czterowymiarowej, ale ograniczenie go do wielkości jednostkowej daje trójwymiarową przestrzeń równoważną powierzchni hipersfery. Wielkość kwaternionu jednostkowego będzie jednością, odpowiadającą hipersferze o promieniu jednostkowym.

Część wektorowa jednostki kwaternionu reprezentuje promień 2-sfery odpowiadający osi obrotu, a jej wielkość jest sinusem połowy kąta obrotu. Każdy obrót jest reprezentowany przez dwie jednostki kwaternionów o przeciwnych znakach i, podobnie jak w przestrzeni rotacji w trzech wymiarach, iloczyn kwaternionów dwóch jednostek kwaternionów da jednostkowy kwaternion. Również przestrzeń kwaternionów jednostkowych jest „płaska” w każdym nieskończenie małym sąsiedztwie danego kwaternionów jednostkowych.

Parametryzacja

Możemy sparametryzować przestrzeń rotacji na kilka sposobów, ale degeneracje zawsze będą się pojawiać. Na przykład, jeśli użyjemy trzech kątów (kąty Eulera ), taka parametryzacja jest zdegenerowana w niektórych punktach hipersfery, co prowadzi do problemu blokady gimbala . Możemy tego uniknąć, używając czterech współrzędnych euklidesowych w , x , y , z , gdzie w ² + x ² + y ² + z ² = 1. Punkt ( w , x , y , z ) reprezentuje obrót wokół osi skierowanej przez wektor ( x , y , z ) pod kątem

${\ Displaystyle \ alfa = 2 \ cos ^ {- 1} (w) = 2 \ sin ^ {- 1} \ lewo ({\ sqrt {1- (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^) {2})}} \ right).}$

Ten problem jest podobny do parametryzacji dwuwymiarowej powierzchni kuli za pomocą dwóch współrzędnych, takich jak szerokość i długość geograficzna. Szerokość i długość geograficzna są źle zachowane ( zdegenerowane ) na biegunach północnym i południowym, chociaż bieguny nie różnią się wewnętrznie od innych punktów na kuli. Na biegunach (szerokości geograficzne +90° i -90°) długość geograficzna staje się bez znaczenia. Można wykazać, że żaden dwuparametrowy układ współrzędnych nie może uniknąć takiej degeneracji.

Wśród możliwych kandydatów do parametryzacji są:

• Kąty Eulera (θ, φ, ψ), reprezentujące iloczyn obrotów wokół osi x , y i z ;
• Kąty Taita – Bryana (θ, φ, ψ), reprezentujące iloczyn obrotów wokół osi x , y i z ;
• Para kątów osi ( n , θ) wektora jednostkowego reprezentującego oś i kąt obrotu wokół niej;
• Kwaternion Q o długości 1 (por Versor , quaternions obrotowo i przestrzennych , 3-sfery ), składniki, które nazywane są również parametry Euler Rodrigues ;
• macierz skośno-symetryczna 3 × 3 , poprzez potęgowanie; macierze skośno-symetryczne 3 × 3 to algebra Liego SO (3), a to jest mapa wykładnicza w teorii Liego ;
• Wymierne parametry Cayleya, oparte na transformacji Cayleya , nadające się do wykorzystania we wszystkich cechach;
• Transformacje Möbiusa , działające na sferze Riemanna .${\ Displaystyle w = {\ Frac {az + b} {cz + d}}}$

Problemy parametryzacji

Istnieją problemy z używaniem ich jako czegoś więcej niż tylko lokalnych wykresów, związanych z ich wielowartościową naturą i osobliwościami. Oznacza to, że należy przede wszystkim uważać, aby w definicji wykresu pracować tylko z dyfeomorfizmami . Tego rodzaju problemy są nieuniknione, ponieważ SO (3) jest diffeomorficzna z rzeczywistą przestrzenią rzutową P ³ ( R ), która jest ilorazem S ³ przez identyfikację punktów antypodalnych, a wykresy próbują modelować rozmaitość za pomocą R ³ .

To wyjaśnia, dlaczego, na przykład, kąty Eulera wydają się dawać zmienną w 3- torusie , a kwaterniony jednostkowe w 3-sferze . Unikalność reprezentacji kątów Eulera załamuje się w niektórych punktach (por. blokada gimbala ), podczas gdy reprezentacja kwaternionów jest zawsze podwójną osłoną , przy czym q i − q dają ten sam obrót.

Jeśli użyjemy macierzy skośno-symetrycznej, każda macierz skośno-symetryczna 3 × 3 jest określona przez 3 parametry, więc na pierwszy rzut oka przestrzeń parametrów wynosi R ³ . Potęgowanie takiej macierzy daje w wyniku ortogonalną macierz 3 × 3 wyznacznika 1 - innymi słowy, macierz rotacji, ale jest to mapa wiele do jednego. Zauważ, że nie jest to mapa pokrywająca - chociaż jest to lokalny homeomorfizm w pobliżu początku, nie jest mapą pokrywającą przy obrotach o 180 stopni. Możliwe jest ograniczenie tych macierzy do kuli wokół początku w R ³ tak, aby obroty nie przekraczały 180 stopni, a to będzie jeden do jednego, z wyjątkiem obrotów o 180 stopni, które odpowiadają granicy S ² , a te identyfikują punkty antypodów – to jest miejsce cięcia . Piłka 3 z tym oznaczeniem granicy to P ³ ( R ). Podobna sytuacja dotyczy zastosowania transformacji Cayleya do macierzy skośno-symetrycznej.

Kąt osi daje parametry w S ² × S ¹ ; jeśli zastąpimy wektor jednostkowy rzeczywistą osią obrotu, tak że n i - n dadzą tę samą linię osi, zbiór osi stanie się P ² ( R ), czyli rzeczywistą płaszczyzną rzutową . Ale ponieważ obroty wokół ni - n są sparametryzowane przez przeciwne wartości θ, wynikiem jest wiązka S ¹ nad P ² ( R ), która okazuje się być P ³ ( R ).

Ułamkowe transformacje liniowe wykorzystują cztery parametry złożone, a , b , c i d , pod warunkiem, że ad − bc jest niezerowe. Ponieważ pomnożenie wszystkich czterech parametrów przez tę samą liczbę zespoloną nie zmienia parametru, możemy nalegać, aby ad - bc = 1. Sugeruje to zapisanie ( a , b , c , d ) jako złożonej macierzy 2×2 wyznacznika 1, czyli jako elementu specjalnej grupy liniowej SL(2, C ). Ale nie wszystkie takie macierze powodują rotacje: uwzględnione są również mapy konformalne na S ² . Aby uzyskać tylko rotacje, twierdzimy, że d jest sprzężeniem zespolonym a , a c jest liczbą ujemną sprzężenia zespolonego b . Następnie mamy dwie liczby zespolone a i b , z zastrzeżeniem | | ² + | b | ² = 1. Jeśli napiszemy a + bj , jest to kwaternion długości jednostki.

Ostatecznie, ponieważ R ³ nie jest P ³ ( R ), będzie problem z każdym z tych podejść. W niektórych przypadkach musimy pamiętać, że pewne wartości parametrów powodują ten sam obrót i aby usunąć ten problem, należy ustawić granice, ale wtedy ścieżka przez ten region w R ³ musi nagle przeskoczyć do innego regionu, gdy przekracza granicę. Blokada gimbala jest problemem, gdy pochodna mapy nie ma pełnej rangi, co występuje w przypadku kątów Eulera i kątów Taita – Bryana, ale nie w przypadku innych opcji. Reprezentacja kwaternionu nie ma żadnego z tych problemów (wszędzie jest mapowanie dwa do jednego), ale ma 4 parametry z warunkiem (długość jednostki), co czasami utrudnia dostrzeżenie trzech dostępnych stopni swobody.

Aplikacje

Jednym z obszarów, w których te rozważania, w jakiejś formie, stają się nieuniknione, jest kinematyka o bryły sztywnej . Można przyjąć za definicję ideę krzywej w grupie euklidesowej E (3) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , zaczynając od tożsamości (pozycji początkowej). Translacja podgrupa T z E (3) jest podgrupa normalna z ilorazu SO (3), jeśli patrzymy na podgrupy E ⁺ (3) z bezpośrednich izometrycznych tylko (co jest uzasadnione w kinematyki). Część translacyjną można oddzielić od części obrotowej w standardowej kinematyce Newtona, biorąc pod uwagę ruch środka masy i obroty ciała sztywnego wokół środka masy. Dlatego każdy ruch ciała sztywnego prowadzi bezpośrednio do SO (3), gdy uwzględnimy część translacyjną.

Te identyfikacje pokazują, że SO (3) jest połączony, ale nie jest po prostu podłączony . Jeśli chodzi o to drugie, w kuli ze zidentyfikowanymi antypodalnymi punktami powierzchni, rozważ ścieżkę biegnącą od „bieguna północnego” prosto przez środek w dół do bieguna południowego. Jest to zamknięta pętla, ponieważ zidentyfikowano biegun północny i biegun południowy. Ta pętla nie może zostać skurczona do punktu, ponieważ bez względu na to, jak zdeformujesz pętlę, punkt początkowy i końcowy muszą pozostać antypodalne, w przeciwnym razie pętla "pęknie". Pod względem obrotów pętla ta reprezentuje ciągłą sekwencję obrotów wokół osi z, rozpoczynającą się i kończącą w rotacji identycznej (tj. serię obrotów o kąt φ, gdzie φ biegnie od 0 do 2π).

Co zaskakujące, jeśli dwukrotnie przebiegniesz ścieżkę, tj. Od bieguna północnego do bieguna południowego iz powrotem do bieguna północnego, tak że φ biegnie od 0 do 4π, otrzymasz zamkniętą pętlę, którą można skurczyć do jednego punktu: pierwszy ruch ścieżki w sposób ciągły do ​​powierzchni kuli, wciąż łącząc biegun północny z biegunem południowym dwa razy. Drugą połowę ścieżki można następnie wykonać lustrzanym odbiciem na stronę antypodalną bez żadnej zmiany ścieżki. Teraz mamy zwykłą zamkniętą pętlę na powierzchni kuli, łączącą biegun północny ze sobą wzdłuż wielkiego koła. Krąg ten można bez problemu skurczyć do bieguna północnego. Balijski trik płyta i podobne sztuczki wykazać to praktycznie.

Ten sam argument można ogólnie sformułować i pokazuje, że podstawową grupą SO (3) jest cykliczna grupa rzędu 2. W zastosowaniach fizycznych nietrywialność grupy podstawowej pozwala na istnienie obiektów zwanych spinorami , i jest ważnym narzędziem w rozwoju twierdzenia spinostatyki .

Uniwersalne pokrycie SO (3) jest grupa Lie zwany wirowania (3) . Grupa Spin (3) jest izomorficzna ze specjalną jednostkową grupą SU (2); jest również diffeomorficzna z jednostką 3-sfery S ³ i może być rozumiana jako grupa jednostkowych kwaternionów (tj. tych o wartości bezwzględnej 1). Związek między kwaternionymi i rotacjami, powszechnie wykorzystywanymi w grafice komputerowej , wyjaśniony jest w kwaternionach i rotacjach przestrzennych . Mapa z S ³ na SO (3), która identyfikuje antypodalne punkty S ^3, jest suriektywnym homomorfizmem grup Liego z jądrem {± 1}. Pod względem topologicznym ta mapa jest mapą pokrywającą dwa do jednego .

Zobacz też

• Atlas (topologia)
• Obrót (matematyka)
• Formalizmy rotacyjne w trzech wymiarach

Bibliografia