Kąty Eulera - Euler angles

Klasyczna definicja geometryczna kątów Eulera. System xyz (stały) jest pokazany na niebiesko, system XYZ (obrócony) jest pokazany na czerwono. Linia węzłów ( N ) jest przedstawiony na zielono

W kątów Eulera trzy kąty wprowadzone Leonhard Eulera do opisania orientacji o sztywnym korpusie , w odniesieniu do stałej układu współrzędnych .

Mogą również reprezentować orientację ruchomego układu odniesienia w fizyce lub orientację bazy ogólnej w trójwymiarowej algebrze liniowej. Alternatywne formy zostały później wprowadzone przez Petera Guthrie Taita i George'a H. Bryana, przeznaczone do użytku w lotnictwie i inżynierii.

Równoważność rotacji łańcuchowych

Dowolna orientacja docelowa może być osiągnięta, zaczynając od znanej orientacji referencyjnej, przy użyciu określonej sekwencji wewnętrznych obrotów, których wielkości są kątami Eulera orientacji docelowej. W tym przykładzie użyto sekwencji zx′-z″ .

Kąty Eulera mogą być definiowane przez geometrię elementarną lub przez kompozycję rotacji. Definicja geometryczna pokazuje, że trzy złożone rotacje elementarne (obroty wokół osi układu współrzędnych ) są zawsze wystarczające do osiągnięcia dowolnej ramki docelowej.

Trzy podstawowe obroty mogą być zewnętrzne (obroty wokół osi xyz pierwotnego układu współrzędnych, który z założenia pozostaje nieruchomy) lub wewnętrzne (obroty wokół osi obracającego się układu współrzędnych XYZ , solidarne z poruszającym się ciałem, które zmienia jego orientacja po każdej rotacji żywiołów).

Kąty Eulera są zwykle oznaczane jako α , β , γ lub ψ , θ , φ . Różni autorzy mogą używać różnych zestawów osi obrotu do definiowania kątów Eulera lub różnych nazw dla tych samych kątów. Dlatego wszelka dyskusja z wykorzystaniem kątów Eulera powinna być zawsze poprzedzona ich definicją.

Nie biorąc pod uwagę możliwości zastosowania dwóch różnych konwencji definiowania osi obrotu (wewnętrznej lub zewnętrznej), istnieje dwanaście możliwych sekwencji osi obrotu, podzielonych na dwie grupy:

  • Właściwe kąty Eulera ( z - x - z , x - y - x , y - z - y , z - y - z , x - z - x , y - x - y )
  • Kąty Taita-Bryana ( x - y - z , y - z - x , z - x - y , x - z - y , z - y - x , y - x - z ) .

Kąty Taita-Bryana są również nazywane kątami Cardana ; kąty morskie ; kurs , wzniesienie i brzeg ; lub zbaczać, pochylać i przechylać . Czasami oba rodzaje sekwencji nazywane są „kątami Eulera”. W takim przypadku ciągi z pierwszej grupy nazywamy właściwymi lub klasycznymi kątami Eulera.

Właściwe kąty Eulera

Lewy: kardanowe zestaw, pokazując oo - x - Z sekwencję rotacji. Ramka zewnętrzna pokazana w podstawie. Osie wewnętrzne w kolorze czerwonym. Po prawej: Prosty diagram przedstawiający podobne kąty Eulera na diagramie.

Definicja geometryczna

Osie oryginalnej ramki są oznaczone jako x , y , z , a osie obróconej ramki jako X , Y , Z . Geometryczny definicja (czasami zwane statyczne) rozpoczyna się od zdefiniowania linii węzłów (N), a na przecięciu płaszczyzny xy i XY (może być również określona jako wspólny prostopadłej do osi Z, i Z, a następnie są zapisywane jako iloczyn wektorowy N = z Z ). Używając go, trzy kąty Eulera można zdefiniować w następujący sposób:

  • (lub ) jest znakiem kąta między osią x a osią N ( x -konwencja – mógłby być również zdefiniowany między y i N , zwany y -konwencją).
  • (lub ) to kąt między osią z a osią Z.
  • (lub ) to kąt ze znakiem między osią N a osią X ( konwencja x ).

Kąty Eulera pomiędzy dwoma ramkami odniesienia są definiowane tylko wtedy, gdy obie ramki mają tę samą handedness .

Konwencje według wewnętrznych rotacji

Obroty wewnętrzne to obroty elementarne, które występują wokół osi układu współrzędnych XYZ dołączonych do poruszającego się ciała. Dlatego zmieniają swoją orientację po każdej rotacji żywiołów. System XYZ obraca się, podczas gdy xyz jest stały. Zaczynając od XYZ nakładającego się na xyz , kompozycja trzech wewnętrznych rotacji może być użyta do osiągnięcia dowolnej orientacji docelowej dla XYZ .

Kąty Eulera można określić za pomocą wewnętrznych obrotów. Można sobie wyobrazić, że obrócona rama XYZ jest początkowo wyrównana z xyz , przed poddaniem się trzem obrotom elementarnym reprezentowanym przez kąty Eulera. Jej kolejne orientacje można określić następująco:

  • x - y - z lub x 0 - y 0 - z 0 (początkowe)
  • x ′- y ′- z ′ lub x 1 - y 1 - z 1 (po pierwszym obrocie)
  • x ″- y ″- z ″ lub x 2 - y 2 - z 2 (po drugim obrocie)
  • X - Y - Z lub x 3 - y 3 - z 3 (końcowe)

Dla powyższej sekwencji obrotów linię węzłów N można po prostu zdefiniować jako orientację X po pierwszym obrocie elementarnym. Stąd N może być po prostu oznaczone jako x ′. Co więcej, ponieważ trzecia rotacja elementarna występuje wokół Z , nie zmienia orientacji Z . Stąd Z pokrywa się z z ″. To pozwala nam uprościć definicję kątów Eulera w następujący sposób:

  • α (lub ) reprezentuje obrót wokół osi z ,
  • β (lub ) reprezentuje obrót wokół osi x ′,
  • γ (lub ) reprezentuje obrót wokół osi z ″.

Konwencje przez rotacje zewnętrzne

Obroty zewnętrzne to obroty elementarne, które występują wokół osi stałego układu współrzędnych xyz . System XYZ obraca się, podczas gdy xyz jest stały. Zaczynając od XYZ nakładającego się na xyz , kompozycja trzech zewnętrznych obrotów może być użyta do osiągnięcia dowolnej orientacji docelowej dla XYZ . Kąty Eulera lub Taita-Bryana ( α , β , γ ) to amplitudy tych rotacji elementarnych. Na przykład orientację docelową można osiągnąć w następujący sposób (zwróć uwagę na odwrotną kolejność stosowania kąta Eulera):

  • System XYZ obraca się wokół osi z o γ . X oś znajduje się pod kątem y względem x osi.
  • Układ XYZ obraca się ponownie, ale tym razem wokół osi x o β . Z oś jest pod kątem p względem oo osi.
  • System XYZ obraca się po raz trzeci, ponownie wokół osi z , o kąt α .

Podsumowując, trzy żywiołowe rotacje zachodzą wokół z , x i z . Rzeczywiście, ta sekwencja jest często oznaczana z - x - z (lub 3-1-3). Zestawy osi obrotu skojarzonych zarówno z właściwymi kątami Eulera, jak i kątami Taita-Bryana są powszechnie nazywane przy użyciu tej notacji (szczegóły patrz powyżej).

Znaki, zakresy i konwencje

Kąty są powszechnie definiowane zgodnie z regułą prawej ręki . Mianowicie, mają one wartości dodatnie, gdy przedstawiają obrót, który pojawia się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, patrząc w dodatnim kierunku osi, oraz wartości ujemne, gdy obrót występuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Odwrotna konwencja (reguła lewej ręki) jest rzadziej przyjmowana.

O zakresach (za pomocą notacji interwałowej ):

  • dla α i γ , zakres jest określony modulo 2 π radiany . Na przykład prawidłowym zakresem może być [− π ,  π ] .
  • dla β zakres obejmuje radiany π (ale nie można powiedzieć, że jest to modulo  π ). Na przykład może to być [0,  π ] lub [− π /2,  π /2] .

Kąty α , β i γ są jednoznacznie określone z wyjątkiem pojedynczego przypadku, gdy płaszczyzny xy i XY są identyczne, tj. gdy oś z i oś Z mają te same lub przeciwne kierunki. Rzeczywiście, jeśli oś z i oś Z są takie same, β  = 0 i tylko ( α  +  γ ) jest jednoznacznie zdefiniowane (nie poszczególne wartości) i podobnie, jeśli oś z i oś Z są przeciwne, β  =  π i tylko ( α  −  γ ) jest jednoznacznie zdefiniowane (nie poszczególne wartości). Te niejasności są znane w aplikacjach jako blokada gimbala .

Istnieje sześć możliwości doboru osi obrotu dla odpowiednich kątów Eulera. We wszystkich pierwsza i trzecia oś obrotu są takie same. Sześć możliwych sekwencji to:

  1. z 1 - x ′- z 2 ″ (obroty wewnętrzne) lub z 2 - x - z 1 (obroty zewnętrzne)
  2. x 1 - y ′- x 2 ″ (wewnętrzne obroty) lub x 2 - y - x 1 (zewnętrzne obroty)
  3. y 1 - z ′- y 2 ″ (obroty wewnętrzne) lub y 2 - z - y 1 (obroty zewnętrzne)
  4. z 1 - y ′- z 2 ″ (obroty wewnętrzne) lub z 2 - y - z 1 (obroty zewnętrzne)
  5. x 1 - z ′- x 2 ″ (wewnętrzne obroty) lub x 2 - z - x 1 (zewnętrzne obroty)
  6. y 1 - x ′- y 2 ″ (wewnętrzne obroty) lub y 2 - x - y 1 (zewnętrzne obroty)

Precesja, nutacja i rotacja wewnętrzna

Podstawowe ruchy Eulera Ziemi. Wewnętrzny (zielony), Precesja (niebieski) i Nutacja (czerwony)

Precesja , nutacja i rotacja wewnętrzna (spin) są definiowane jako ruchy uzyskane przez zmianę jednego z kątów Eulera, pozostawiając pozostałe dwa stałe. Ruchy te nie są wyrażane w kategoriach zewnętrznej ramy lub w kategoriach współruchu obróconej ramy ciała, ale jako mieszanina. Stanowią mieszany układ osi obrotu , gdzie pierwszy kąt przesuwa linię węzłów wokół osi zewnętrznej z , drugi obraca się wokół linii węzłów N a trzeci jest obrotem wewnętrznym wokół osi Z , osi unieruchomionej w korpusie to się porusza.

Definicja statyczna sugeruje, że:

  • α (precesja) reprezentuje obrót wokół osi z ,
  • β (nutacja) reprezentuje obrót wokół osi N lub x′,
  • γ (wewnętrzny obrót) reprezentuje obrót wokół osi Z lub z″.

Jeśli β wynosi zero, nie ma rotacji wokół N . W konsekwencji Z pokrywa się z z , α i γ reprezentują obroty wokół tej samej osi ( z ), a ostateczną orientację można uzyskać przy pojedynczym obrocie wokół z , o kąt równy α + γ .

Jako przykład rozważ top . Wierzchołek obraca się wokół własnej osi symetrii; odpowiada to jego wewnętrznej rotacji. Obraca się również wokół swojej osi obrotu, a jej środek masy krąży wokół osi obrotu; ta rotacja jest precesją. Wreszcie góra może się chybotać w górę iw dół; kąt nachylenia to kąt nutacji. Ten sam przykład można zobaczyć z ruchami ziemi.

Chociaż wszystkie trzy ruchy mogą być reprezentowane przez operator obrotu ze stałymi współczynnikami w pewnej ramce, nie mogą one być reprezentowane przez wszystkie te operatory jednocześnie. Biorąc pod uwagę ramkę odniesienia, co najwyżej jeden z nich będzie wolny od współczynników. Jedynie precesja może być ogólnie wyrażona jako macierz w podstawie przestrzeni bez zależności innych kątów.

Te ruchy zachowują się również jak zestaw gimbali. Jeśli przyjmiemy zestaw ramek, które mogą poruszać się każdą względem pierwszej tylko pod jednym kątem, jak gimbal, będzie istniała zewnętrzna rama nieruchoma, jedna końcowa rama i dwie ramki pośrodku, które są nazywane „pośrednimi”. ramki". Dwie środkowe działają jak dwa pierścienie gimbala, które pozwalają ostatniej ramie osiągnąć dowolną orientację w przestrzeni.

Kąty Taita-Bryana

Kąty Taita-Bryana. ciąg z - y ′- x ″ (obroty wewnętrzne; N pokrywa się z y' ). Sekwencja kąta obrotu to ψ , θ , φ . Zauważ, że w tym przypadku ψ > 90° i θ jest kątem ujemnym.

Drugi rodzaj formalizmu nazywa się kątami Tait-Bryan , za Peterem Guthrie Tait i Georgem H. Bryanem . Jest to konwencja zwykle stosowana w zastosowaniach lotniczych, tak że elewacja zero stopni reprezentuje położenie poziome. Kąty Tait-Bryan reprezentują orientację samolotu w odniesieniu do ramy świata. W przypadku innych pojazdów możliwe są różne konwencje osi .

Definicje

Kąty Taita-Bryana. z - x ′- y ″ ciąg (obroty wewnętrzne; N pokrywa się z x ′)

Definicje i oznaczenia stosowane dla kątów TAIT-Bryan są podobne do opisanych wyżej dla odpowiednich kątów Eulera ( geometrycznej definicji , wewnętrzna definicji obrotowy , zewnętrzny definicji obrót ). Jedyna różnica polega na tym, że kąty Taita-Bryana reprezentują rotacje wokół trzech różnych osi (np. x - y - z lub x - y ′ - z ″), podczas gdy właściwe kąty Eulera używają tej samej osi zarówno dla pierwszego, jak i trzeciego obrotu elementarnego ( np. z - x - z lub z - x′ - z ″).

Oznacza to inną definicję linii węzłów w konstrukcji geometrycznej. We właściwym przypadku kątów Eulera zdefiniowano je jako przecięcie dwóch homologicznych płaszczyzn kartezjańskich (równolegle, gdy kąty Eulera wynoszą zero; np. xy i XY ). W przypadku kątów Taita-Bryana definiuje się je jako przecięcie dwóch niehomologicznych płaszczyzn (prostopadłych, gdy kąty Eulera wynoszą zero; np. xy i YZ ).

Konwencje

Kurs, wzniesienie i kąty przechylenia ( Z - Y ′- X ″) dla statku powietrznego wykorzystującego pokładowe osie ENU zarówno na pokładzie, jak i dla naziemnej stacji śledzenia. Stała ramka odniesienia x - y - z reprezentuje taką stację śledzącą. Wbudowane osie Y i Z nie są pokazane. X pokazany w kolorze zielonym. Ta figura nie przestrzega zasad RHS: oś y musi zostać odwrócona, aby utworzyć RHS ze wskazanymi dodatnimi kątami.

Trzy podstawowe obroty mogą wystąpić albo wokół osi oryginalnego układu współrzędnych, który pozostaje nieruchomy ( obroty zewnętrzne ), albo wokół osi obracającego się układu współrzędnych, który zmienia swoją orientację po każdym obrocie elementarnym ( obroty wewnętrzne ).

Istnieje sześć możliwości wyboru osi obrotu dla kątów Tait-Bryan. Sześć możliwych sekwencji to:

  • x - y ′- z ″ (wewnętrzne obroty) lub z - y - x (zewnętrzne obroty)
  • y - z ′- x ″ (wewnętrzne obroty) lub x - z - y (zewnętrzne obroty)
  • z - x ′- y ″ (wewnętrzne obroty) lub y - x - z (zewnętrzne obroty)
  • x - z ′- y ″ (wewnętrzne obroty) lub y - z - x (zewnętrzne obroty)
  • z - y ′- x ″ (wewnętrzne rotacje) lub x - y - z (zewnętrzne rotacje): wewnętrzne rotacje są znane jako: odchylenie, pochylenie i przechylenie
  • y - x ′- z ″ (wewnętrzne obroty) lub z - x - y (zewnętrzne obroty)

Znaki i zakresy

Te główne osie statku powietrznego zgodnie z normą powietrza DIN 9300. Zauważ, że stałe i ruchome klatki musi być zbieżna z kątów zero. W związku z tym norma ta wymuszałaby również zgodną konwencję osi w układzie odniesienia

Konwencja Tait-Bryan jest szeroko stosowana w inżynierii do różnych celów. W praktyce istnieje kilka konwencji dotyczących osi przy wyborze osi ruchomych i stałych, które określają znaki kątów. Dlatego znaki należy dokładnie przestudiować w każdym przypadku.

Zakres kątów ψ i φ obejmuje 2 radiany π . Dla θ zakres obejmuje radiany π .

Alternatywne nazwy

Kąty te są zwykle traktowane jako jeden w zewnętrznej ramy odniesienia ( pozycji , łożyska ), jeden w wewnętrznej ruchomej ramy ( banku ) i jednego w ramy środkowej, co stanowi wysokość lub nachylenie w odniesieniu do poziomej płaszczyzny, który jest odpowiednikiem linia węzłów do tego celu.

Mnemoniki do zapamiętania nazw kątów

W przypadku samolotu można je uzyskać po trzech obrotach wokół jego głównych osi, jeśli wykona się je w odpowiedniej kolejności. Odchylenia uzyska nośne, smoła przyniesie wysokość i rolka daje przechylenia. Dlatego w lotnictwie nazywa się je czasami yaw, pitch and roll . Zauważ, że to nie zadziała, jeśli obroty zostaną zastosowane w innej kolejności lub jeśli osie samolotu zaczną się w dowolnej pozycji, która nie jest równoważna z ramką odniesienia.

Kąty Taita-Bryana, zgodnie z konwencją z - y ′- x ″ (obroty wewnętrzne), są również znane jako kąty morskie , ponieważ mogą być używane do opisania orientacji statku lub samolotu lub kątów Cardana , po włoskim matematyku i fizyk Gerolamo Cardano , który jako pierwszy szczegółowo opisał zawieszenie Cardana i przegub Cardana .

Kąty danej ramy

Projekcje wektora Z
Projekcje wektora Y

Częstym problemem jest znalezienie kątów Eulera danej ramy. Najszybszym sposobem ich uzyskania jest zapisanie trzech danych wektorów jako kolumn macierzy i porównanie ich z wyrażeniem macierzy teoretycznej (patrz późniejsza tabela macierzy). Stąd można obliczyć trzy kąty Eulera. Niemniej jednak ten sam wynik można osiągnąć, unikając algebry macierzowej i używając tylko elementarnej geometrii. Poniżej przedstawiamy wyniki dla dwóch najczęściej używanych konwencji: ZXZ dla właściwych kątów Eulera i ZYX dla Tait-Bryan. Zauważ, że każdą inną konwencję można uzyskać po prostu zmieniając nazwę osi.

Właściwe kąty Eulera

Zakładając ramę z wektorami jednostkowymi ( X , Y , Z ) podanymi przez ich współrzędne jak na schemacie głównym, widać, że:

A ponieważ

bo mamy

Podobnie jak podwójna projekcja wektora jednostkowego,

Podobną konstrukcję ma , rzutując ją najpierw na płaszczyznę wyznaczoną przez oś z i linię węzłów. Ponieważ kąt między płaszczyznami wynosi i , prowadzi to do:

i wreszcie, używając funkcji odwrotnego cosinusa ,

Kąty Taita-Bryana

Projekcje osi x po trzech obrotach Taita-Bryana. Zauważ, że theta jest ujemnym obrotem wokół osi y ′.

Zakładając układ z wektorami jednostkowymi ( X , Y , Z ) podanymi przez ich współrzędne jak na tym nowym schemacie (zauważ, że kąt teta jest ujemny), widać, że:

Jak wcześniej,

bo mamy

w sposób analogiczny do poprzedniego:

Szukasz wyrażeń podobnych do poprzednich:

Ostatnie uwagi

Zauważ, że odwrotne funkcje sinusa i cosinusa dają dwie możliwe wartości argumentu. W tym opisie geometrycznym ważne jest tylko jedno z rozwiązań. Gdy kąty Eulera są zdefiniowane jako sekwencja obrotów, wszystkie rozwiązania mogą być poprawne, ale w zakresach kątów będzie tylko jedno. Dzieje się tak, ponieważ sekwencja rotacji w celu osiągnięcia ramki docelowej nie jest unikalna, jeśli zakresy nie zostały wcześniej zdefiniowane.

Do celów obliczeniowych przydatne może być przedstawienie kątów za pomocą atan2 ( y , x ) . Na przykład w przypadku właściwych kątów Eulera:

Konwersja do innych reprezentacji orientacji

Kąty Eulera są jednym ze sposobów reprezentowania orientacji. Są inne i możliwe jest przejście do i z innych konwencji. Do opisania orientacji w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wymagane są zawsze trzy parametry . Można je podać na kilka sposobów, jednym z nich są kąty Eulera; zobacz wykresy na SO(3) dla innych.

Najczęściej używanymi reprezentacjami orientacji są macierze obrotu , kąt osiowy i kwaterniony , znane również jako parametry Eulera-Rodriguesa , które zapewniają inny mechanizm reprezentacji obrotów 3D. Odpowiada to opisowi specjalnej grupy jednostkowej.

Wyrażanie obrotów w 3D jako kwaternionów jednostkowych zamiast macierzy ma pewne zalety:

  • Łączenie obrotów jest szybsze obliczeniowo i bardziej stabilne numerycznie.
  • Wyciąganie kąta i osi obrotu jest prostsze.
  • Interpolacja jest prostsza. Zobacz na przykład slerp .
  • Quaterniony nie cierpią z powodu blokady kardanowej, jak robią to kąty Eulera.

Niezależnie od tego, obliczenie macierzy rotacji jest pierwszym krokiem do uzyskania pozostałych dwóch reprezentacji.

Macierz rotacji

Dowolną orientację można osiągnąć przez złożenie trzech rotacji elementarnych, zaczynając od znanej orientacji standardowej. Równoważnie, dowolna macierz rotacji R może być rozłożona jako iloczyn trzech elementarnych macierzy rotacji. Na przykład:

jest macierzą rotacji, która może być używana do reprezentowania kompozycji rotacji zewnętrznych wokół osi z , y , x , (w tej kolejności) lub kompozycji rotacji wewnętrznych wokół osi x - y ′ - z ″ (w tej kolejności). Jednak zarówno definicja elementarnych macierzy obrotu X , Y , Z , jak i ich kolejność mnożenia zależą od wyborów dokonanych przez użytkownika odnośnie definicji obu macierzy obrotu i kątów Eulera (patrz np. Niejasności w definicji rotacji macierze ). Niestety, różne zestawy konwencji są przyjmowane przez użytkowników w różnych kontekstach. Poniższa tabela została zbudowana zgodnie z tym zestawem konwencji:

  1. Każda macierz ma działać przez wstępne mnożenie wektorów kolumnowych (patrz Niejednoznaczności w definicji macierzy rotacji )
  2. Każda macierz ma reprezentować aktywny obrót (macierze tworzące i złożone mają działać na współrzędne wektorów określonych w początkowym stałym układzie odniesienia i dawać w rezultacie współrzędne wektora obróconego określonego w tym samym układzie odniesienia).
  3. Każda macierz ma reprezentować, przede wszystkim, kompozycję rotacji wewnętrznych (wokół osi wirującego układu odniesienia) oraz, w drugiej kolejności, kompozycję trzech rotacji zewnętrznych (co odpowiada konstruktywnej ocenie macierzy R przez pomnożenie trzech prawdziwie elementarne macierze, w odwrotnej kolejności).
  4. Przyjmowane są prawostronne układy odniesienia, a do wyznaczenia znaku kątów α , β , γ stosowana jest reguła prawej ręki .

Dla uproszczenia w poniższej tabeli produktów matrycowych zastosowano następującą nomenklaturę:

  1. 1, 2, 3 reprezentują kąty α , β i γ , tj. kąty odpowiadające odpowiednio pierwszemu, drugiemu i trzeciemu obrotowi elementarnemu.
  2. X , Y , Z są macierzami reprezentującymi podstawowe obroty wokół osi x , y , z nieruchomej ramy (np. X 1 reprezentuje obrót wokół x o kąt α ).
  3. a i c oznaczają sinus i cosinus (na przykład y 1 przedstawia sinus alfa ).
Właściwe kąty Eulera Kąty Taita-Bryana

Te tabelaryczne wyniki są dostępne w wielu podręcznikach. Dla każdej kolumny ostatni wiersz stanowi najczęściej używaną konwencję.

Aby zmienić formuły dla rotacji pasywnych (lub znaleźć odwrotną rotację aktywną), transponuj macierze (wtedy każda macierz przekształca początkowe współrzędne wektora pozostającego nieruchomego na współrzędne tego samego wektora mierzonego w obróconym układzie odniesienia; ta sama oś obrotu, ta sama kąty, ale teraz układ współrzędnych obraca się, a nie wektor).

Poniższa tabela zawiera wzory na kąty α , β i γ z elementów macierzy obrotu .

Właściwe kąty Eulera Kąty Taita-Bryana

Nieruchomości

Kąty Eulera tworzą wykres na wszystkich SO(3) , specjalnej ortogonalnej grupie obrotów w przestrzeni 3D. Wykres jest gładki, z wyjątkiem osobliwości stylu współrzędnych biegunowych wzdłuż β = 0 . Zobacz wykresy na SO (3), aby uzyskać pełniejsze leczenie.

Przestrzeń rotacji jest ogólnie nazywana „ hipersferą rotacji ”, chociaż jest to myląca nazwa: grupa Spin(3) jest izometryczna względem hipersfery S 3 , ale przestrzeń obrotu SO(3) jest zamiast tego izometryczna względem rzeczywistej rzutowej przestrzeń RP 3, która jest 2-krotną przestrzenią ilorazową hipersfery. Ta dwuznaczność 2 do 1 jest matematycznym źródłem spinu w fizyce .

Podobna dekompozycja trzech kątów dotyczy SU(2) , specjalnej unitarnej grupy obrotów w złożonej przestrzeni 2D, z tą różnicą, że β waha się od 0 do 2 π . Są to również nazywane kątami Eulera.

Środek Haar SO (3) Eulera jest przez kąt parametryzacji Hopf SO (3), gdzie parametrise przestrzeń osi obrotu.

Na przykład, aby wygenerować jednorodnie randomizowane orientacje, niech α i γ będą jednorodne od 0 do 2 π , z będzie jednorodne od -1 do 1 i niech β = arccos( z ) .

Algebra geometryczna

Inne własności kątów Eulera i obrotów w ogóle można znaleźć w algebrze geometrycznej , abstrakcji wyższego poziomu, w której kwaterniony są parzystą podalgebrą. Podstawowym narzędziem w algebrze geometrycznej jest wirnik, w którym kąt obrotu , oś obrotu (wektor jednostkowy) i pseudoskalar (trywektor w )

Wyższe wymiary

Możliwe jest zdefiniowanie parametrów analogicznych do kątów Eulera w wymiarach większych niż trzy.

Liczba stopni swobody macierzy rotacji jest zawsze mniejsza niż kwadrat wymiaru macierzy. Oznacza to, że nie wszystkie elementy macierzy rotacji są całkowicie niezależne. Na przykład macierz obrotu w wymiarze 2 ma tylko jeden stopień swobody, ponieważ wszystkie cztery jej elementy zależą od jednego kąta obrotu. Macierz obrotu w wymiarze 3 (który ma dziewięć elementów) ma trzy stopnie swobody, odpowiadające każdemu niezależnemu obrotowi, na przykład przez jej trzy kąty Eulera lub kwaternion o jednej (jednostce).

W SO(4) macierz rotacji jest zdefiniowana przez dwa kwaterniony , a zatem jest 6-parametryczna (trzy stopnie swobody dla każdego kwaternionu). W 4 x 4 macierze rotacji muszą zatem 6 z 16 niezależnych części.

Dowolny zestaw 6 parametrów, które definiują macierz obrotu, można uznać za rozszerzenie kątów Eulera do wymiaru 4.

Ogólnie liczba kątów Eulera w wymiarze D jest kwadratowa w D; ponieważ każdy obrót polega na wybraniu dwóch wymiarów, między którymi ma się obracać, całkowita liczba obrotów dostępnych w wymiarze wynosi , co dla plonów .

Aplikacje

Pojazdy i ruchome ramy

Ich główną zaletą w porównaniu z innymi opisami orientacji jest to, że można je bezpośrednio zmierzyć z gimbala zamontowanego w pojeździe. Ponieważ żyroskopy utrzymują stałą oś obrotu, kąty mierzone w ramce żyroskopowej są równoważne kątom mierzonym w ramce laboratoryjnej. Dlatego żyroskopy są używane do poznania rzeczywistej orientacji poruszającego się statku kosmicznego, a kąty Eulera można bezpośrednio zmierzyć. Wewnętrzny kąt obrotu nie może być odczytany z jednego gimbala, więc w statku kosmicznym musi być więcej niż jeden gimbal. Zwykle są co najmniej trzy do redundancji. Istnieje również związek z dobrze znanym problemem blokady gimbala w inżynierii mechanicznej  .

Podczas ogólnego badania ciał sztywnych, nazywa się współrzędne przestrzeni systemu xyz , a współrzędne bryły systemu XYZ . Współrzędne przestrzeni są traktowane jako nieruchome, podczas gdy współrzędne ciała są uważane za osadzone w poruszającym się ciele. Obliczenia obejmujących przyspieszenie , przyspieszenie kątowe , prędkość kątową , pędu i energii kinetycznej często są najłatwiejsze we współrzędnych ciała, bo wtedy moment bezwładności tensora nie zmienia się w czasie. Jeśli przekątować również tensor momentu bezwładności ciała sztywnego (z dziewięcioma składowymi, z których sześć jest niezależnych), to mamy układ współrzędnych (zwanych osiami głównymi), w którym tensor momentu bezwładności ma tylko trzy składowe.

Prędkość kątowa ciała sztywnego przybiera prostą postać przy użyciu kątów Eulera w ruchomej ramie. Również równania ciała sztywnego Eulera są prostsze, ponieważ tensor bezwładności jest w tej ramie stały.

Tekstura krystalograficzna

Figury biegunowe przedstawiające krystalograficzną teksturę gamma-TiAl w stopie alfa2-gamma, mierzone za pomocą promieniowania rentgenowskiego o wysokiej energii.

W materiałoznawstwie teksturę krystalograficzną (lub preferowaną orientację) można opisać za pomocą kątów Eulera. W analizie tekstury kąty Eulera zapewniają matematyczny obraz orientacji poszczególnych krystalitów w materiale polikrystalicznym, umożliwiając ilościowy opis materiału makroskopowego. Najpopularniejsza definicja kątów wynika z Bunge i odpowiada konwencji ZXZ . Należy jednak zauważyć, że aplikacja generalnie obejmuje transformacje osiowe wielkości tensorowych, tj. obroty bierne. Zatem macierz odpowiadająca kątom Bunge Eulera jest transpozycją tej pokazanej w powyższej tabeli.

Inni

Robot przemysłowy pracujący w odlewni

Kąty Eulera, zwykle w konwencji Tait-Bryan, są również używane w robotyce do mówienia o stopniach swobody nadgarstka . W podobny sposób wykorzystywane są również w elektronicznej kontroli stabilności .

Systemy kierowania ogniem dział wymagają korekty kątów ustawienia działa (łożysko i elewacja), aby skompensować przechylenie pokładu (pochylenie i przechylenie). W tradycyjnych systemach żyroskop stabilizujący z pionową osią obrotu koryguje przechylenie pokładu oraz stabilizuje celowniki optyczne i antenę radaru. Jednak lufy broni skierowane są w innym kierunku niż linia wzroku celu, aby przewidzieć między innymi ruch celu i upadek pocisku pod wpływem grawitacji. Uchwyty dział toczą się i przechylają wraz z płaszczyzną pokładu, ale wymagają również stabilizacji. Zamówienia dział obejmują kąty obliczone na podstawie danych z pionowego żyroskopu, a te obliczenia obejmują kąty Eulera.

Kąty Eulera są również szeroko stosowane w mechanice kwantowej momentu pędu. W mechanice kwantowej wyraźne opisy reprezentacji SO(3) są bardzo ważne dla obliczeń, a prawie całą pracę wykonano przy użyciu kątów Eulera. We wczesnej historii mechaniki kwantowej, kiedy fizycy i chemicy mieli ostro negatywne reakcje na metody abstrakcyjnej teorii grup (zwane Gruppenpest ), poleganie na kątach Eulera było również istotne w podstawowych pracach teoretycznych.

Wiele przenośnych urządzeń komputerowych zawiera akcelerometry, które mogą określać kąty Eulera tych urządzeń w odniesieniu do przyciągania grawitacyjnego Ziemi. Są one używane w aplikacjach takich jak gry, symulacje poziomu bąbelków i kalejdoskopy .

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki