Wzór Eulera – Rodriguesa - Euler–Rodrigues formula

W matematyce i mechaniki The wzoru Eulera-Rodrigues opisuje obrót wektora w trzech wymiarach. Opiera się na formule rotacji Rodriguesa , ale używa innej parametryzacji.

Rotację opisują cztery parametry Eulera za sprawą Leonharda Eulera . Formuła Rodriguesa (nazwana na cześć Olinde Rodriguesa ), metoda obliczania położenia punktu obróconego, jest używana w niektórych aplikacjach, takich jak symulatory lotów i gry komputerowe .

Definicja

Obrót wokół początku jest reprezentowany przez cztery liczby rzeczywiste, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ takie, że

{\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}

Po zastosowaniu obrotu punkt w pozycji $x \to$ obraca się do nowej pozycji

{\ Displaystyle {\ vec {x}} '= {\ rozpocząć {pmatrix} a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} i 2 (bc-ad) i 2 (bd + ac) \\ 2 (bc + ad) & a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} & 2 (cd-ab) \\ 2 (bd-ac) & 2 ( cd + ab) & a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} \ end {pmatrix}} {\ vec {x}}.}

Formulacja wektorowa

Parametr można nazwać skalarne parametru, natomiast $Ohm$ $\to$ $= ($ $b, c, d$ $)$ wektora parametru. W standardowym zapisie wektorowym formuła rotacji Rodriguesa przyjmuje postać zwartą

${\ Displaystyle {\ vec {x}} '= {\ vec {x}} + 2a ({\ vec {\ omega}} \ razy {\ vec {x}}) + 2 \ lewo ({\ vec {\ omega}} \ times ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {x}}) \ right)}$

Symetria

Parametry $(a, b, c, d)$ i $(- a, - b, - c, - d)$ opisują ten sam obrót. Oprócz tej symetrii, każdy zestaw czterech parametrów opisuje unikalny obrót w trójwymiarowej przestrzeni.

Skład rotacji

Kompozycja dwóch rotacji sama w sobie jest rotacją. Niech $(a 1, b 1, c 1, d 1)$ i $(a 2, b 2, c 2, d 2)$ będą parametrami Eulera dwóch obrotów. Parametry rotacji złożonej (obrót 2 po obrocie 1) są następujące:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a & = a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}; \\ b & = a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2} -c_ {1} d_ {2} + d_ {1} c_ {2}; \\ c & = a_ {1} c_ {2} + c_ {1} a_ {2} -d_ {1} b_ {2} + b_ {1} d_ {2}; \\ d & = a_ {1} d_ {2} + d_ {1} a_ {2} -b_ {1} c_ {2} + c_ {1} b_ {2}. \ End {aligned}}}

Sprawdzanie, czy $a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1$ jest proste, choć żmudne . (Jest to zasadniczo czterokwadratowa tożsamość Eulera , również używana przez Rodriguesa).

Kąt obrotu i oś obrotu

Każdy centralny obrót w trzech wymiarach jest jednoznacznie określony przez jego oś obrotu (reprezentowaną przez wektor jednostkowy $k \to = (k x, k y, k z)$ ) i kąt obrotu $φ$ . Parametry Eulera dla tego obrotu są obliczane w następujący sposób:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} a & = \ cos {\ Frac {\ varphi} {2}}; \\ b & = k_ {x} \ sin {\ Frac {\ varphi} {2}}; \\ c & = k_ {y} \ sin {\ frac {\ varphi} {2}}; \\ d & = k_ {z} \ sin {\ frac {\ varphi} {2}}. \ end {aligned}}}

Zauważ, że jeśli $φ$ zostanie zwiększone o pełny obrót o 360 stopni, argumenty sinusa i cosinusa wzrosną tylko o 180 stopni. Wynikowe parametry są przeciwieństwem pierwotnych wartości $(- a, - b, - c, - d)$ ; reprezentują ten sam obrót.

W szczególności transformacja tożsamości (rotacja zerowa, $φ = 0$ ) odpowiada wartościom parametrów $(a, b, c, d) = (\pm 1, 0, 0, 0)$ . Obrót o 180 stopni wokół dowolnej osi $daje$ w wyniku $a$ $= 0$ .

Połączenie z kwaternionami

Parametry Eulera można postrzegać jako współczynniki kwaternionu ; parametr skalarny $a$ jest częścią rzeczywistą, parametry wektora $b$ , $c$ , $d$ są częściami urojonymi. Tak więc mamy kwaternion

{\ Displaystyle q = a + bi + cj + dk,}

który jest quaternionem długości jednostki (lub versor ) od

{\ Displaystyle \ lewo \ | q \ prawo \ | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}

Co najważniejsze, powyższe równania dotyczące składu obrotów są właśnie równaniami mnożenia kwaternionów. Innymi słowy, grupa kwaternionów jednostkowych z pomnożeniem, modulo znak ujemny, jest izomorficzna z grupą rotacji o składzie.

Połączenie z macierzami spinowymi SU (2)

Grupa Lie SU (2) może być używana do reprezentowania trójwymiarowych rotacji w macierzach 2 × 2 . Macierz SU (2) odpowiadająca rotacji pod względem parametrów Eulera to

{\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {pmatrix} \ \ \, a + di & b + ci \\ - b + ci i a-di \ koniec {pmatrix}}.}

Alternatywnie można to zapisać jako sumę

{\ Displaystyle {\ zaczynać {wyrównane} U & = a \ {\ zaczynać {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} + b \ {\ zaczynać {pmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {pmatrix}} + c \ {\ begin {pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} + d \ {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}} \\ & = a \, I + ic \ , \ sigma _ {x} + ib \, \ sigma _ {y} + id \, \ sigma _ {z}, \ end {aligned}}}

gdzie $σ i$ są macierzami spinowymi Pauliego . Zatem parametry Eulera są współczynnikami do reprezentacji trójwymiarowego obrotu w SU (2).

Zobacz też

Bibliografia

Cartan, Élie (1981). Teoria spinorów . Dover. ISBN 0-486-64070-1 .
Hamilton, WR (1899). Elementy kwaternionów . Cambridge University Press.
Haug, EJ (1984). Wspomagana komputerowo analiza i optymalizacja dynamiki układów mechanicznych . Springer-Verlag.
Garza Eduardo; Pacheco Quintanilla, ME (czerwiec 2011). „Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana” (PDF) . Revista Mexicana de Física (po hiszpańsku): 109–113. Zarchiwizowane od oryginału (pdf) w dniu 2012-04-23.
Shuster, Malcolm D. (1993). „Przegląd reprezentacji postaw” (pdf) . Journal of the Astronautical Sciences . 41 (4): 439–517.

Languages

In other projects