Dzielnik zera - Zero divisor
W abstrakcyjnej Algebra An elementem z pierścieniem R nazywa się w lewo dzielnik zera , jeżeli istnieje niezerowe x z B w taki sposób, ax = 0 , albo równoważnie, gdy mapy od R do R , który wysyła X do ax jest za pomocą wstrzyknięć . Podobnie element a pierścienia nazywany jest prawym dzielnikiem zerowym, jeśli istnieje niezerowe y w R takie, że ya = 0 . Jest to częściowy przypadek podzielności w pierścieniach. Element będący lewym lub prawym dzielnikiem zera nazywany jest po prostu dzielnikiem zerowym . Element a, który jest zarówno lewym, jak i prawym dzielnikiem zerowym, nazywany jest dwustronnym dzielnikiem zerowym (niezerowy x taki, że ax = 0 może być różny od niezerowego y tak, że ya = 0 ). Jeśli pierścień jest przemienny , to lewy i prawy dzielnik zerowy są takie same.
Element pierścienia, który nie jest lewym dzielnikiem zera, nazywany jest lewostronnym lub lewostronnym kasowalnym . Podobnie, element pierścienia, który nie jest prawym dzielnikiem zerowym, jest nazywany prawostronnym lub prawostronnym anulowalnym . Element pierścienia, który można anulować z lewej i prawej strony, a zatem nie jest zerowym dzielnikiem, nazywany jest zwykłym lub anulowalnym lub niezerowym dzielnikiem . Niezerowy dzielnik zerowy nazywany jest niezerowym dzielnikiem zerowym lub nietrywialnym dzielnikiem zerowym . Niezerowy pierścień bez nietrywialnych zerowych dzielników nazywany jest domeną .
Przykłady
- W pierścieniu klasa reszt jest zerowym dzielnikiem od .
- Jedynym dzielnik zera w pierścieniu z liczb całkowitych jest .
- Nilpotent element pierścienia niezerową zawsze jest dwustronny dzielnik zera.
- Elementem idempotent pierścienia jest zawsze dwustronna dzielnik zera, ponieważ .
- Pierścień matryc na obszarze ma niezerowe dzielnik zera razie . Przykłady zerowych dzielników w pierścieniu macierzy (nad dowolnym niezerowym pierścieniem ) są pokazane tutaj:
- .
- Bezpośrednim produktem z dwóch lub więcej niezerowych pierścieni zawsze niezerowe dzielnik zera. Na przykład, z każdą niezerowe , to jest dzielnik zera.
- Pozwolić być pole i być grupa . Załóżmy, że zawiera element skończonego porządku . Wtedy w pierścieniu grupowym jeden ma , bez żadnego współczynnika zero, więc jest niezerowy dzielnik zerowy w .
Jednostronny dzielnik zerowy
- Rozważmy pierścień (formalnych) macierzy z i . Wtedy i . Jeśli , to jest lewym dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy jest parzyste, ponieważ i jest prawym dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy jest parzyste z podobnych powodów. Jeśli którykolwiek z nich jest , to jest to dwustronny dzielnik zerowy.
- Oto kolejny przykład pierścienia z elementem, który jest zerowym dzielnikiem tylko z jednej strony. Niech będzie zbiorem wszystkich sekwencji liczb całkowitych . Weź za pierścień wszystkie mapy addytywne od do , z dodawaniem punktowym i kompozycją jako operacjami pierścienia. (Oznacza to, że nasz pierścień jest The pierścień endomorfizm addytywnej grupy ). Trzy przykłady elementów tego pierścienia są przesunięcie w prawo The lewej zmiany i mapę występ na pierwszy czynnik . Wszystkie trzy z tych map addytywnych nie są zerowe, a złożone i oba są równe zeru, więc jest to lewy dzielnik zerowy i prawy dzielnik zera w pierścieniu map addytywnych od do . Jednak nie jest prawym dzielnikiem zerowym i nie jest lewym dzielnikiem zerowym: złożona jest tożsamością. jest dwustronnym dzielnikiem zerowym, ponieważ , a nie jest w żadnym kierunku.
Bez przykładów
- Pierścień liczb całkowitych modulo a liczba pierwsza nie ma zerowych dzielników innych niż 0. Ponieważ każdy element niezerowy jest jednostką , pierścień ten jest ciałem skończonym .
- Mówiąc bardziej ogólnie, pierścień dzielący nie ma zerowych dzielników z wyjątkiem 0.
- Niezerowe przemienne pierścień , którego tylko dzielnik zera jest 0 nazywa się dziedzina całkowitości .
Nieruchomości
- W pierścieniu n -by- n macierzy nad dziedzinie , lewy i prawy dzielnik zera pokrywają; są to dokładnie pojedyncze macierze . W pierścieniu macierzy n -by- n w dziedzinie całkowej zerowymi dzielnikami są dokładnie macierze z wyznacznikiem zero .
- Lewy lub prawy dzielnik zerowy nigdy nie może być jednostką , ponieważ jeśli a jest odwracalne, a ax = 0 dla jakiegoś niezerowego x , to 0 = a −1 0 = a −1 ax = x , sprzeczność.
- Element można usunąć po stronie, na której jest regularny. Oznacza to, że jeśli a jest lewostronnym regularnym, ax = ay implikuje, że x = y , i podobnie dla prawego regularnego.
Zero jako dzielnik zera
Nie ma potrzeby stosowania odrębnej konwencji dla przypadku a = 0 , ponieważ definicja ma zastosowanie również w tym przypadku:
- Jeśli R jest pierścieniem innym niż pierścień zerowy , to 0 jest (dwustronnym) dzielnikiem zerowym, ponieważ każdy niezerowy element x spełnia 0 x = 0 = x 0 .
- Jeśli R jest pierścieniem zerowym , w którym 0 = 1 , to 0 nie jest zerowym dzielnikiem, ponieważ nie ma elementu niezerowego , który po pomnożeniu przez 0 daje 0 .
Niektóre odniesienia zawierają lub wykluczają 0 jako dzielnik zerowy we wszystkich pierścieniach zgodnie z konwencją, ale następnie cierpią z powodu konieczności wprowadzania wyjątków w instrukcjach, takich jak następujące:
- W przemiennej pierścienia R , zestaw niezerowej dzielników jest mnożnikowy zestaw do badań . (To z kolei jest ważne dla określenia całkowitego pierścienia ilorazowego ). To samo dotyczy zbioru nie-lewych-zerowych dzielników i zbioru nie-prawych-zerowych dzielników w dowolnym pierścieniu, przemiennym albo nie.
- W przemiennej pierścień noetherowski R , zestaw dzielnik zera jest związek o związane ideał pierwszy z R .
Dzielnik zerowy w module
Niech R być przemienne pierścień pozwolić M być R - moduł , niech być elementem R . Jedna z nich mówi, że jest M -regular jeśli „mnożenie przez się ” mapą jest injective, a jest dzielnik zera na M inaczej. Zestaw M -regular elementów jest mnożnikowy zestaw do badań .
Specjalizacja definicji „ M- regularnego” i „zerowego dzielnika na M ” do przypadku M = R przywraca definicje „zwykłego” i „zerowego dzielnika” podane wcześniej w tym artykule.
Zobacz też
- Właściwość zerowego produktu
- Słowniczek algebry przemiennej (dokładny dzielnik zerowy)
- Wykres z zerowym dzielnikiem
Uwagi
Bibliografia
Dalsza lektura
- „Zero divisor” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
-
Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhalovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebry, pierścienie i moduły , t. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
|volume=
ma dodatkowy tekst ( pomoc ) - Weisstein, Eric W. „Zero Divisor” . MathWorld .