Moduł szeregowy - Serial module

W abstrakcyjnej Algebra , A uniserial moduł M jest modułem na pierścieniu R , którego podmoduły są uporządkowany przez włączenie . Oznacza to po prostu, że dla dowolnych dwóch podmodułów N ₁ i N ₂ z M albo albo . Moduł jest nazywany modułem szeregowym, jeśli jest bezpośrednią sumą modułów uniserialowych. Pierścień R jest nazywany prawym pierścieniem szeregowym, jeśli jest uniserialowy jako prawy moduł nad sobą, i podobnie nazywany jest prawym pierścieniem szeregowym, jeśli jest prawym modułem szeregowym nad sobą. Lewe pierścienie szeregowe i lewe pierścienie szeregowe są definiowane w analogiczny sposób i zasadniczo różnią się od swoich prawych odpowiedników. ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$

Łatwym motywującym przykładem jest iloraz pierścienia dla dowolnej liczby całkowitej . Ten pierścień jest zawsze szeregowy i jest uniserialowy, gdy n jest potęgą pierwszą . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\displaystyle n>1}$

Termin uniserial został użyty inaczej niż w powyższej definicji: dla wyjaśnienia patrz poniżej .

Częściowa alfabetyczna lista ważnych autorów teorii pierścieni szeregowych obejmuje matematyków Keizo Asano, IS Cohen, PM Cohn , Yu. Drozd, D. Eisenbud , A. Facchini, AW Goldie , Phillip Griffith, I. Kaplansky , VV Kirichenko, G. Köthe , H. Kuppisch, I. Murase, T. Nakayama , P. Příhoda, G. Puninski i R. Pole bitwy. Odnośniki do każdego autora można znaleźć w ( Puninski 2001 ) harv error: multiple target (3×): CITEREFPuninski2001 ( pomoc ) i ( Hazewinkel 2004 ) . błąd harv: brak celu: CITEREFHazewinkel2004 ( pomoc )

Po wspólnym pierścieniem teoretycznej konwencji, jeśli a / prawy lewy stan zależny jest podana bez wzmianki o boku (np uniserial, serial, Artinian , Noetherian ), to zakłada się, że warunek jest spełniony zarówno po lewej i prawej stronie. O ile nie podano inaczej, przy czym każdy pierścień w tym artykule, to pierścień z jedności , a każdy moduł ma unital .

Właściwości pierścieni i modułów uniserialowych i szeregowych

To jest natychmiastowy, że w uniserial R -module M , wszystkie Submoduły wyjątkiem M i 0 są jednocześnie niezbędne i zbędne . Jeśli M ma maksymalny podmoduł , to M jest modułem lokalnym . M jest również wyraźnie jednorodnym modułem, a zatem jest bezpośrednio nierozkładalny. Łatwo też zauważyć, że każdy skończenie wygenerowany podmoduł M może zostać wygenerowany przez pojedynczy element, a więc M jest modułem Bézout .

Wiadomo , że pierścień endomorfizmu End _R ( M ) jest pierścieniem semilokalnym , który jest bardzo zbliżony do pierścienia lokalnego w tym sensie , że End _R ( M ) ma co najwyżej dwa maksymalne prawe ideały . Jeśli założymy, że M to Artinian lub Noetherian, to End _R ( M ) jest pierścieniem lokalnym.

Ponieważ pierścienie z jednością zawsze mają maksymalny właściwy ideał, właściwy uniserial pierścień jest z konieczności lokalny. Jak zauważono wcześniej, skończenie wygenerowany właściwy ideał może zostać wygenerowany przez pojedynczy element, a zatem prawe pierścienie uniserial są właściwymi pierścieniami Bézouta . Prawy szeregowy pierścień R z konieczności uwzględnia postać, w której każdy e _i jest elementem idempotentnym, a e _i R jest lokalnym, jednoszeregowym modułem. Wskazuje to, że R jest również pierścieniem półdoskonałym , co jest silniejszym stanem niż bycie pierścieniem półlokalnym. ${\ Displaystyle R = \ oplus _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} R}$

Köthe wykazał, że moduły artyńskich głównych idealnych pierścieni (które są szczególnym przypadkiem pierścieni szeregowych) są bezpośrednimi sumami cyklicznych podmodułów . Później Cohen i Kaplansky ustalili, że przemienny pierścień R ma tę właściwość dla swoich modułów wtedy i tylko wtedy, gdy R jest głównym idealnym pierścieniem artyńskim. Nakayama wykazał, że seryjne pierścienie Artinian mają tę właściwość na swoich modułach i że odwrotność nie jest prawdziwa

Być może najbardziej ogólny wynik dotyczący modułów pierścienia szeregowego przypisywany jest Drozdowi i Warfieldowi: stwierdza on, że każdy skończony moduł nad pierścieniem szeregowym jest bezpośrednią sumą cyklicznych submodułów uniserialowych (a zatem jest szeregowy). Jeśli dodatkowo założymy, że pierścień jest Noetherian, skończenie przedstawione i skończenie wygenerowane moduły pokrywają się, a więc wszystkie skończenie generowane moduły są szeregowe.

Właściwość seryjna jest zachowana pod bezpośrednimi produktami pierścieni i modułów oraz zachowana pod ilorazami pierścieni . Uniserial jest zachowany dla ilorazów pierścieni i modułów, ale nigdy dla produktów. Bezpośrednia suma modułu szeregowego niekoniecznie musi być szeregowa, jak dowiódł Puninski, ale bezpośrednie sumy skończonych bezpośrednich sum modułów uniserialowych są modułami szeregowymi ( Příhoda 2004 ).

Potwierdzono, że hipoteza Jacobsona jest słuszna w przypadku seryjnych pierścieni Noetherian. ( Chatters & Hajarnavis 1980 )błąd harv: brak celu: CITEREFChattersHajarnavis1980 ( pomoc )

Przykłady

Każdy prosty moduł jest trywialnie uniserialowy, podobnie jak moduły półproste są modułami szeregowymi.

Wiele przykładów pierścieni seryjnych można znaleźć w powyższych sekcjach konstrukcyjnych. Każdy pierścień wyceny jest pierścieniem uniserialowym, a wszystkie główne idealne pierścienie artyńskie są pierścieniami seryjnymi, co ilustrują półproste pierścienie .

Bardziej egzotyczne przykłady obejmują górne matryce trójkątne ponad pierścieniem podziału T _n ( D ), a pierścień grupy o pewnym ograniczonym zakresie od pierwsza cecha p i grupy G o cykliczny normalnego p - Sylow podgrupy . ${\ Displaystyle \ mathbb {F} [G]}$

Struktura

Ta sekcja zajmie się głównie pierścieniami seryjnymi Noetherian i ich podklasą, pierścieniami seryjnymi Artinian. Ogólnie rzecz biorąc, pierścienie są najpierw dzielone na pierścienie nierozkładalne. Gdy znana jest budowa tych pierścieni, pierścienie rozkładające się są bezpośrednimi produktami tych nierozkładalnych. Ponadto w przypadku pierścieni półdoskonałych, takich jak pierścienie seryjne, podstawowym pierścieniem jest Morita odpowiednik oryginalnego pierścienia. Tak więc, jeśli R jest pierścieniem szeregowym z podstawowym pierścieniem B , a struktura B jest znana, teoria równoważności Mority podaje, że gdzie P jest jakimś skończonym progeneratorem B . Dlatego wyniki są sformułowane w kategoriach nierozkładalnych, podstawowych pierścieni. ${\ Displaystyle R \ cong \ operatorname {koniec} _ {B} (P)}$

W 1975 roku Kirichenko i Warfield niezależnie i jednocześnie opublikowali analizy struktury noetherowskich, nie-artyńskich pierścieni seryjnych. Wyniki były takie same, jednak stosowane przez nich metody bardzo się od siebie różniły. Ważnymi narzędziami były badania pierścieni dziedzicznych , noetherskich, pierwotnych , a także kołczanów zdefiniowanych na pierścieniach seryjnych. Wynik podstawowy stwierdza, że ​​prawy noetherowski, nie-artyński, podstawowy, nierozkładalny pierścień szeregowy można opisać jako typ pierścienia macierzy nad noetherską, jednoserialową domeną V , której rodnik Jacobsona J( V ) jest niezerowy. Pierścień matryca jest podpierścień M _n ( V ) dla niektórych N , i składa się z matrycy z zapisów z V na i powyżej przekątnej i zgłoszeń z J ( V ) poniżej.

Szeregowa struktura pierścieni artyńskich jest klasyfikowana w przypadkach w zależności od struktury kołczanu. Okazuje się, że kołczan dla podstawowego, nierozkładalnego seryjnego pierścienia artyńskiego jest zawsze kołem lub linią. W przypadku kołczanu liniowego, pierścień jest izomorficzny z górnymi trójkątnymi matrycami nad pierścieniem podziałowym (zauważ podobieństwo do budowy szeregowych pierścieni Noetherian w poprzednim akapicie). Pełny opis budowy kołczanu kołowego wykracza poza zakres tego artykułu, ale można go znaleźć w ( Puninski 2001 ) harv error: multiple targets (3×): CITEREFPuninski2001 ( help ) . Parafrazując wynik tak, jak się tam pojawia: podstawowy artyński pierścień seryjny, którego kołczan jest kołem, jest homomorficznym obrazem „powiększenia” podstawowego, nierozkładalnego, seryjnego pierścienia quasi-Frobeniusa .

Właściwość niepowtarzalności rozkładu

Mówi się, że dwa moduły U i V mają tę samą klasę monogenii , oznaczoną , jeśli istnieje monomorfizm i monomorfizm . Podwójny pojęcie można zdefiniować: moduły mówi się, że tę samą klasę epigeny , oznaczony , jeśli istnieje epimorfizmem oraz epimorfizmem . ${\ Displaystyle [U] _ {m} = [V] _ {m}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$${\displaystyle V\rightarrow U}$${\ Displaystyle [U] _ {e} = [V] _ {e}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$${\displaystyle V\rightarrow U}$

Zachodzi następująca słaba forma twierdzenia Krulla-Schmidta . Niech U ₁ , ..., U _n , V ₁ , ..., V _t będzie n + t niezerowymi jednoszeregowymi prawymi modułami nad pierścieniem R . Wtedy sumy bezpośrednie i są izomorficznymi modułami R wtedy i tylko wtedy, gdy n = t i istnieją dwie permutacje i 1, 2, ..., n takie, że i dla każdego i = 1, 2, ..., n . ${\ Displaystyle U_ {1} \ oplus \ kropki \ oplus U_ {n}}$${\ Displaystyle V_ {1} \ oplus \ kropki \ oplus V_ {t}}$ ${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle [U_ {i}] _ {m} = [V_ {\ sigma (i)}] _ {m}}$${\ Displaystyle [U_ {i}] _ {e} = [V_ {\ tau (i)}] _ {e}}$

Ten wynik, dzięki Facchini, został rozszerzony na nieskończone sumy bezpośrednie modułów uniserialowych przez firmę Příhoda w 2006 roku. Rozszerzenie to obejmuje tak zwane moduły quasismall uniserial. Moduły te zdefiniowali Nguyen Viet Dung i Facchini, a ich istnienie udowodnił Puninski. Słaba forma twierdzenia Krulla-Schmidta obowiązuje nie tylko dla modułów uniserialowych, ale także dla kilku innych klas modułów (moduły biuniform, moduły prezentowane cyklicznie nad pierścieniami szeregowymi, jądra morfizmów między nierozkładalnymi modułami iniektywnymi, moduły prezentowane współbieżnie).

Uwagi dotyczące terminów alternatywnych, podobnych i pokrewnych

Prawe pierścienie uniserial mogą być również określane jako prawe pierścienie łańcuszkowe ( Faith 1999 ) lub prawe pierścienie wyceny . Ten ostatni termin odnosi się do pierścieni wartościujących , które są z definicji przemiennymi, uniserialowymi domenami . Z tego samego powodu moduły uniserial zostały nazwane modułami łańcuchowymi , a moduły szeregowe modułami półłańcuchowymi . Pojęcie pierścienia łańcuchowego ma „łańcuch” jako jego imiennik, ale generalnie nie jest związane z pierścieniami łańcuchowymi.

W latach 30. Gottfried Köthe i Keizo Asano wprowadzili termin Einreihig (dosłownie „ jednoszeregowy ”) podczas badań pierścieni, nad którymi wszystkie moduły są bezpośrednimi sumami podmodułów cyklicznych ( Köthe 1935 ). Z tego powodu uniserial był używany do oznaczania „głównego idealnego pierścienia artyńskiego ” nawet w latach 70. XX wieku. Artykuł Köthe wymagał również, aby uniserialowy pierścień miał unikalną serię kompozycji , co nie tylko wymusza liniową kolejność prawych i lewych ideałów, ale także wymaga, aby w łańcuchach lewych i prawych ideałów było tylko skończenie wiele. Ze względu na ten historyczny precedens, niektórzy autorzy włączają warunek artyński lub warunek o skończonej długości składu w swoich definicjach modułów i pierścieni uniserialowych.

Rozwijając pracę Köthe'a , Tadashi Nakayama użył terminu uogólniony pierścień uniserialowy ( Nakayama 1941 ) w odniesieniu do pierścienia seryjnego Artinian. Nakayama wykazał, że wszystkie moduły nad takimi pierścieniami są seryjne. Artyńskie pierścienie szeregowe są czasami nazywane algebrami Nakayamy i mają dobrze rozwiniętą teorię modułów.

Warfield użył terminu moduł jednorodnie szeregowy dla modułu szeregowego z dodatkową właściwością, że dla dowolnych dwóch skończenie generowanych podmodułów A i B , gdzie J (−) oznacza rodnik Jacobsona modułu ( Warfield 1975 ). W module o skończonej długości składu powoduje to wymuszenie izomorfizacji czynników składu, stąd przymiotnik „homogeniczny”. Okazuje się, że pierścień szeregowy R jest skończoną, prostą sumą jednorodnie szeregowych prawych ideałów wtedy i tylko wtedy, gdy R jest izomorficzny z pełnym pierścieniem macierzy n  ×  n nad lokalnym pierścieniem szeregowym. Takie pierścienie są również znane jako pierwotne ulegające rozkładowi pierścienie szeregowe ( Faith 1976 ) ( Hazewinkel, Gubareni i Kirichenko 2004 ) . ${\ Displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$błąd harv: brak celu: CITEREFHazewinkelGubareniKirichenko2004 ( pomoc )

Podręczniki

• Franka W. Andersona; Kent R. Fuller (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Springer, s. 347-349, ISBN 0-387-97845-3
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Pierścienie z warunkami łańcucha , Notatki badawcze z matematyki, 44 , Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
• Facchini, Alberto (1998), Pierścienie endomorfizmu i rozkłady sum bezpośrednich w niektórych klasach modułów , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
• Wiara, Carl (1976), Algebra. II. Teoria pierścieni. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, nr 191. Springer-Verlag
• Wiara, Carl (1999), Pierścienie i rzeczy oraz dobra tablica dwudziestowiecznej algebry asocjacyjnej , Badania i monografie matematyczne, 65. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-0993-8
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadija; Kirichenko, VV (2004), Algebry, pierścienie i moduły. Cz. 1. , Wydawnictwo Akademickie Kluwer, ISBN 1-4020-2690-0
• Puninski, Gennadi (2001), pierścienie seryjne , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

Podstawowe źródła

• Eisenbud, Dawid; Griffith, Phillip (1971), „Struktura pierścieni szeregowych”, Pacific J. Math. , 36 : 109–121, doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
• Facchini, Alberto (1996), „Krull-Schmidt zawodzi w przypadku modułów szeregowych”, Przeł. Amer. Matematyka. Soc. , 348 (11): 4561–4575, doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Köthe, Gottfried (1935), „Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkompleks Operatorenring. (niemiecki)”, Matematyka. Z. , 39 : 31-44, doi : 10.1007/bf01201343
• Nakayama, Tadasi (1941), "O algebrach Frobeniusa. II.", Roczniki Matematyki , Druga Seria, 42 (1): 1–21, doi : 10.2307/1968984 , hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR  1968984
• Příhoda, Pavel (2004), "Słabe twierdzenie Krulla-Schmidta i rozkłady sumy szeregowej modułów szeregowych o skończonym wymiarze Goldie", J. Algebra , 281 : 332-341, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• Příhoda, Pavel (2006), „Wersja słabego twierdzenia Krulla-Schmidta dla nieskończonych sum bezpośrednich modułów uniserialowych”, Comm. Algebra , 34 (4): 1479–1487, doi : 10.1080/00927870500455049
• Puninski, GT (2002), "Seryjne pierścienie Artinian i Noetherian.", J. Math. Nauka. (Nowy Jork) , 110 : 2330–2347, doi : 10.1023/A: 1014906008243
• Puninski, Gennadi (2001), „Niektóre teorie modeli w prawie prostej domenie uniserialowej i dekompozycji modułów szeregowych”, J. Pure Appl. Algebra , 163 (3): 319–337, doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• Puninski, Gennadi (2001), „Niektóre teorie modelowe nad wyjątkowym pierścieniem uniserialowym i rozkładami modułów szeregowych”, Journal of the London Mathematical Society , 64 (2): 311-326, doi : 10.1112/s0024610701002344
• Warfield, Robert B. Jr. (1975), "pierścienie szeregowe i skończenie przedstawione moduły.", J. Algebra , 37 (2): 187-222, doi : 10.1016/0021-8693(75) 90074-5