Moduł jednolity - Uniform module

W algebrze abstrakcyjnej moduł nazywa się modułem uniform, jeśli przecięcie dowolnych dwóch niezerowych podmodułów jest niezerowe. Jest to równoznaczne z powiedzeniem, że każdy niezerowy submoduł M jest podstawowym submodułem . Pierścień może być nazwany prawym (lewym) jednolitym pierścieniem, jeśli jest jednolity jako prawy (lewy) moduł nad sobą.

Alfred Goldie użył pojęcia jednolitych modułów do skonstruowania miary wymiaru dla modułów, obecnie znanej jako jednolity wymiar (lub wymiar Goldie ) modułu. Wymiar jednolity uogólnia niektóre, ale nie wszystkie aspekty pojęcia wymiaru przestrzeni wektorowej . Wymiar skończony jednorodny był kluczowym założeniem dla kilku twierdzeń Goldiego, w tym twierdzenia Goldiego , które charakteryzuje, które pierścienie są właściwymi rzędami w pierścieniu półprostym . Moduły o skończonych jednolitych wymiarach uogólniają zarówno moduły artyńskie, jak i moduły noetherskie .

W literaturze wymiar jednolity nazywany jest również po prostu wymiarem modułu lub rangą modułu . Wymiaru jednolitego nie należy mylić z pokrewnym pojęciem, także ze względu na Goldiego, o obniżonej randze modułu.

Właściwości i przykłady jednolitych modułów

Bycie jednolitym modułem zwykle nie jest zachowane przez produkty bezpośrednie lub moduły ilorazowe. Bezpośrednia suma dwóch niezerowych modułów jednolitych zawsze zawiera dwa podmoduły z przecięciem zerowym, a mianowicie dwa oryginalne moduły summand. Jeśli N 1 i N 2 są właściwymi submodułami jednolitego modułu M i żaden z submodułów nie zawiera drugiego, to nie jest jednorodny, ponieważ

Moduły uniserial są jednolite, a moduły jednolite są z konieczności bezpośrednio nierozkładalne. Dowolna domena przemienne jest jednolity pierścień, ponieważ jeśli i b są niezerowe elementy dwóch idei, produkt AB jest elementem niezerowe w przecięciu idei.

Jednolity wymiar modułu

Poniższe twierdzenie umożliwia zdefiniowanie wymiaru na modułach za pomocą jednolitych podmodułów. Jest to modułowa wersja twierdzenia o przestrzeni wektorowej:

Twierdzenie Jeśli U I i V J należą skończonego zbioru ujednoliconych podmodułów modułu M, tak że i to zarówno niezbędne submodułów z M , a n  =  m .

Wymiar jednolity z modułu M , oznaczoną u.dim ( M ), jest zdefiniowana jako brak jeśli istnieje skończony zestaw jednolitych podmodułów U i tak, że jest podstawowym modułem z M . Poprzednie twierdzenie zapewnia, że ​​to n jest dobrze zdefiniowane. Jeśli taki skończony zbiór submodułów nie istnieje, to u.dim( M ) jest definiowane jako ∞. Mówiąc wymiaru jednolitego pierścienia, konieczne jest określenie, czy u.dim ( R R ), albo raczej u.dim ( R R ), jest mierzona. Możliwe jest posiadanie dwóch różnych jednakowych wymiarów po przeciwnych stronach pierścienia.

Jeśli N jest submodułem M , wtedy u.dim( N ) ≤ u.dim( M ) z równością dokładnie wtedy, gdy N jest podstawowym submodułem M . W szczególności, M i jego iniekcyjny kadłub E ( M ) zawsze mają ten sam jednolity wymiar. Prawdą jest również, że u.dim( M ) =  n wtedy i tylko wtedy, gdy E ( M ) jest bezpośrednią sumą n nierozkładalnych modułów iniekcyjnych .

Można pokazać, że u.dim( M ) = ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy M zawiera nieskończoną prostą sumę niezerowych podmodułów. Tak więc, jeśli M jest noetheryjskim lub artyńskim, M ma skończony, jednolity wymiar. Jeśli M ma skończoną długość kompozycji k , to u.dim( M ) ≤ k z równością dokładnie wtedy, gdy M jest modułem półprostym . ( Lam 1999 )

Standardowym wynikiem jest to, że właściwa domena Noetherian jest właściwa domeną Rudy . W rzeczywistości możemy odzyskać ten wynik z innego twierdzenia przypisanego Goldiem, które mówi, że następujące trzy warunki są równoważne dla dziedziny D :

  • D ma rację Ore
  • u.dim( D D ) = 1
  • u.dim( D D ) < ∞

Puste moduły i wspólny wymiar

Podwójnego pojęcie jednolitego modułu jest z modułu wydrążonego : moduł M mówi się pusty, jeżeli, kiedy N +1 i N 2 są podmoduły z M , tak że , wówczas N 1  =  M lub N 2  =  K . Równoważnie można by również powiedzieć, że każdy właściwy submoduł M jest submodułem zbędnym .

Moduły te przyjmują również analog jednolity wymiar, zwane wspólnie niejednorodny wymiar , corank , wydrążonego wymiaru lub podwójny wymiar Goldie . Badania nad modułami pustymi i wymiarami współjednorodnymi przeprowadzono w ( Fleury 1974 ) , ( Reiter 1981 ) , ( Takeuchi 1976 ) , ( Varadarajan 1979 ) i ( Miyashita 1966 ) . Ostrzega się czytelnika, że ​​Fleury badała różne sposoby dualizacji wymiaru Goldie. Wersje pustego wymiaru Varadarajana, Takeuchiego i Reitera są prawdopodobnie bardziej naturalne. Grzeszczuk i Puczylowski w ( Grzeszczuk i Puczylowski 1984 ) podali definicję wymiaru jednorodnego dla sieci modułowych w taki sposób, że pusty wymiar modułu był wymiarem jednorodnym jego podwójnej sieci podmodułów.

Zawsze jest tak, że moduł skończenie skojarzony ma skończenie jednorodny wymiar. Rodzi to pytanie: czy skończenie wygenerowany moduł ma skończony pusty wymiar? Odpowiedź okazuje się być: to zostało pokazane na ( Saratha i Varadarajan 1979 ) , który, gdy moduł M ma skończoną wymiar wydrążony, a M / J ( M ) jest półprosty , moduł Artinian . Istnieje wiele pierścieni z jednością, dla których R / J ( R ) nie jest półprostym artyńskim, a biorąc pod uwagę taki pierścień R , samo R jest skończone, ale ma nieskończony pusty wymiar.

Sarath i Varadarajan wykazali później, że M / J ( M ) będąc półprostym artyńskim jest również wystarczające, aby M miało skończony wymiar pusty pod warunkiem, że J ( M ) jest zbędnym podmodułem M . Pokazuje to, że pierścienie R o skończonych wymiarach pustych w środku jako lewy lub prawy moduł R są dokładnie pierścieniami semilokalnymi .

Dodatkowym następstwem wyniku Varadarajan jest to, że R R ma skończony wymiar wydrążony dokładnie kiedy R R robi. Kontrastuje to z przypadkiem o skończonych jednolitych wymiarach, ponieważ wiadomo, że pierścień może mieć skończony jednolity wymiar z jednej strony i nieskończony jednolity wymiar z drugiej.

Podręczniki

  • Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady na modułach i pierścieniach , Teksty magisterskie z matematyki, 189 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR  1653294

Podstawowe źródła

  • Grezeszcuk, P; Puczylowski, E (1984), "O Goldie i dual Goldie wymiar", Journal of Pure and Applied Algebra , 31 (1-3): 47-55, doi : 10.1016/0022-4049(84)90075-6
  • Hanna A.; Shamsuddin, A. (1984), Duality w kategorii modułów: Aplikacje , Reinhard Fischer, ISBN 978-3889270177
  • Miyashita, Y. (1966), „Moduły quasi-rzutowe, doskonałe moduły i twierdzenie o sieciach modułowych”, J. Fac. Nauka. Hokkaido Ser. I , 19 : 86-110, MR  0213390
  • Reiter, E. (1981), „Podwójny do warunku łańcucha rosnącego Goldie na sumach bezpośrednich submodułów”, Bull. Kalkuta Matematyka. Soc. , 73 : 55–63