Odbicie punktowe - Point reflection

W geometrii , a odbicie punktu lub inwersji w punkcie (lub inwersji poprzez punkt lub centralnego inwersji ) jest typu izometrii z przestrzeni euklidesowej . Mówi się, że obiekt, który jest niezmienny w odbiciu punktowym, posiada symetrię punktową ; jeśli jest niezmienny w odbiciu punktowym przez środek, mówi się, że posiada centralną symetrię lub jest centralnie symetryczny .

Odbicie punktowe można zaliczyć do transformacji afinicznej . Mianowicie jest to izometryczna inwolutywna transformacja afiniczna, która ma dokładnie jeden stały punkt , którym jest punkt inwersji. Jest to równoważne transformacji homotetycznej ze współczynnikiem skali równym -1. Punkt inwersji nazywany jest również środkiem homotetycznym .

Terminologia

Termin refleksja jest luźny i przez niektórych uważany za nadużycie języka, z preferowaną inwersją ; jednak szeroko stosowana jest refleksja punktowa . Takie mapy są inwolucjami , co oznacza, że ​​mają rząd 2 - są swoją własną odwrotnością: ich dwukrotne zastosowanie daje mapę tożsamości - co jest również prawdą w przypadku innych map zwanych odbiciami . Ściślej rzecz ujmując, ą odbicie oznacza odbicie w hiperpłaszczyznę ( wymiarowej afinicznej podprzestrzeni - punkt na linii , linii w płaszczyźnie , płaszczyźnie w przestrzeni 3-wymiarowej) z hiperpłaszczyznę jest stała, ale zasadniczo odbicie stosuje się każda inwolucja przestrzeni euklidesowej i zbiór ustalony (przestrzeń afiniczna wymiaru k , gdzie ) nazywana jest zwierciadłem . W wymiarze 1 pokrywają się one, ponieważ punkt jest hiperpłaszczyzną w linii. ${\ displaystyle n-1}$${\ Displaystyle 1 \ równoważnik k \ równoważnik n-1}$

Jeśli chodzi o algebrę liniową, zakładając, że początek jest stały, inwolucje są dokładnie odwzorowaniami diagonalizującymi ze wszystkimi wartościami własnymi 1 lub -1. Odbicie w hiperpłaszczyźnie ma jedną wartość własną -1 (i wielokrotność na 1 wartości własnej), podczas gdy odbicie punktowe ma tylko wartość własną -1 (z wielokrotnością n ). ${\ displaystyle n-1}$

Termin inwersja nie powinien być mylony z geometrią inwersyjną , w której inwersja jest definiowana w odniesieniu do koła.

Przykłady

Przykłady 2D

Sześciokątny równoległobok

Ośmiokąt

W dwóch wymiarach odbicie punktowe jest tym samym, co obrót o 180 stopni. W trzech wymiarach odbicie punktowe można opisać jako obrót o 180 stopni składający się z odbicia w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. W wymiarze n odbicia punktów zachowują orientację, jeśli n jest parzyste, i odwrócenie orientacji, jeśli n jest nieparzyste.

Formuła

Biorąc pod uwagę wektor a w przestrzeni euklidesowej R ⁿ , wzór na odbicie a przez punkt p jest

${\ Displaystyle \ mathrm {Ref} _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {a}) = 2 \ mathbf {p} - \ mathbf {a}.}$

W przypadku, gdy p jest początkiem, odbicie punktowe jest po prostu negacją wektora a .

W geometrii euklidesowej The odwrócenie o punkcie X , w odniesieniu do punktu P jest punktem X * tak, że p jest punkt środkowy segmentu linii, z końcowymi X i X *. Innymi słowy, wektor od X do P jest taki sam, jak wektor od P do X *.

Wzór na inwersję w P to

x * = 2 a - x

gdzie a , x i x * są wektorami pozycji odpowiednio P , X i X *.

To odwzorowanie jest izometryczne involutive przekształcenie afiniczne który ma dokładnie jeden punkt stały , który jest P .

Odbicie punktowe jako szczególny przypadek jednolitego skalowania lub homothety

Gdy punkt inwersji P pokrywa się z punktem początkowym, odbicie punktowe jest równoważne specjalnemu przypadkowi jednolitego skalowania : jednorodnemu skalowaniu ze współczynnikiem skali równym -1. To jest przykład transformacji liniowej .

Gdy P nie pokrywa się z początkiem, odbicie punktowe jest równoważne specjalnemu przypadkowi transformacji homotetycznej: homotetyczności z centrum homotetycznym zbieżnym z P i współczynnikiem skali −1. To jest przykład nieliniowej transformacji afinicznej ).

Punktowa grupa refleksji

Skład dwóch odbić punktowych jest tłumaczenie . W szczególności odbicie punktowe w p, po którym następuje odbicie punktowe w q, jest przesunięciem przez wektor 2 ( q  - p ).

Zbiór składający się ze wszystkich odbić punktowych i tłumaczeń to podgrupa Lie z grupy euklidesowej . Jest iloczynów produkt o R ^N w cyklicznej grupie o uporządkowaniu 2, z których wybiera z R ⁿ o negacji. To właśnie podgrupa grupy euklidesowej ustala linię w nieskończoności punktowo.

W przypadku n = 1 punktową grupą odbić jest pełna grupa izometrii prostej.

Refleksje punktowe w matematyce

• Odbicie punktowe w poprzek środka kuli daje mapę antypodalną .
• Symetrycznej przestrzeni jest Riemanna kolektor z izometrycznego odbicia całej każdego punktu. Przestrzenie symetryczne odgrywają ważną rolę w badaniu grup Liego i geometrii riemannowskiej .

Odbicie punktowe w geometrii analitycznej

Biorąc pod uwagę punkt i jego odbicie w stosunku do punktu , ten ostatni jest środkiem odcinka ; ${\ Displaystyle P (x, y)}$${\ Displaystyle P '(x', y ')}$${\ Displaystyle C (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle {\ overline {PP '}}}$

${\ displaystyle {\ begin {przypadki} x_ {c} = {\ frac {x + x '} {2}} \\ y_ {c} = {\ frac {y + y'} {2}} \ koniec { przypadki}}}$

Stąd równania do znalezienia współrzędnych odbitego punktu to

${\ displaystyle {\ begin {przypadków} x '= 2x_ {c} -x \\ y' = 2y_ {c} -y \ koniec {przypadków}}}$

Szczególnie dotyczy to przypadku, gdy punkt C ma współrzędne (patrz akapit poniżej ) ${\ Displaystyle (0,0)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x '= - x \\ y' = - y \ koniec {przypadków}}}$

Nieruchomości

W jeszcze wymiarowej przestrzeni euklidesowej , przykładowo 2 N wymiarową przestrzeń, inwersja w punkcie P odpowiada N obrotów na kąty gatunku w każdej płaszczyźnie dowolnego zestawu N wzajemnie prostopadłych płaszczyznach przecinających się P . Te rotacje są wzajemnie przemienne. Dlatego też inwersja w punkcie w przestrzeni parzysto-wymiarowej jest izometrią zachowującą orientację lub izometrią bezpośrednią .

W nieparzysto-wymiarowej przestrzeni euklidesowej , powiedzmy (2 N  + 1) -wymiarowej, jest to równoważne N obrotom nad π w każdej płaszczyźnie dowolnego zbioru N wzajemnie ortogonalnych płaszczyzn przecinających się w punkcie P , w połączeniu z odbiciem w 2 N -wymiarowa podprzestrzeń rozpięta przez te płaszczyzny obrotu. Dlatego raczej odwraca niż zachowuje orientację , jest to izometria pośrednia .

Geometrycznie w 3D sprowadza się do obrotu wokół osi przechodzącej przez P o kąt 180 °, połączonego z odbiciem w płaszczyźnie przez P prostopadłej do osi; wynik nie zależy od orientacji (w innym sensie) osi. Oznaczenia dotyczące rodzaju operacji, albo typu grup generuje są , C, _I , S, ₂ i 1 x. Typ grupy jest jednym z trzech typów grup symetrii w 3D bez czystej symetrii obrotowej , patrz symetrie cykliczne z n  = 1. ${\ displaystyle {\ overline {1}}}$

Następujące grupy punktów w trzech wymiarach zawierają inwersję:

• C _{n h} i D _{n h} nawet dla n
• S _{2 n} i D _{n d} o nieparzystej N
• T _H , O _H i I _H

Ściśle związane z odwrotnością w punkcie jest odbicie w stosunku do płaszczyzny , które można traktować jako „inwersję w płaszczyźnie”.

Centra inwersji w krystalografii

Cząsteczki zawierają centrum inwersji, gdy istnieje punkt, przez który wszystkie atomy mogą się odbić, zachowując symetrię. W krystalografii obecność centrów inwersji rozróżnia związki centrosymetryczne i niecentrosymetryczne. Struktury kryształów składają się z różnych wielościanów, podzielonych na kategorie według ich liczby koordynacyjnej i kątów wiązania. Na przykład wielościany o czterech współrzędnych są klasyfikowane jako czworościany, podczas gdy środowiska o pięciu współrzędnych mogą być kwadratowe piramidalne lub trygonalne dwupiramidowe, w zależności od kątów wiązania. Wszystkie związki krystaliczne powstają w wyniku powtórzenia atomowego bloku budulcowego znanego jako komórka elementarna, a te komórki elementarne określają, która forma wielościanu iw jakiej kolejności. Te wielościany łączą się ze sobą poprzez współdzielenie narożników, krawędzi lub ścian, w zależności od tego, które atomy mają wspólne wiązania. Wielościany zawierające centra inwersji są znane jako centrosymetryczne, podczas gdy te bez centra inwersji są niecentrosymetryczne. Ośmiościany o sześciu współrzędnych są przykładem centrosymetrycznych wielościanów, ponieważ centralny atom działa jako centrum inwersji, przez które sześć związanych atomów zachowuje symetrię. Z drugiej strony czworościany są niecentrosymetryczne, ponieważ inwersja przez centralny atom spowodowałaby odwrócenie wielościanu. Należy zauważyć, że geometrie wiązania z nieparzystymi liczbami koordynacyjnymi muszą być niecentrosymetryczne, ponieważ te wielościany nie będą zawierać środków inwersji.

Rzeczywistym wielościanom w kryształach często brakuje jednorodności przewidywanej w ich geometrii wiązania. Typowe nieprawidłowości w krystalografii obejmują zniekształcenia i zaburzenia. Zniekształcenie obejmuje wypaczanie wielościanów z powodu niejednorodnych długości wiązań, często z powodu różnego przyciągania elektrostatycznego między heteroatomami. Na przykład centrum tytanu będzie prawdopodobnie wiązało się równomiernie z sześcioma atomami tlenu w oktaedrze, ale wystąpiłoby zniekształcenie, gdyby jeden z atomów tlenu został zastąpiony bardziej elektroujemnym fluorem. Zniekształcenia nie zmienią nieodłącznej geometrii wielościanów - zniekształcony ośmiościan jest nadal klasyfikowany jako ośmiościan, ale wystarczająco silne zniekształcenia mogą mieć wpływ na centrosymetrię związku. Zaburzenie polega na podzieleniu zajmowania dwóch lub więcej miejsc, w których atom będzie zajmował jedną pozycję krystalograficzną w pewnym procencie wielościanów, a drugą w pozostałych pozycjach. Zaburzenie może również wpływać na centrosymetrię niektórych wielościanów, w zależności od tego, czy obłożenie jest podzielone na już istniejące centrum inwersji.

Centrosymetria dotyczy również struktury kryształu jako całości. Kryształy są podzielone na trzydzieści dwie krystalograficzne grupy punktów, które opisują, w jaki sposób różne wielościany układają się w przestrzeni w strukturze masowej. Z tych trzydziestu dwóch grup punktowych jedenaście jest centrosymetrycznych. Obecność niecentrosymetrycznych wielościanów nie gwarantuje, że grupa punktów będzie taka sama - dwa niecentrosymetryczne kształty można zorientować w przestrzeni w sposób, który zawiera środek inwersji między nimi. Dwa czworościany zwrócone do siebie mogą mieć środek inwersji w środku, ponieważ orientacja pozwala każdemu atomowi mieć odbitą parę. Odwrotność jest również prawdziwa, ponieważ wiele centrosymetrycznych wielościanów można ustawić w celu utworzenia niecentrosymetrycznej grupy punktowej.

Związki niecentrosymetryczne mogą być przydatne do zastosowań w optyce nieliniowej. Brak symetrii poprzez centra inwersji może pozwolić obszarom kryształu na różne interakcje z wpadającym światłem. Długość fali, częstotliwość i intensywność światła podlegają zmianom, gdy promieniowanie elektromagnetyczne oddziałuje z różnymi stanami energii w całej konstrukcji. Fosforan potasowo-tytanylowy, KTiOPO ₄ (KTP) krystalizuje w niecentrosymetrycznej, rombowej grupie przestrzennej Pna21 i jest użytecznym kryształem nieliniowym. KTP jest używany w laserach domieszkowanych neodymem z podwajaniem częstotliwości, wykorzystujących nieliniową właściwość optyczną znaną jako generacja drugiej harmonicznej. Nadal bada się zastosowania materiałów nieliniowych, ale właściwości te wynikają z obecności (lub jego braku) centrum inwersji.

Odwrócenie w odniesieniu do pochodzenia

Odwrócenie względem początku odpowiada addytywnej inwersji wektora pozycji, a także mnożeniu przez skalar przez −1. Do pracy dojeżdża z każdej innej transformacji liniowej , ale nie z tłumaczeniem : Jest w centrum z ogólnej grupy liniowej . „Inwersja” bez wskazania „w punkcie”, „w linii” lub „w płaszczyźnie” oznacza tę inwersję; W fizyce trójwymiarowe odbicie przez pochodzenie jest również nazywane transformacją parzystości .

W matematyce odbicie przez początek oznacza odbicie punktowej euklidesowej przestrzeni R ⁿ przez pochodzenia z układu współrzędnych kartezjańskich . Odbicie przez początek jest transformacją ortogonalną odpowiadającą mnożeniu przez skalar przez , i może być również zapisane jako , gdzie jest macierz tożsamości . W trzech wymiarach to wysyła i tak dalej. ${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle -I}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle (x, y, z) \ mapsto (-x, -y, -z)}$

Reprezentacje

Jako skalarnych macierzy , jest przedstawiony na każdej podstawie przez macierz na przekątnej, a wraz z danymi, to środek z ortogonalnym grupy . ${\ displaystyle -1}$ ${\ Displaystyle O (n)}$

Jest iloczynem n odbić ortogonalnych (odbicia przez osie dowolnej podstawy ortogonalnej ); zwróć uwagę, że odbicia ortogonalne dojeżdżają do pracy.

W dwóch wymiarach jest to w rzeczywistości obrót o 180 stopni, aw wymiarze obrót o 180 stopni w n prostopadłych płaszczyznach; Zwróć uwagę ponownie, że rotacje w prostopadłych płaszczyznach powodują dojazdy. ${\ displaystyle 2n}$

Nieruchomości

Ma wyznacznik (od reprezentacji przez macierz lub jako iloczyn odbić). Tym samym zachowuje orientację w parzystym wymiarze, a więc jest elementem specjalnej ortogonalnej grupy SO (2 n ), i jest odwracaniem orientacji w nieparzystym wymiarze, a więc nie jest elementem SO (2 n  + 1), a zamiast tego zapewnia podział mapy , pokazujący, że jest to produkt wewnętrzny bezpośredni . ${\ Displaystyle (-1) ^ {n}}$${\ Displaystyle O (2n + 1) \ do \ pm 1}$${\ Displaystyle O (2n + 1) = SO (2n + 1) \ razy \ {\ pm ja \}}$

• Wraz z tożsamości, tworzy się ośrodek z prostopadłym grupy .
• Zachowuje każdą kwadratową formę, znaczenie , a zatem jest również elementem każdej nieokreślonej grupy ortogonalnej . ${\ Displaystyle Q (-v) = P (v)}$
• Jest równa tożsamości wtedy i tylko wtedy, gdy cechą jest 2.
• Jest to najdłuższy element z grupy Coxeter z podpisanych permutacji .

Analogicznie jest to najdłuższy element grupy ortogonalnej w odniesieniu do generującego zbioru odbić: wszystkie elementy grupy ortogonalnej mają długość co najwyżej n w odniesieniu do zbioru generującego odbicia, a odbicie przez początek ma długość n, chociaż nie jest w tym wyjątkowy: inne maksymalne kombinacje obrotów (i prawdopodobnie odbicia) również mają maksymalną długość.

Geometria

W SO (2 r ) odbicie przez początek jest najdalszym punktem od elementu tożsamości w stosunku do zwykłej metryki. W O (2 r + 1) odbicie przez początek nie znajduje się w SO (2 r + 1) (jest w składniku nieidentyfikacyjnym) i nie ma naturalnego sensu, w którym jest „dalszym punktem” niż dowolny inny punkt w komponencie niebędącym tożsamością, ale zapewnia punkt bazowy w innym komponencie.

Algebry Clifforda i grupy spinowe

Należy nie należy mylić z elementem w grupie wirowania . Jest to szczególnie mylące dla równych grup spinowych, tak jak , a zatem są tam oba i 2 podniesienia . ${\ Displaystyle -1 \ w \ mathrm {Spin} (n)}$${\ Displaystyle -I \ w SO (2n)}$${\ displaystyle \ operatorname {spin} (n)}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle -I}$

Refleksja poprzez tożsamość rozciąga się na automorfizm algebry Clifforda , zwany inwolucją główną lub inwolucją stopni.

Odbicie poprzez tożsamość wznosi się do pseudoskalaru .

Zobacz też

• Inwolucja afiniczna
• Inwersja koła
• Algebra Clifforda
• Kongruencja (geometria)
• Miara Estermanna
• Grupa euklidesowa
• Miara Kovner – Besicovitch
• Grupa ortogonalna
• Parzystość (fizyka)
• Refleksja (matematyka)
• Przestrzeń symetryczna Riemanna
• Grupa wirowania

Uwagi

Bibliografia