Transformacja ortogonalna - Orthogonal transformation

W liniowym Algebra An prostopadłe transformacja jest liniową transformację t  :  V  →  V na rzeczywistym wewnętrznej przestrzeni produktu V , który zachowuje iloczyn skalarny . Oznacza to, że dla każdej pary u , v elementów  V , mamy

${\ Displaystyle \ langle u, v \ rangle = \ langle Tu, Tv \ rangle \,.}$

Ponieważ długości wektorów i kąty między nimi są określone przez iloczyn skalarny, przekształcenia ortogonalne zachowują długości wektorów i kąty między nimi. W szczególności transformacje ortogonalne odwzorowują bazy ortonormalne na bazy ortonormalne.

Przekształcenia ortogonalne są injective : czy wtedy , stąd , więc jądro z jest trywialne. ${\ Displaystyle Tv = 0}$${\ Displaystyle 0 = \ langle Tv, Tv \ rangle = \ langle v, v \ rangle }$${\displaystyle v=0}$${\ Displaystyle T}$

Transformacje ortogonalne w dwu- lub trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej to sztywne rotacje , odbicia lub kombinacje rotacji i odbicia (znane również jako niewłaściwe rotacje ). Odbicia to transformacje, które odwracają kierunek od przodu do tyłu, prostopadły do ​​płaszczyzny lustra, tak jak robią to (w rzeczywistym świecie) lustra. Te matryce odpowiadające właściwych obrotów (bez odbicia) posiadają determinanty +1. Transformacje z odbiciem są reprezentowane przez macierze z wyznacznikiem -1. Pozwala to na uogólnienie koncepcji rotacji i odbicia na wyższe wymiary.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych reprezentacja macierzowa (w odniesieniu do bazy ortonormalnej ) transformacji ortogonalnej jest macierzą ortogonalną . Jego wiersze są wzajemnie ortogonalnymi wektorami o jednostkowej normie, tak że wiersze stanowią bazę ortonormalną  V . Kolumny macierzy tworzą kolejną bazę ortonormalną  V .

Jeśli transformacja ortogonalna jest odwracalna (co ma miejsce zawsze, gdy V jest skończenie wymiarowe), to jej odwrotnością jest kolejna transformacja ortogonalna. Jego reprezentacja macierzowa jest transpozycją reprezentacji macierzy oryginalnej transformacji.

Przykłady

Rozważ przestrzeń produktu wewnętrznego ze standardowym produktem wewnętrznym euklidesowym i standardową podstawą. Następnie transformacja macierzowa ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2} \ langle \ cdot \ cdot \ rangle )}$

${\ Displaystyle T = {\ zacząć {bmatrix} \ cos (\ theta) i - \ sin (\ theta) \ \ \ sin (\ theta) i \ cos (\ theta) \ koniec {bmatrix}}: \ mathbb { R} ^{2}\do \mathbb {R} ^{2}}$

jest ortogonalny. Aby to zobaczyć, rozważ

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} Te_ {1} = {\ zacząć {bmatrix} \ cos (\ theta) \ \ \ sin (\ theta) \ koniec {bmatrix}} i te_ {2} = {\ zacząć {bmatrix }-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Następnie,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównany} i \ langle Te_ {1}, Te_ {1} \ rangle = {\ zacząć {bmatrix} \ cos (\ theta) i \ grzech (\ theta) \ koniec {bmatrix}} \ cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )= 1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix }-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0 \\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix }-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end {wyrównany}}}$

Poprzedni przykład można rozszerzyć, aby skonstruować wszystkie przekształcenia ortogonalne. Na przykład poniższe macierze definiują przekształcenia ortogonalne na : ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3} \ langle \ cdot \ cdot \ rangle )}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ cos (\ theta) i - \ sin (\ theta) i 0 \ \ \ sin (\ theta) i \ cos (\ teta) i 0 \ \ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}, {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix }1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$

Zobacz też

• Niewłaściwa rotacja
• Transformacja liniowa
• Macierz ortogonalna
• Transformacja jednostkowa

Bibliografia