System liczbowy - Numeral system
Systemy liczbowe |
---|
System liczb hindusko-arabskich |
Azji Wschodniej |
amerykański |
Alfabetyczny |
Dawny |
Systemy pozycyjne według bazy |
Niestandardowe pozycyjne systemy liczbowe |
Lista systemów liczbowych |
System liczbowy (lub system numeracji ) to system pisania do wyrażania liczb; to jest notacja matematyczna do przedstawiania liczb z danego zestawu, przy użyciu cyfr lub innych symboli w spójny sposób.
Ta sama sekwencja symboli może reprezentować różne liczby w różnych systemach liczbowych. Na przykład "11" reprezentuje liczbę jedenaście w systemie dziesiętnym (używanym w życiu codziennym), liczbę trzy w systemie dwójkowym (używanym w komputerach ) oraz liczbę dwa w systemie jednoargumentowym (np. używaną do zliczania wyniki).
Liczba, którą reprezentuje cyfra, nazywana jest jej wartością. Nie wszystkie systemy liczbowe mogą reprezentować wszystkie liczby, które są brane pod uwagę w dzisiejszych czasach; na przykład cyfry rzymskie nie mają zera.
W idealnym przypadku system liczbowy będzie:
- Reprezentują użyteczny zestaw liczb (np. wszystkie liczby całkowite lub liczby wymierne )
- Nadaj każdej liczbie reprezentowanej unikalną reprezentację (lub przynajmniej standardową reprezentację)
- Odzwierciedlaj algebraiczną i arytmetyczną strukturę liczb.
Na przykład, zwykle reprezentacja dziesiętna daje każdemu niezerową liczbą naturalną unikalną reprezentację jako skończonej sekwencji z cyfr , poczynając od cyfry niezerowej.
Systemy liczbowe są czasami nazywane systemami liczbowymi , ale nazwa ta jest niejednoznaczna, gdyż mogłaby odnosić się do różnych systemów liczbowych, takich jak system liczb rzeczywistych , system liczb zespolonych , system liczb p- adycznych itp. Takie systemy nie są jednak tematem tego artykułu.
Główne systemy liczbowe
Najczęściej używanym systemem cyfr jest dziesiętny . Indyjskim matematykom przypisuje się opracowanie wersji liczb całkowitych, hindusko-arabskiego systemu liczbowego . Aryabhata z Kusumapur rozwinął notację z wartością miejsca w V wieku, a sto lat później Brahmagupta wprowadził symbol oznaczający zero . System powoli rozprzestrzenił się na inne sąsiednie regiony, takie jak Arabia, ze względu na ich działalność handlową i militarną z Indiami. Matematycy z Bliskiego Wschodu rozszerzyli system o ujemne potęgi 10 ( ułamki ), jak zapisano w traktacie matematyka syryjskiego Abu'l-Hasana al-Uqlidisiego w latach 952-953, a notację dziesiętną wprowadził Sind ibn Ali , który również napisał najwcześniejszy traktat o cyfrach arabskich. System cyfr hindusko-arabskich rozprzestrzenił się następnie na Europę z powodu handlu kupcami, a cyfry używane w Europie nazywane są cyframi arabskimi , ponieważ nauczyli się ich od Arabów.
Najprostszym systemem liczbowym jest system liczb jednoargumentowych , w którym każda liczba naturalna jest reprezentowana przez odpowiednią liczbę symboli. Jeśli na przykład zostanie wybrany symbol / , liczba siedem będzie reprezentowana przez /////// . Znaki Tally reprezentują jeden z takich systemów, który wciąż jest w powszechnym użyciu. System jednoargumentowy jest przydatny tylko dla małych liczb, chociaż odgrywa ważną rolę w informatyce teoretycznej . Elias gamma coding , który jest powszechnie używany w kompresji danych , wyraża liczby o dowolnej wielkości przy użyciu liczby jednoargumentowej do wskazania długości liczby binarnej.
Notację jednoargumentową można skrócić, wprowadzając różne symbole dla pewnych nowych wartości. Bardzo często wartości te są potęgami 10; więc na przykład, jeśli / oznacza jeden, − dziesięć i + 100, to liczbę 304 można zwięźle przedstawić jako +++ //// a liczbę 123 jako + − − /// bez potrzeby zera . Nazywa się to notacją znak-wartość . Tego typu był starożytny egipski system liczbowy , a rzymski system liczbowy był modyfikacją tego pomysłu.
Jeszcze bardziej przydatne są systemy, w których stosuje się specjalne skróty dla powtórzeń symboli; na przykład, używając pierwszych dziewięciu liter alfabetu dla tych skrótów, gdzie A oznacza „jedno wystąpienie”, B „dwa wystąpienia” itd., można wtedy napisać C+ D/ dla liczby 304. Ten system jest używany podczas pisania cyfr chińskich i innych cyfr wschodnioazjatyckich opartych na języku chińskim. System liczbowy w języku angielskim jest tego typu („trzysta [i] cztery”), podobnie jak w innych językach mówionych , niezależnie od tego, jakie systemy pisane zostały przyjęte. Jednak wiele języków używa mieszanek zasad i innych cech, na przykład 79 w języku francuskim to soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ), a w walijskim to pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) lub (nieco archaiczny) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 − 1 ). Po angielsku można by powiedzieć „cztery punkty mniej jeden”, jak w słynnym przemówieniu gettysburskim, gdzie „87 lat temu” to „cztery punkty i siedem lat temu”.
Bardziej elegancki jest system pozycyjny , znany również jako notacja wartości miejsca. Ponownie, pracując o podstawie 10, używa się dziesięciu różnych cyfr 0, ..., 9, a pozycja cyfry służy do oznaczenia potęgi dziesiątej, przez którą cyfra ma być pomnożona, tak jak w 304 = 3×100 + 0 ×10 + 4×1 lub dokładniej 3×10 2 + 0×10 1 + 4×10 0 . Zero, które w innych systemach nie jest potrzebne, ma tutaj kluczowe znaczenie, aby móc „przeskoczyć” moc. System cyfr hindusko-arabskich, który powstał w Indiach i jest obecnie używany na całym świecie, jest systemem pozycyjnym o podstawie 10.
Arytmetyka jest znacznie łatwiejsza w systemach pozycyjnych niż we wcześniejszych systemach addytywnych; ponadto systemy dodatków wymagają dużej liczby różnych symboli dla różnych mocy 10; system pozycyjny potrzebuje tylko dziesięciu różnych symboli (zakładając, że używa podstawy 10).
Pozycyjny system dziesiętny jest obecnie powszechnie używany w piśmiennictwie ludzkim. Podstawa 1000 jest również używana (choć nie powszechnie), grupując cyfry i uznając sekwencję trzech cyfr dziesiętnych za pojedynczą cyfrę. Takie jest znaczenie wspólnej notacji 1 000 234 567 używanej dla bardzo dużych liczb.
W komputerach główne systemy liczbowe oparte są na systemie pozycyjnym o podstawie 2 ( system binarny ), z dwiema cyframi binarnymi , 0 i 1. Systemy pozycyjne otrzymywane przez grupowanie cyfr binarnych przez trzy ( system ósemkowy ) lub cztery ( liczba szesnastkowa) system ) są powszechnie używane. W przypadku bardzo dużych liczb całkowitych stosuje się podstawy 2 32 lub 2 64 (grupujące cyfry binarne przez 32 lub 64, długość słowa maszynowego ) jak np. w GMP .
W niektórych systemach biologicznych stosuje się jednoargumentowy system kodowania . Liczby jednoargumentowe używane w obwodach neuronowych odpowiedzialnych za produkcję śpiewu ptaków . Jądrem w mózgu ptaków śpiewających, który odgrywa rolę zarówno w uczeniu się, jak i wytwarzaniu ptasiego śpiewu, jest HVC ( wysokie centrum wokalne ). Sygnały poleceń dla różnych nut w śpiewie ptaków emanują z różnych punktów HVC. To kodowanie działa jak kodowanie przestrzenne, które jest wydajną strategią dla obwodów biologicznych ze względu na swoją naturalną prostotę i solidność.
Cyfry używane przy zapisywaniu liczb za pomocą cyfr lub symboli można podzielić na dwa typy, które można nazwać cyframi arytmetycznymi (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) oraz cyframi geometrycznymi (1 , 10, 100, 1000, 10000 ...). Systemy znak-wartość używają tylko cyfr geometrycznych, a systemy pozycyjne używają tylko cyfr arytmetycznych. System znak-wartość nie potrzebuje liczb arytmetycznych, ponieważ są one tworzone przez powtórzenie (z wyjątkiem systemu jonowego ), a system pozycyjny nie potrzebuje liczb geometrycznych, ponieważ są one tworzone przez pozycję. Jednak język mówiony używa zarówno liczb arytmetycznych, jak i geometrycznych.
W niektórych dziedzinach informatyki stosowany jest zmodyfikowany bazowy system pozycyjny k , zwany numeracją bijektywną , w którym cyfry 1, 2, ..., k ( k ≥ 1 ) i zero są reprezentowane przez pusty ciąg. To ustanawia bijekcję między zbiorem wszystkich takich ciągów cyfr a zbiorem nieujemnych liczb całkowitych, unikając niejednoznaczności spowodowanej przez wiodące zera. Bijective base- k numeracja jest również nazywana notacją k- adyczną, której nie należy mylić z liczbami p- adycznymi . Bijective base 1 jest taki sam jak jednoargumentowy.
Systemy pozycyjne w szczegółach
W pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie b (gdzie b jest liczbą naturalną większą niż 1, znaną jako podstawa ), stosuje się b podstawowe symbole (lub cyfry) odpowiadające pierwszym b liczb naturalnych, w tym zero. Do wygenerowania pozostałych liczb używana jest pozycja symbolu na rysunku. Symbol na ostatniej pozycji ma swoją wartość, a gdy przesuwa się w lewo, jego wartość jest mnożona przez b .
Na przykład, w dziesiętnych systemu (podstawa 10), przy czym liczbowe 4327 środkiem ( 4 x 10 3 ) + ( 3 x 10 2 ) + ( 2 x 10 1 ) + ( 7 x 10 0 ) , stwierdzając, że 10 0 = 1 .
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli b jest podstawą, wpisuje się liczbę w systemie liczbowym o podstawie b , wyrażając ją w postaci a n b n + a n − 1 b n − 1 + a n − 2 b n − 2 + . .. + a 0 b 0 i zapis cyfr a n a n − 1 a n − 2 ... a 0 w kolejności malejącej. Cyfry są liczbami naturalnymi od 0 do b − 1 włącznie.
Jeśli tekst (taki jak ten) omawia wiele zasad i jeśli istnieje niejednoznaczność, podstawa (sama reprezentowana w podstawie 10) jest dodawana w indeksie dolnym po prawej stronie liczby, na przykład: liczba podstawa . O ile nie określono tego w kontekście, liczby bez indeksu dolnego są uważane za dziesiętne.
Używając kropki do podziału cyfr na dwie grupy, można również wpisywać ułamki w systemie pozycyjnym. Na przykład liczba o podstawie 2 10.11 oznacza 1×2 1 + 0×2 0 + 1×2 -1 + 1×2 -2 = 2,75 .
Ogólnie liczby w systemie o podstawie b mają postać:
Liczby b k i b − k są wagami odpowiednich cyfr. Pozycja k jest logarytmem odpowiedniej wagi w , czyli . Najwyższa używana pozycja jest zbliżona do rzędu wielkości liczby.
Liczba znaków sumy wymaganych w jednoargumentowym systemie liczbowym do opisania masy wynosiłaby w . W systemie pozycyjnym liczba cyfr potrzebnych do jej opisania to tylko , dla k ≥ 0. Na przykład, aby opisać wagę 1000, potrzebne są cztery cyfry, ponieważ . Liczba cyfr potrzebnych do opisania pozycji to (na pozycjach 1, 10, 100,... tylko dla uproszczenia w przykładzie dziesiętnym).
Liczba ma końcowe lub powtarzające się rozwinięcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest racjonalna ; to nie zależy od bazy. Liczba, która kończy się w jednej podstawie, może powtarzać się w innej (a więc 0,3 10 = 0,0100110011001... 2 ). Liczba niewymierna pozostaje aperiodyczna (z nieskończoną liczbą niepowtarzających się cyfr) we wszystkich podstawach całkowitych. I tak np. w podstawie 2, π = 3,1415926... 10 można zapisać jako aperiodyczną 11.001001000011111... 2 .
Umieszczenie overscores , n , lub kropek ń powyżej wspólnych cyfr jest konwencja używane do reprezentowania powtarzania racjonalne rozszerzeń. Zatem:
- 14/11 = +1,272727272727 ... = 1. 27 lub +321,3217878787878 ... = 321,321 78 .
Jeśli b = p jest liczbą pierwszą , można zdefiniować liczby o podstawie p, których ekspansja w lewo nigdy się nie kończy; są to tak zwane liczby p- adyczne .
Uogólnione liczby całkowite o zmiennej długości
Bardziej ogólnie używa się notacji z mieszanymi podstawami (tutaj napisanej little-endian ) jak for , itp.
Jest to używane w punycode , którego jednym z aspektów jest reprezentacja sekwencji nieujemnych liczb całkowitych o dowolnym rozmiarze w postaci sekwencji bez ograniczników, „cyfr” ze zbioru 36: a–z i 0–9 , reprezentujące odpowiednio 0-25 i 26-35. Cyfra niższa od wartości progowej oznacza, że jest to najbardziej znacząca cyfra, stąd koniec liczby. Wartość progowa zależy od pozycji w numerze. Na przykład, jeśli wartością progową dla pierwszej cyfry jest b (tj. 1), to a (tj. 0) oznacza koniec liczby (ma tylko jedną cyfrę), więc w liczbach więcej niż jednej cyfry zakres wynosi tylko b –9 (1–35), dlatego waga b 1 wynosi 35 zamiast 36. Załóżmy, że wartości progowe dla drugiej i trzeciej cyfry to c (2), wtedy trzecia cyfra ma wagę 35 b 2 , wyznaczoną z
z indeksem pc odnoszącym się do opisanego kodu i mamy następującą sekwencję:
a (0), ba (1), ca (2), .., 9a (35), bb (36), cb (37), .., 9b (70), bca (71), .., 99a (1260), bcb (1261), .., 99b (2450).
W przeciwieństwie do regularnego systemu liczbowego, istnieją liczby takie jak 9b, gdzie 9 i b każda reprezentuje 35; jednak reprezentacja jest unikalna, ponieważ ac i aca nie są dozwolone – pierwsze a kończy liczbę.
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli t n jest progiem dla n- tej cyfry, łatwo jest wykazać, że .
Elastyczność w doborze wartości progowych pozwala na optymalizację w zależności od częstości występowania liczb o różnej wielkości.
Przypadek ze wszystkimi wartościami progowymi równymi 1 odpowiada numeracji bijektywnej , gdzie zera odpowiadają separatorom liczb z cyframi niezerowymi.
Zobacz też
- Lista systemów liczbowych
- Komputerowe formaty numeracji
- Podstawa złotego współczynnika
- Historia starożytnych systemów liczbowych
- Historia liczb
- Lista tematów systemu liczbowego
- n- ary
- Nazwy liczb
- Podstawa poczwórna urojona
- Kipu
- Ułamek dziesiętny okresowy
- Pozostały system liczbowy
- Wagi krótkie i długie
- Notacja naukowa
- -yllion
- Poznanie liczbowe
- System liczbowy
- Jednoargumentowy system liczbowy
Bibliografia
- ^ David Eugeniusz Smith; Ludwik Karol Karpiński (1911). Cyfry hindusko-arabskie . Ginn i Spółka.
- ^ Chowdhury, Arnab. Projekt efektywnego mnożnika z wykorzystaniem DBNS . Dzienniki GIAP. Numer ISBN 978-93-83006-18-2.
- ^ Fiete, IR; Seung, HS (2007). „Modele sieci neuronowych produkcji śpiewu ptaków, uczenia się i kodowania”. W Squire, L.; Albright, T.; Bloom, F.; Gage, F.; Spitzer, N. Nowa Encyklopedia Neuronauki.
Źródła
- Georges Ifrah. Uniwersalna historia liczb: od prehistorii do wynalezienia komputera , Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3 .
- D. Knutha . Sztuka Programowania Komputerowego . Tom 2, wyd. 3 Addison-Wesley . s. 194-213, „Systemy liczb pozycyjnych”.
- AL Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876-1960), Podręcznik Indian Kalifornii , Biuletyn 78 Biura Etnologii Amerykańskiej Smithsonian Institution (1919)
- JP Mallory i DQ Adams, Encyklopedia kultury indoeuropejskiej , Fitzroy Dearborn Publishers, Londyn i Chicago, 1997.
- Hansa J. Nissena; Piotra Damerowa; Robert K. Englund (1993). Archaiczna księgowość: wczesne pisanie i techniki administracji gospodarczej na starożytnym Bliskim Wschodzie . Prasa Uniwersytetu Chicago . Numer ISBN 978-0-226-58659-5.
- Schmandt-Besserat, Denise (1996). Jak powstało pisanie . Wydawnictwo Uniwersytetu Teksańskiego . Numer ISBN 978-0-292-77704-0.
- Zasławski, Klaudia (1999). Afryka się liczy: liczba i wzór w kulturach afrykańskich . Chicago Review Press. Numer ISBN 978-1-55652-350-2.
Zewnętrzne linki
- Multimedia związane z systemami liczbowymi w Wikimedia Commons