Podstawa złotego podziału - Golden ratio base

Podstawa złotego podziału jest niecałkowitym pozycyjnym systemem liczbowym, który używa złotego podziału (liczby niewymiernej 1 + √ 5 / 2 ≈ 1.61803399 symbolizowany przez grecką literę φ ) jako podstawę . To jest czasami nazywane base-cp , złoty środek podstawy , phi bazy lub, potocznie, phinary . Dowolną nieujemną liczbę rzeczywistą można przedstawić jako liczbę o podstawie φ, używając tylko cyfr 0 i 1, unikając sekwencji cyfr „11” - nazywa się to standardową formą . Liczebnik o podstawie φ, który zawiera ciąg cyfr „11”, można zawsze przepisać w standardowej formie, używając algebraicznych właściwości podstawy φ - przede wszystkim + 1 = φ ² . Na przykład 11 _φ = 100 _φ .

Pomimo korzystania z niewymiernej podstawy liczbowej , przy stosowaniu standardowej postaci, wszystkie nieujemne liczby całkowite mają unikalną reprezentację jako kończące (skończone) rozszerzenie podstawy-φ. Zbiorem liczb o skończonej reprezentacji o podstawie φ jest pierścień Z [ 1 + √ 5 / 2 ] ; odgrywa taką samą rolę w tych systemach liczbowych jak dwójkowym rationals grać w liczbach binarnych , zapewniając możliwość namnażania .

Inne liczby mają standardowe reprezentacje w podstawie-φ, przy czym liczby wymierne mają powtarzające się reprezentacje. Reprezentacje te są unikalne, z wyjątkiem tego, że liczby z rozszerzeniem kończącym również mają rozwinięcie niekończące. Na przykład 1 = 0,1010101… w podstawie-φ tak samo jak 1 = 0,99999… w podstawie-10 .

Przykłady

Dziesiętny	Uprawnienia φ	Podstawa φ
1	φ ⁰	`1`
2	φ ¹ + φ ⁻²	`10.01`
3	φ ² + φ ⁻²	`100.01`
4	φ ² + φ ⁰ + φ ⁻²	`101.01`
5	φ ³ + φ ⁻¹ + φ ⁻⁴	`1000.1001`
6	φ ³ + φ ¹ + φ ⁻⁴	`1010,0001`
7	φ ⁴ + φ ⁻⁴	`10000.0001`
8	φ ⁴ + φ ⁰ + φ ⁻⁴	`10001.0001`
9	φ ⁴ + φ ¹ + φ ⁻² + φ ⁻⁴	`10010.0101`
10	φ ⁴ + φ ² + φ ⁻² + φ ⁻⁴	`10100.0101`

Zapisywanie liczb bazowych złotego podziału w standardowej formie

W poniższym przykładzie notacja 1 jest używana do oznaczenia −1.

211,0 1 _φ nie jest standardową liczbą o podstawie φ, ponieważ zawiera „11” i „2”, które nie jest „0” ani „1”, i zawiera 1 = −1, co nie jest albo „0” lub „1”.

Aby „ustandaryzować” liczbę, możemy użyć następujących podstawień: 011 _φ = 100 _φ , 0200 _φ = 1001 _φ , 0 1 0 _φ = 1 01 _φ i 1 1 0 _φ = 001 _φ . Możemy zastosować podstawienia w dowolnej kolejności, ponieważ wynik jest taki sam. Poniżej podstawienia liczby w poprzednim wierszu znajdują się po prawej stronie, a wynikowa liczba po lewej.

211,0 1 _φ
300,0 1 _φ	011 _φ → 100 _φ
1101,0 1 _φ	0200 _φ → 1001 _φ
10001,0 1 _φ	011 _φ → 100 _φ (ponownie)
10001. 1 01 _φ	0 1 0 _φ → 1 01 _φ
10000,011 _φ	1 1 0 _φ → 001 _φ
10000,1 _φ	011 _φ → 100 _φ (ponownie)

W ten sposób można jednoznacznie ustandaryzować każdą liczbę dodatnią z niestandardową reprezentacją kończącą zasadę φ . Jeśli dojdziemy do punktu, w którym wszystkie cyfry mają wartość „0” lub „1”, z wyjątkiem pierwszej cyfry będącej ujemną , to liczba jest ujemna. (Wyjątkiem jest sytuacja, gdy pierwsza cyfra jest ujemna, a następne dwie cyfry to jedna, np. 1 111,001 = 1,001.) Można to przekształcić na ujemną reprezentację o podstawie φ przez zanegowanie każdej cyfry, standaryzując wynik, a następnie oznaczając ją jako negatywną. Na przykład użyj znaku minus lub innego znaczenia, aby oznaczyć liczby ujemne. Jeśli arytmetyka jest wykonywana na komputerze, może zostać zwrócony komunikat o błędzie .

Reprezentowanie liczb całkowitych jako liczb podstawowych ze złotym podziałem

Możemy albo uznać naszą liczbę całkowitą za (jedyną) cyfrę niestandardowej liczby o podstawie φ i ustandaryzować ją, albo wykonać następujące czynności:

1 × 1 = 1, φ × φ = 1 + φ i 1 / φ = −1 + φ. Dlatego możemy obliczyć

( a + b φ) + ( c + d φ) = (( a + c ) + ( b + d ) φ),

( a + b φ) - ( c + d φ) = (( a - c ) + ( b - d ) φ)

i

( a + b φ) × ( c + d φ) = (( ac + bd ) + ( ad + bc + bd ) φ).

Tak więc, używając tylko wartości całkowite, możemy dodawać, odejmować i mnożyć liczby postaci ( + b φ), a nawet stanowią dodatnie i ujemne całkowite moce z cp.

( a + b φ)> ( c + d φ) wtedy i tylko wtedy, gdy 2 ( a - c ) - ( d - b )> ( d - b ) × √ 5 . Jeśli jedna strona jest negatywna, a druga pozytywna, porównanie jest trywialne. W przeciwnym razie podnieś obie strony do kwadratu, aby uzyskać porównanie całkowite, odwracając kierunek porównania, jeśli obie strony są ujemne. Po podniesieniu do kwadratu po obu stronach √ 5 jest zastępowane liczbą całkowitą 5.

Tak więc, używając tylko wartości całkowitych, możemy również porównać liczby w postaci ( a + b φ).

Aby przekonwertować liczbę całkowitą x na liczbę o podstawie-φ, zwróć uwagę, że x = ( x + 0φ).
Odejmij najwyższą potęgę φ, która jest wciąż mniejsza niż liczba, którą mamy, aby otrzymać naszą nową liczbę i zapisz „1” w odpowiednim miejscu w wynikowej liczbie o podstawie-φ.
Jeśli nasz numer to 0, przejdź do kroku 2.
Skończone.

Powyższa procedura nigdy nie da sekwencji „11”, ponieważ 11 _φ = 100 _φ , więc uzyskanie „11” oznaczałoby, że przegapiliśmy „1” przed sekwencją „11”.

Zacznij np. Od liczby całkowitej = 5, przy czym dotychczasowy wynik to ... 00000,00000 ... _φ

Najwyższa moc φ ≤ 5 to φ ³ = 1 + 2φ ≈ 4,236067977

Odejmując to od 5 otrzymujemy 5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0,763932023 ..., czyli jak dotąd wynik to 1000,00000 ... _φ

Najwyższa moc φ ≤ 4 - 2φ ≈ 0,763932023 ... wynosi φ ⁻¹ = −1 + 1φ ≈ 0,618033989 ...

Odejmując to od 4 - 2φ ≈ 0,763932023 ..., mamy 4 - 2φ - (−1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0,145898034 ..., czyli jak dotąd wynik to 1000,10000 ... _φ

Najwyższa moc φ ≤ 5 - 3φ ≈ 0,145898034 ... wynosi φ ⁻⁴ = 5 - 3φ ≈ 0,145898034 ...

Odejmując to od 5 - 3φ ≈ 0,145898034 ..., otrzymujemy 5 - 3φ - (5 - 3φ) = 0 + 0φ = 0, a ostateczny wynik to 1000,1001 _φ .

Niepowtarzalność

Podobnie jak w każdym systemie o podstawie n, liczby z reprezentacją kończącą mają alternatywną powtarzającą się reprezentację. W przypadku podstawy 10 opiera się to na obserwacji, że 0,999 ... = 1 . W podstawie-φ liczba 0,1010101 ... może być równa 1 na kilka sposobów:

Konwersja do postaci niestandardowej: 1 = 0,11 _φ = 0,1011 _φ = 0,101011 _φ = ... = 0,10101010 .... _φ
Szeregi geometryczne : 1,0101010 ... _φ jest równe

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ varphi ^ {- 2k} = {\ Frac {1} {1- \ varphi ^ {- 2}}} = \ varphi}

Różnica między "przesunięciami": φ ² x - x = 10,101010 ... _φ - 0,101010 ... _φ = 10 _φ = φ, tak że x = φ / φ ² - 1 = 1

Ta niepowtarzalność jest cechą systemu numeracji, ponieważ zarówno 1,0000, jak i 0,101010 ... są w standardowej formie.

Ogólnie rzecz biorąc, ostatnie 1 dowolnej liczby w bazie-φ można zastąpić powtarzającym się 01 bez zmiany wartości tej liczby.

Reprezentowanie liczb wymiernych jako liczb bazowych złotego podziału

Każda nieujemna liczba wymierna może być przedstawiona jako powtarzające się rozszerzenie o podstawie-φ, podobnie jak każdy nieujemny element pola Q [ √ 5 ] = Q + √ 5 Q , pole generowane przez liczby wymierne i √ 5 . Odwrotnie, każde powtarzające się (lub kończące) rozwinięcie podstawy-φ jest nieujemnym elementem Q [ √ 5 ]. W przypadku powtarzających się liczb dziesiętnych powtarzająca się część została nadkreślona:

1 / 2 ≈ 0,10 _φ
1 / 3 ≈ 0,00101000 _φ
√ 5 = 10,1 _φ
2 + √ 5 / 13 ≈ 10,01 0100010001010100010001000000 _φ

Uzasadnienie, że racjonał podaje powtarzające się rozwinięcie, jest analogiczne do równoważnego dowodu dla systemu numeracji o podstawie n ( n = 2,3,4, ...). Zasadniczo w dzieleniu długości o podstawie φ istnieje tylko skończona liczba możliwych reszt, a więc raz musi istnieć powtarzający się wzór. Na przykład z 1 / 2 = 1 / 10,01 _φ = 100 _φ / 1001 _φ dzielenie długie wygląda następująco (pamiętaj, że odejmowanie podstawy-may może być początkowo trudne):

                .0 1 0 0 1
         ________________________
 1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
             1 0 0 1                        trade: 10000 = 1100 = 1011
             -------                            so 10000 − 1001 = 1011 − 1001 = 10
                 1 0 0 0 0
                   1 0 0 1
                   -------
                       etc.

Odwrotna sytuacja jest również prawdą, ponieważ liczba z powtarzającą się podstawą-φ; reprezentacja jest elementem pola Q [ √ 5 ]. Wynika to z obserwacji, że powtarzająca się reprezentacja z okresem k obejmuje szereg geometryczny o stosunku φ ^−k , który będzie sumowany do elementu Q [ √ 5 ].

Reprezentowanie nieracjonalnych liczb nutowych jako liczb podstawowych złotego podziału

Reprezentacje bazowe-interesting niektórych interesujących liczb:

$π$ ≈ 100,0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ... _φ (sekwencja A102243 w OEIS )
$e$ ≈ 100.0000 1000 0100 1000 0000 0100 ... _φ (sekwencja A105165 w OEIS )
√ 2 ≈ 1,0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ... _φ
φ = 1+ √ 5 / 2 = 10 _φ
√ 5 = 10,1 _φ

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie

Możliwe jest dostosowanie wszystkich standardowych algorytmów arytmetyki o podstawie 10 do arytmetyki o podstawie φ. Istnieją dwa podejścia do tego:

Oblicz, a następnie przekonwertuj na standardową formę

Na dodatkowo dwóch liczb bazowego cp dodać każdą parę cyfr, bez przenoszenia, a następnie przekształcić cyfra standardowej postaci. Aby odjąć , odejmij każdą parę cyfr bez pożyczki (pożyczka jest ujemną kwotą przeniesienia), a następnie przekonwertuj liczbę do standardowej postaci. Aby pomnożyć , pomnóż w typowy sposób przy podstawie 10, bez przenoszenia, a następnie zamień liczebnik na postać standardową.

Na przykład,

2 + 3 = 10,01 + 100,01 = 110,02 = 110,1001 = 1000,1001
2 × 3 = 10,01 × 100,01 = 1000,1 + 1,0001 = 1001,1001 = 1010,0001
7 - 2 = 10000,0001 - 10,01 = 100 1 0,0 1 01 = 11 1 0,0 1 01 = 1001,0 1 01 = 1000,1001

Unikaj cyfr innych niż 0 i 1

Bardziej „natywne” podejście polega na uniknięciu konieczności dodawania cyfr 1 + 1 lub odejmowania 0 - 1. Odbywa się to poprzez reorganizację operandów w niestandardową formę, tak aby te kombinacje nie występowały. Na przykład,

2 + 3 = 10,01 + 100,01 = 10,01 + 100,0011 = 110,0111 = 1000,1001
7 - 2 = 10000,0001 - 10,01 = 1100,0001 - 10,01 = 1011,0001 - 10,01 = 1010,1101 - 10,01 = 1000,1001

Widoczne tutaj odejmowanie wykorzystuje zmodyfikowaną formę standardowego algorytmu „handlowego” do odejmowania.

Podział

Żadnej niecałkowitej liczby wymiernej nie można przedstawić jako skończonej liczby o podstawie φ. Innymi słowy, wszystkie nieskończenie reprezentowalne liczby o podstawie-φ są albo liczbami całkowitymi, albo (co jest bardziej prawdopodobne) niewymierne w polu kwadratowym Q [ √ 5 ]. Ponieważ dzielenie długie ma tylko skończoną liczbę możliwych reszt, dzielenie dwóch liczb całkowitych (lub innych liczb o skończonej reprezentacji o podstawie φ) będzie miało powtarzające się rozwinięcie, jak pokazano powyżej.

Związek z kodowaniem Fibonacciego

Kodowanie Fibonacciego jest blisko spokrewnionym systemem numeracyjnym używanym dla liczb całkowitych. W tym systemie używane są tylko cyfry 0 i 1, a wartościami miejsc cyfr są liczby Fibonacciego . Podobnie jak w przypadku podstawy-φ, unika się sekwencji cyfr „11”, przekształcając ją do standardowej postaci, stosując relację rekurencji Fibonacciego F _{k +1} = F _k + F _{k −1} . Na przykład,

30 = 1 × 21 + 0 × 13 + 1 × 8 + 0 × 5 + 0 × 3 + 0 × 2 + 1 × 1 + 0 × 1 = 10100010 _fib .

Praktyczne zastosowanie

Możliwe jest mieszanie arytmetyki o podstawie φ z sekwencjami całkowitymi Fibonacciego . Suma liczb w ogólnej sekwencji liczb całkowitych Fibonacciego, które odpowiadają niezerowym cyfrom w liczbie o podstawie-φ, jest pomnożeniem liczby o podstawie-φ i elementu w pozycji zerowej w sekwencji. Na przykład:

iloczyn 10 (10100.0101 podstawa-φ) i 25 (pozycja zerowa) = 5 + 10 + 65 + 170 = 250

podstawa-φ: 1 0 1 0 0 0 1 0 1

Częściową sekwencję ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...
iloczyn 10 (10100.0101 podstawa-φ) i 65 (pozycja zerowa) = 10 + 25 + 170 + 445 = 650

podstawa-φ: 1 0 1 0 0 0 1 0 1

Częściową sekwencję ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...

Zobacz też

Koder beta - pierwotnie używana podstawa złotego podziału
Numeracja Ostrowskiego

Uwagi

Bibliografia

Bergman, George (1957). „System liczbowy z irracjonalną podstawą”. Magazyn Matematyka . 31 (2): 98–110. doi : 10.2307 / 3029218 . JSTOR 3029218 .
Eggan, LC; Vanden Eynden, CL (1966). „Rozszerzenia dziesiętne do baz niecałkowitych”. Amer. Matematyka. Miesięcznie (73): 576–582. JSTOR 2314786 .
Plojhar, Jozef (1971). „Dobroduszny hodowca królików”. Kolektor . 11 : 26–30.

Linki zewnętrzne

Używanie mocy Phi do reprezentowania liczb całkowitych (podstawowe Phi)

Languages

In other projects