Liczba -Number

Liczba to obiekt matematyczny używany do liczenia , mierzenia i etykietowania . Oryginalnymi przykładami są liczby naturalne 1 , 2 , 3 , 4 i tak dalej. Liczby mogą być przedstawiane w języku za pomocą słów liczbowych . Bardziej uniwersalnie, poszczególne liczby mogą być reprezentowane przez symbole , zwane cyframi ; na przykład „5” to liczba reprezentująca liczbę pięć . Ponieważ tylko stosunkowo niewielka liczba symboli może być zapamiętana, podstawowe cyfry są zwykle zorganizowane w system liczbowy , który jest zorganizowanym sposobem przedstawiania dowolnej liczby. Najpopularniejszym systemem liczbowym jest hindusko-arabski system liczbowy , który pozwala na przedstawienie dowolnej liczby za pomocą kombinacji dziesięciu podstawowych symboli numerycznych, zwanych cyframi . Oprócz ich wykorzystania w liczeniach i pomiarach, cyfry są często używane na etykietach (jak w przypadku numerów telefonów ), przy zamawianiu (jak w przypadku numerów seryjnych ) oraz w kodach (jak w przypadku numerów ISBN ). W powszechnym użyciu cyfra nie jest wyraźnie odróżniona od liczby , którą reprezentuje.

W matematyce pojęcie liczby zostało rozszerzone na przestrzeni wieków i obejmuje 0 , liczby ujemne , liczby wymierne , takie jak połowa , liczby rzeczywiste , takie jak pierwiastek kwadratowy z 2 i $π$ oraz liczby zespolone , które rozszerzają liczby rzeczywiste o pierwiastek kwadratowy z $-1$ (i jego kombinacje z liczbami rzeczywistymi przez dodanie lub odjęcie jego wielokrotności). Obliczenia na liczbach wykonuje się za pomocą operacji arytmetycznych , z których najbardziej znane to dodawanie , odejmowanie , mnożenie , dzielenie i potęgowanie . Ich badanie lub użycie nazywa się arytmetyka , termin, który może również odnosić się do teorii liczb , badania właściwości liczb. ${\ Displaystyle \ po lewej ({\ tfrac {1} {2}} \ po prawej)}$ ${\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {2}} \ prawo)}$

Oprócz zastosowań praktycznych liczby mają znaczenie kulturowe na całym świecie. Na przykład w społeczeństwie zachodnim liczba 13 jest często uważana za pechową , a „ milion ” może oznaczać „dużo”, a nie dokładną ilość. Choć obecnie uważa się ją za pseudonaukę , wiara w mistyczne znaczenie liczb, znane jako numerologia , przeniknęła myśl starożytną i średniowieczną. Numerologia silnie wpłynęła na rozwój matematyki greckiej , stymulując badanie wielu problemów teorii liczb, które do dziś są przedmiotem zainteresowania.

W XIX wieku matematycy zaczęli rozwijać wiele różnych abstrakcji, które mają pewne wspólne cechy liczb i mogą być postrzegane jako rozszerzenie tego pojęcia. Wśród pierwszych były liczby hiperzespolone , które składają się z różnych rozszerzeń lub modyfikacji systemu liczb zespolonych . We współczesnej matematyce systemy liczbowe są uważane za ważne szczególne przykłady bardziej ogólnych struktur algebraicznych, takich jak pierścienie i pola , a zastosowanie terminu „liczba” jest kwestią konwencji, bez fundamentalnego znaczenia.

Historia

Cyfry

Liczby należy odróżnić od cyfr , symboli używanych do reprezentowania liczb. Egipcjanie wynaleźli pierwszy zaszyfrowany system liczbowy, a Grecy przypisali swoje liczby liczeniowe do alfabetu jońskiego i doryckiego. Cyfry rzymskie, system, który wykorzystywał kombinacje liter z alfabetu rzymskiego, pozostawały dominujące w Europie do czasu rozpowszechnienia się wyższego systemu cyfr hindusko-arabskich około końca XIV wieku, a system cyfr hindusko-arabskich pozostaje najpopularniejszym systemem reprezentacji liczby na świecie. Kluczem do skuteczności systemu był symbol zera , który został opracowany przez starożytnych matematyków indyjskich około 500 roku n.e.

Pierwsze użycie liczb

Kości i inne artefakty zostały odkryte z wyciętymi w nich znakami, które wielu uważa za znaczniki . Te znaczniki mogły być używane do liczenia upływu czasu, na przykład liczby dni, cykli księżycowych lub prowadzenia ewidencji ilości, takich jak zwierzęta.

System liczenia nie ma pojęcia o wartości miejsca (jak we współczesnej notacji dziesiętnej ), co ogranicza jego reprezentację dużych liczb. Niemniej jednak systemy liczenia są uważane za pierwszy rodzaj abstrakcyjnego systemu liczbowego.

Pierwszym znanym systemem z wartością miejsca był mezopotamski system o podstawie 60 ( ok. 3400 pne), a najwcześniejszy znany system o podstawie 10 datuje się na 3100 pne w Egipcie .

Zero

Pierwsze znane udokumentowane użycie zera datuje się na 628 rne i pojawiło się w Brahmasphusasiddhancie , głównym dziele indyjskiego matematyka Brahmagupty . Potraktował 0 jako liczbę i omówił operacje z nią związane, w tym podział . W tym czasie (VII wiek) koncepcja wyraźnie dotarła do Kambodży jako cyfry khmerskie , a dokumentacja pokazuje, że pomysł później rozprzestrzenił się na Chiny i świat islamski .

Liczba 605 wyrażona cyframi khmerskimi , pochodząca z inskrypcji z 683 r. n.e. Wczesne użycie zera jako liczby dziesiętnej.

Brahmagupta Brahmagupta jest pierwszą książką, która wymienia zero jako liczbę, stąd Brahmagupta jest zwykle uważana za pierwszą, która sformułowała pojęcie zera. Podał zasady używania zera z liczbami ujemnymi i dodatnimi, takie jak „zero plus liczba dodatnia to liczba dodatnia, a liczba ujemna plus zero to liczba ujemna”. Brahmasphuṭasiddhānta jest najwcześniejszym znanym tekstem, w którym zero jest traktowane jako samodzielna liczba, a nie jako zwykła cyfra zastępcza reprezentująca inną liczbę, jak zrobili Babilończycy, lub jako symbol braku ilości, jak zrobili to Ptolemeusz i Rzymianie.

Użycie 0 jako liczby należy odróżnić od jej użycia jako liczby zastępczej w systemach wartości zastępczych . Wiele starożytnych tekstów używało 0. Używały go teksty babilońskie i egipskie. Egipcjanie używali słowa nfr na oznaczenie salda zerowego w rachunkowości podwójnego zapisu . Teksty indyjskie używały sanskryckiego słowa Shunye lub shunya w odniesieniu do pojęcia pustki . W tekstach matematycznych słowo to często odnosi się do liczby zero. W podobnym duchu, Pāṇini (V wiek pne) użył operatora null (zero) w Ashtadhyayi , wczesnym przykładzie gramatyki algebraicznej dla języka sanskrytu (patrz także Pingala ).

Istnieją inne zastosowania zera przed Brahmaguptą, chociaż dokumentacja nie jest tak kompletna, jak w Brahmasphusasiddhancie .

Zapisy pokazują, że starożytni Grecy wydawali się niepewni co do statusu 0 jako liczby: zadawali sobie pytanie „jak „nic” może być czymś?” prowadzące do interesujących filozoficznych , a do średniowiecza religijnych argumentów o naturze i istnieniu 0 i próżni . Paradoksy Zenona z Elei zależą częściowo od niepewnej interpretacji 0. (Starożytni Grecy kwestionowali nawet, czy 1 jest liczbą).

Późni Olmekowie z południowo-środkowego Meksyku zaczęli używać symbolu zera, glifu na muszli , w Nowym Świecie, prawdopodobnie w IV wieku p.n.e. , ale na pewno w 40 p.n.e., co stało się integralną częścią cyfr Majów i kalendarza Majów . Arytmetyka Majów używała podstawy 4 i podstawy 5 pisanej jako podstawa 20. George I. Sánchez w 1961 r. doniósł o podstawie 4, podstawie 5 „palcowym” liczydłem.

Do 130 roku ne Ptolemeusz , pod wpływem Hipparcha i Babilończyków, używał symbolu 0 (małego koła z długą ramką) w systemie liczbowym sześćdziesiętnym , w przeciwnym razie używał alfabetu greckiego . Ponieważ było używane samodzielnie, a nie tylko jako symbol zastępczy, to hellenistyczne zero było pierwszym udokumentowanym użyciem prawdziwego zera w Starym Świecie. W późniejszych bizantyjskich rękopisach jego Syntaxis Mathematica ( Almagest ) hellenistyczne zero przekształciło się w grecką literę Omicron (inaczej oznaczającą 70).

Kolejne prawdziwe zero zostało użyte w tabelach obok cyfr rzymskich przez 525 (pierwsze znane użycie przez Dionizego Exiguusa ), ale jako słowo, nulla nic nie znaczy , a nie jako symbol. Gdy dzielenie dało 0 jako resztę, użyto nihil , również oznaczającego nic . Te średniowieczne zera były używane przez wszystkich przyszłych średniowiecznych komputystów (kalkulatorów wielkanocnych ). Pojedyncze użycie ich inicjału, N, zostało użyte w tabeli cyfr rzymskich przez Bede lub kolegi około 725, prawdziwy symbol zera.

Liczby ujemne

Abstrakcyjna koncepcja liczb ujemnych została rozpoznana w Chinach już 100-50 pne. Dziewięć rozdziałów o sztuce matematycznej zawiera metody znajdowania obszarów figur; czerwone pręciki oznaczały współczynniki dodatnie , czarne ujemne. Pierwsza wzmianka w dziele zachodnim pochodzi z III wieku naszej ery w Grecji. Diophantus odniósł się do równania równoważnego 4 x + 20 = 0 (rozwiązanie jest ujemne) w Arithmetica , mówiąc, że równanie dało absurdalny wynik.

W latach 600. w Indiach używano liczb ujemnych do reprezentowania długów. Poprzednie wzmianki Diophantusa zostały dokładniej omówione przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę w Brāhmasphuṭasiddhāncie w 628, który użył liczb ujemnych do stworzenia ogólnej formy kwadratowej , która pozostaje w użyciu. Jednak w XII wieku w Indiach Bhaskara podaje ujemne pierwiastki dla równań kwadratowych, ale mówi, że ujemna wartość „w tym przypadku nie jest brana pod uwagę, ponieważ jest nieodpowiednia; ludzie nie akceptują ujemnych pierwiastków”.

Europejscy matematycy w większości opierali się koncepcji liczb ujemnych aż do XVII wieku, chociaż Fibonacci dopuszczał negatywne rozwiązania problemów finansowych, gdzie można je interpretować jako długi (rozdział 13 Liber Abaci , 1202), a później jako straty (w Flos ). René Descartes nazwał je fałszywymi pierwiastkami, ponieważ pojawiały się w wielomianach algebraicznych, ale znalazł sposób na zamianę prawdziwych i fałszywych pierwiastków. W tym samym czasie Chińczycy wskazywali liczby ujemne, rysując ukośną kreskę przez skrajną prawą niezerową cyfrę odpowiadającej im liczby dodatniej. Pierwsze użycie liczb ujemnych w europejskim dziele zostało przez Nicolasa Chuqueta w XV wieku. Użył ich jako wykładników , ale określił je jako „absurdalne liczby”.

Jeszcze w XVIII wieku powszechną praktyką było ignorowanie wszelkich negatywnych wyników zwracanych przez równania, zakładając, że są one bez znaczenia.

Liczby wymierne

Jest prawdopodobne, że koncepcja liczb ułamkowych sięga czasów prehistorycznych . Starożytni Egipcjanie używali swojego egipskiego zapisu ułamkowego dla liczb wymiernych w tekstach matematycznych, takich jak papirus matematyczny Rhinda i papirus Kahun . Klasyczni matematycy greccy i indyjscy przeprowadzili badania nad teorią liczb wymiernych w ramach ogólnych studiów nad teorią liczb . Najbardziej znanym z nich są Elementy Euklidesa , datowane na około 300 lat p.n.e. Spośród indyjskich tekstów najistotniejsza jest Sutra Sthananga , która obejmuje również teorię liczb jako część ogólnego studium matematyki.

Pojęcie ułamków dziesiętnych jest ściśle związane z zapisem wartości miejsca dziesiętnego; wydaje się, że te dwa rozwinęły się w tandemie. Na przykład, powszechne jest, że sutra matematyczna Jain zawiera obliczenia przybliżeń ułamków dziesiętnych do pi lub pierwiastka kwadratowego z 2 . Podobnie babilońskie teksty matematyczne używały z dużą częstotliwością ułamków sześćdziesiętnych (podstawa 60).

Liczby niewymierne

Najwcześniejsze znane użycie liczb niewymiernych było w indyjskich sutrach Sulba skomponowanych między 800 a 500 pne. Pierwsze dowody istnienia liczb niewymiernych są zwykle przypisywane Pitagorasowi , a dokładniej Pitagorejczykowi Hippasusowi z Metapontum , który przedstawił (najprawdopodobniej geometryczny) dowód nieracjonalności pierwiastka kwadratowego z 2 . Historia mówi, że Hippasus odkrył liczby niewymierne, próbując przedstawić pierwiastek kwadratowy z 2 jako ułamek. Jednak Pitagoras wierzył w absolutność liczb i nie mógł zaakceptować istnienia liczb niewymiernych. Nie mógł logicznie obalić ich istnienia, ale nie mógł zaakceptować liczb irracjonalnych, toteż, rzekomo i często donoszono, skazał Hippaza na śmierć przez utonięcie, aby utrudnić rozpowszechnianie tej niepokojącej wiadomości.

Wiek XVI przyniósł ostateczną akceptację w Europie ujemnych liczb całkowitych i ułamkowych . W XVII wieku matematycy na ogół używali ułamków dziesiętnych ze współczesną notacją. Jednak dopiero w XIX wieku matematycy podzielili irracjonalne na części algebraiczne i transcendentalne i ponownie podjęli naukowe badania irracjonalności. Pozostał prawie uśpiony od czasu Euklidesa . W 1872 roku opublikowano teorie Karla Weierstrassa (przez jego ucznia E. Kossaka), Eduarda Heinego , Georga Cantora i Richarda Dedekinda . W 1869 r. Charles Méray przyjął ten sam punkt wyjścia co Heine, ale teoria ta odnosi się ogólnie do roku 1872. Metoda Weierstrassa została w całości przedstawiona przez Salvatore Pincherle (1880), a metoda Dedekinda zyskała na znaczeniu dzięki późniejszym pracom autora. (1888) i poparcie Paula Tannery'ego (1894). Weierstrass, Cantor i Heine opierają swoje teorie na szeregach nieskończonych, a Dedekind na idei przecięcia (Schnitt) w systemie liczb rzeczywistych , rozdzielającej wszystkie liczby wymierne na dwie grupy o pewnych charakterystycznych własnościach. Temat otrzymał później wkłady z rąk Weierstrassa, Kroneckera i Méray.

Poszukiwanie pierwiastków równań kwintycznych i równań wyższego stopnia było ważnym osiągnięciem, twierdzenie Abela-Ruffiniego ( Ruffini 1799, Abel 1824) wykazało, że nie można ich rozwiązać za pomocą pierwiastków (wzory zawierające tylko operacje arytmetyczne i pierwiastki). Dlatego konieczne było rozważenie szerszego zbioru liczb algebraicznych (wszystkie rozwiązania równań wielomianowych). Galois (1832) połączył równania wielomianowe z teorią grup, dając początek teorii Galois .

Dalsze ułamki , ściśle związane z liczbami niewymiernymi (i ze względu na Cataldi, 1613), zwróciły uwagę Eulera , a na początku XIX wieku zyskały na znaczeniu dzięki pismom Josepha Louisa Lagrange'a . Inne godne uwagi wkłady dokonali Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) i Günther (1872). Ramus po raz pierwszy połączył temat z wyznacznikami , co zaowocowało, wraz z późniejszymi wkładami Heinego, Möbiusa i Günthera, w teorii Kettenbruchdeterminanten .

Liczby transcendentalne i liczby rzeczywiste

Istnienie liczb transcendentalnych po raz pierwszy ustalił Liouville (1844, 1851). Hermite udowodnił w 1873, że e jest transcendentalne, a Lindemann udowodnił w 1882, że π jest transcendentalne. Wreszcie Cantor wykazał, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie nieskończony , ale zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalnie nieskończony , więc istnieje nieprzeliczalnie nieskończona liczba liczb transcendentalnych.

Nieskończoność i nieskończenie małe

Najwcześniejsze znane pojęcie matematycznej nieskończoności pojawia się w Yajur Veda , starożytnym indyjskim piśmie, które w pewnym momencie mówi: „Jeśli usuniesz część z nieskończoności lub dodasz część do nieskończoności, nadal pozostaje nieskończoność”. Nieskończoność była popularnym tematem studiów filozoficznych wśród matematyków dżinijskich . 400 pne. Wyróżnili pięć rodzajów nieskończoności: nieskończoną w jednym i dwóch kierunkach, nieskończoną w obszarze, nieskończoną wszędzie i nieskończoną wiecznie. Symbol jest często używany do reprezentowania nieskończonej ilości. ${\tekst{∞}}$

Arystoteles zdefiniował tradycyjne zachodnie pojęcie matematycznej nieskończoności. Rozróżniał między nieskończonością rzeczywistą a nieskończonością potencjalną — zgodnie z ogólną opinią, że tylko ta ostatnia ma prawdziwą wartość. Dwie nowe nauki Galileo Galilei omawiały ideę zależności jeden-do-jednego między zbiorami nieskończonymi. Ale następny znaczący postęp w teorii poczynił Georg Cantor ; w 1895 opublikował książkę o swojej nowej teorii mnogości , wprowadzając m.in. liczby nieskończone i formułując hipotezę continuum .

W latach sześćdziesiątych Abraham Robinson pokazał, jak nieskończenie duże i nieskończenie małe liczby można rygorystycznie zdefiniować i wykorzystać do rozwijania dziedziny analizy niestandardowej. System liczb hiperrzeczywistych reprezentuje rygorystyczną metodę traktowania idei nieskończonych i nieskończenie małych liczb, które były używane przez matematyków, naukowców i inżynierów od czasu wynalezienia nieskończenie małych liczb przez Newtona i Leibniza .

Nowoczesną geometryczną wersję nieskończoności daje geometria rzutowa , która wprowadza „idealne punkty w nieskończoności”, po jednym dla każdego kierunku przestrzennego. Postuluje się, że każda rodzina linii równoległych w danym kierunku jest zbieżna do odpowiedniego punktu idealnego. Jest to ściśle związane z ideą znikania punktów w rysowaniu perspektywicznym .

Liczby zespolone

Najwcześniejsze przelotne wzmianki o pierwiastkach kwadratowych z liczb ujemnych pojawiły się w pracach matematyka i wynalazcy Herona z Aleksandrii w I wieku naszej ery , kiedy rozważał on wielkość niemożliwego do złamania piramidy . Wzmocniły się one, gdy w XVI wieku zamknięte formuły pierwiastków wielomianów trzeciego i czwartego stopnia odkryli włoscy matematycy, tacy jak Niccolò Fontana Tartaglia i Gerolamo Cardano . Szybko zdano sobie sprawę, że te formuły, nawet jeśli interesowały nas tylko rozwiązania rzeczywiste, czasami wymagają manipulacji pierwiastkami kwadratowymi liczb ujemnych.

Było to podwójnie niepokojące, ponieważ w tamtym czasie nawet nie uważali, że liczby ujemne były na twardym gruncie. Kiedy René Descartes ukuł termin „wyobrażony” dla tych wielkości w 1637 roku, uznał to za obraźliwe. (Zobacz liczbę urojoną , aby omówić „rzeczywistość” liczb zespolonych.) Kolejnym źródłem nieporozumień było to, że równanie

{\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {-1}} \ po prawej) ^ {2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} = -1}

wydawała się kapryśnie niezgodna z tożsamością algebraiczną

{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}

który jest ważny dla dodatnich liczb rzeczywistych a i b , a także był używany w obliczeniach na liczbach zespolonych z jednym z a , b dodatnim i drugim ujemnym. Nieprawidłowe użycie tej tożsamości i powiązanej tożsamości

{\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

w przypadku, gdy zarówno a , jak i b są ujemne, a nawet zepsuty Euler . Ta trudność doprowadziła go ostatecznie do konwencji używania specjalnego symbolu i zamiast tego, aby chronić się przed tym błędem. ${\sqrt {-1}}$

W XVIII wieku pracowali Abraham de Moivre i Leonhard Euler . Wzór De Moivre'a (1730) stwierdza:

{\ Displaystyle (\ cos \ theta + ja \ sin \ theta) ^ {n} = \ cos n \ theta + ja \ sin n \ theta}

podczas gdy formuła analizy zespolonej Eulera (1748) dała nam:

{\ Displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta}.}

Istnienie liczb zespolonych nie zostało w pełni zaakceptowane, dopóki Caspar Wessel nie opisał interpretacji geometrycznej w 1799 r. Carl Friedrich Gauss odkrył ją na nowo i spopularyzował kilka lat później, w wyniku czego teoria liczb zespolonych zyskała znaczne rozszerzenie. Pomysł graficznej reprezentacji liczb zespolonych pojawił się jednak już w 1685 r. w De algebra tractatus Wallisa .

Również w 1799 roku Gauss dostarczył pierwszego ogólnie akceptowanego dowodu podstawowego twierdzenia algebry , pokazując, że każdy wielomian na liczbach zespolonych ma pełny zestaw rozwiązań w tej dziedzinie. Powszechna akceptacja teorii liczb zespolonych wynika z prac Augustyna Louisa Cauchy'ego i Nielsa Henrika Abla , a zwłaszcza tego ostatniego, który jako pierwszy odważnie zastosował liczby zespolone z dobrze znanym sukcesem.

Gauss badał liczby zespolone postaci a + bi , gdzie a i b są liczbami całkowitymi lub wymiernymi (a i jest jednym z dwóch pierwiastków x ² + 1 = 0 ). Jego uczeń Gotthold Eisenstein badał typ a + bω , gdzie ω jest pierwiastkiem zespolonym z x ³ − 1 = 0. Inne takie klasy (zwane polami cyklotomicznymi ) liczb zespolonych wywodzą się z pierwiastków jedności x ^k − 1 = 0 dla wyższych wartości k . To uogólnienie jest w dużej mierze zasługą Ernsta Kummera , który również wynalazł liczby idealne , które zostały wyrażone jako byty geometryczne przez Felixa Kleina w 1893 roku.

W 1850 r. Victor Alexandre Puiseux podjął kluczowy krok, rozróżniając bieguny i rozgałęzienia, wprowadzając koncepcję podstawowych punktów osobliwych . To ostatecznie doprowadziło do koncepcji rozszerzonego złożonego samolotu .

liczby pierwsze

Liczby pierwsze były badane w całej zapisanej historii. Euklides poświęcił jedną książkę Elementów teorii liczb pierwszych; w nim udowodnił nieskończoność liczb pierwszych i podstawowe twierdzenie arytmetyki i przedstawił algorytm Euklidesa do znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb.

W 240 pne Eratostenes użył Sito Eratostenesa , aby szybko wyizolować liczby pierwsze. Jednak dalszy rozwój teorii liczb pierwszych w Europie datuje się na renesans i późniejsze epoki.

W 1796 Adrien-Marie Legendre wysunął hipotezę o liczbach pierwszych , opisując asymptotyczny rozkład liczb pierwszych. Inne wyniki dotyczące rozkładu liczb pierwszych obejmują dowód Eulera, że suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna, oraz hipoteza Goldbacha , która twierdzi, że każda wystarczająco duża liczba parzysta jest sumą dwóch liczb pierwszych. Jeszcze innym przypuszczeniem związanym z rozkładem liczb pierwszych jest hipoteza Riemanna , sformułowana przez Bernharda Riemanna w 1859 roku. Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało ostatecznie udowodnione przez Jacquesa Hadamarda i Charlesa de la Vallée-Poussina w 1896 roku. Przypuszczenia Goldbacha i Riemanna pozostają nieudowodnione i nie obalone .

Główna klasyfikacja

Systemy liczbowe

Złożony

:\;\mathbb {C}

Prawdziwy

:\;\mathbb {R}

Racjonalny

:\;\mathbb {Q}

Liczba całkowita

:\;\mathbb {Z}

Naturalny

:\;\mathbb {N}

Zero : 0

Jeden : 1

liczby pierwsze

Liczby złożone

Ujemne liczby całkowite

Frakcja

Skończony dziesiętny
Diadyczny (skończony binarny)
Powtarzalny dziesiętny

Irracjonalny

Algebraiczny irracjonalny

Nadzmysłowy

Wyimaginowany

Liczby można podzielić na zestawy , zwane systemami liczbowymi , takimi jak liczby naturalne i liczby rzeczywiste . Główne kategorie liczb są następujące:

Systemy liczb głównych
${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$	Naturalny	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... lub 1, 2, 3, 4, 5, ... ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _{0}}$ lub są czasami używane. ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {1}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$	Liczba całkowita	..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	Racjonalny	a/bgdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b nie jest 0
$\mathbb {R}$	Prawdziwy	Granica zbieżnego ciągu liczb wymiernych
${\ Displaystyle \ mathbb {C} }$	Złożony	a + bi gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a i jest formalnym pierwiastkiem kwadratowym z -1

Zasadniczo nie ma problemu z identyfikacją każdego systemu liczbowego z odpowiednim podzbiorem następnego (przez nadużycie notacji ), ponieważ każdy z tych systemów liczbowych jest kanonicznie izomorficzny z odpowiednim podzbiorem następnego. Powstała w ten sposób hierarchia pozwala na przykład formalnie poprawnie mówić o liczbach rzeczywistych, które są liczbami wymiernymi i jest wyrażana symbolicznie poprzez pisanie

{\ Displaystyle \ mathbb {N} \ podzbiór \ mathbb {Z} \ podzbiór \ mathbb {Q} \ podzbiór \ mathbb {R} \ podzbiór \ mathbb {C}}

.

Liczby naturalne

Liczby naturalne, zaczynając od 1

Najbardziej znanymi liczbami są liczby naturalne (czasami nazywane liczbami całkowitymi lub liczebnymi): 1, 2, 3 i tak dalej. Tradycyjnie ciąg liczb naturalnych zaczynał się od 1 (0 nie było nawet uważane za liczbę dla starożytnych Greków ). Jednak w XIX wieku teoretycy mnogości i inni matematycy zaczęli włączać 0 ( liczność zbioru pustego , czyli 0 elementów, gdzie 0 jest więc najmniejszą liczbą kardynalną ) w zbiorze liczb naturalnych. Obecnie różni matematycy używają tego terminu do opisania obu zbiorów, w tym 0 lub nie. Matematycznym symbolem zbioru wszystkich liczb naturalnych jest N , również zapisywany , a czasami lub gdy trzeba wskazać, czy zbiór powinien zaczynać się odpowiednio od 0 czy 1. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _{0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {1}}$

W systemie liczbowym o podstawie 10 , w dzisiejszym prawie powszechnym użyciu w operacjach matematycznych, symbole liczb naturalnych są zapisywane za pomocą dziesięciu cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Podstawa lub podstawa to liczba unikalnych cyfr, w tym zero, których system liczbowy używa do reprezentowania liczb (w systemie dziesiętnym podstawa wynosi 10). W tym systemie o podstawie 10, skrajna prawa cyfra liczby naturalnej ma wartość pozycyjną równą 1, a każda druga cyfra ma wartość pozycyjną dziesięciokrotnie większą od wartości pozycyjnej cyfry po jej prawej stronie.

W teorii mnogości , która może działać jako aksjomatyczna podstawa współczesnej matematyki, liczby naturalne mogą być reprezentowane przez klasy zbiorów równoważnych. Na przykład liczba 3 może być reprezentowana jako klasa wszystkich zbiorów, które mają dokładnie trzy elementy. Alternatywnie, w Peano Arithmetic liczba 3 jest reprezentowana jako sss0, gdzie s jest funkcją „następcy” (tj. 3 jest trzecim następcą 0). Możliwych jest wiele różnych reprezentacji; wszystko, co jest potrzebne do formalnego przedstawienia 3, to trzykrotne wpisanie pewnego symbolu lub wzoru symboli.

Liczby całkowite

Ujemna dodatnia liczba całkowita jest definiowana jako liczba, która po dodaniu do odpowiedniej dodatniej liczby całkowitej daje 0. Liczby ujemne są zwykle zapisywane ze znakiem minus ( znak minus ). Na przykład ujemna liczba 7 jest zapisywana jako -7, a 7 + (-7) = 0 . Gdy zbiór liczb ujemnych jest połączony ze zbiorem liczb naturalnych (w tym 0), wynik jest definiowany jako zbiór liczb całkowitych , również zapisywany Z . Tutaj litera Z pochodzi z niemieckiego „liczba” Zahla . Zbiór liczb całkowitych tworzy pierścień z dodawaniem i mnożeniem operacji. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Liczby naturalne tworzą podzbiór liczb całkowitych. Ponieważ nie ma wspólnego standardu włączania lub nie zera do liczb naturalnych, liczby naturalne bez zera są powszechnie określane jako dodatnie liczby całkowite , a liczby naturalne z zerem są określane jako nieujemne liczby całkowite .